費用を分割できるかどうか、分割できる場合の回数などは病院によって異なります。
まずは動物病院へ相談されるのが良いでしょう。
例えば、動物病院での支払いにクレジットカードが利用できるなら、このクレジットカードで分割払いができるかを確認してください。病院でできなくとも、あとで分割払いへ変更できるカード会社もあります(例:三井住友、エポスなど)。
動物病院が割賦販売という形での売買契約の伝手を持っている可能性もあります(例えば、携帯電話の本体を買うときに結ぶ「月賦・割賦販売」と同じものです)。
どうしても現金で対応しなければならないなら、カードローンなどで借りて、自分でローンを分割で返済していくという方法もあるにはあります。
どうしてもその病院でなくてはいけない、という理由が無いならば、あなたの望む支払い方法を持っている別の病院を探して転院するという方法もあります。