Wymiar (matematyka)

Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.

Uwagi: zobacz dyskusja, nadać formę hasła wikipedystycznego, uporządkować, opisać pojęcia przestrzeni skończeniewymiarowej i nieskończeniewymiarowej, gdyż tu odnoszą wspomniane hasła.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Wymiar – minimalna liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania jakiegoś zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał w.=0, prosta w.=1, płaszczyzna w.=2 itd.^[1]

Wstęp

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń – trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

Wymiar przestrzeni liniowej

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$ wynosi $n;$ w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np. $p:=(20,30);$ w układzie trójwymiarowym – trzy współrzędne, np. $p:=(20,30,45).$

Ponieważ przestrzeń $\mathbb {R} ^{3}$ dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych zachodzi naturalne utożsamienie:

\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2\cdot n}.

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym $n,$ ma wymiar rzeczywisty $2\cdot n.$ Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

Wymiar przestrzeni Hilberta

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo $\aleph _{0}.$

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy $\aleph _{0},$ to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni $X$ oznaczany symbolem $\mathrm {ind} X.$ Mały wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od −1 lub nieskończonością. Określa się go za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1) $\mathrm {ind} X=-1\iff X=\varnothing$

(MU2) $\mathrm {ind} X\leqslant n$ (dla $n\geqslant 0$ ), jeśli dla każdego punktu $x\in X$ oraz jego dowolnego otoczenia $V\subseteq X$ istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U\subseteq V$ oraz $\mathrm {ind} \,\partial U\leqslant n-1$

(MU3) $\mathrm {ind} X=n,$ gdy $\mathrm {ind} X\leqslant n$ oraz nie zachodzi $\mathrm {ind} X\leqslant n-1$

(MU4) $\mathrm {ind} X=\infty ,$ gdy dla żadnego $n=-1,0,1,\dots$ nie jest prawdą, że $\mathrm {ind} X\leqslant n.$

Uwaga: Od zbioru $U$ można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze $V$ (definicja pozostanie równoważna).

Historia

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

Duży wymiar indukcyjny Brouwera-Čecha (topologia)

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji małego wymiaru indukcyjnego punktu przez zbiór domknięty:

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni $X$ oznaczany symbolem $\mathrm {Ind} X$ Duży wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od −1 lub nieskończonością. Określony jest za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1) $\mathrm {Ind} X=-1\iff X=\varnothing$

(DU2) $\mathrm {Ind} X\leqslant n$ (dla $n\geqslant 0$ ), jeśli dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ oraz jego dowolnego otoczenia $V\subseteq X$ istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $F\subseteq U\subseteq V$ oraz $\mathrm {Ind} \,\partial U\leqslant n-1.$

(DU3) $\mathrm {Ind} X=n,$ gdy $\mathrm {Ind} X\leqslant n$ oraz nie zachodzi $\mathrm {Ind} X\leqslant n-1$

(DU4) $\mathrm {Ind} X=\infty ,$ gdy dla żadnego $n=-1,0,1,\dots$ nie jest prawdą, że $\mathrm {Ind} X\leqslant n.$

Uwaga: Od zbioru $U$ można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze $V.$

Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue’a (topologia)

Dowolnej przestrzeni normalnej $X$ można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue’a, który będziemy oznaczać $\dim X.$ Wymiar $\dim X$ jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż −1 lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1): $\dim X\leqslant n,$ jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni $X$ można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde $n+2$ zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.

(CL2): $\dim X=n,$ jeśli $\dim X\leqslant n,$ ale nieprawda, że $\dim X\leqslant n-1.$

(CL3): $\dim X=\infty ,$ jeśli dla żadnej liczby $n$ nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

Historia pojęcia

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue’a własności kostki n-wymiarowej.

Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze $n$ ), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.

Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że dowolnie wybrane cztery prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby żadna z trójek prostokątów nie miała części wspólnej.

Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie stertę cegieł) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale musi istnieć taka czwórka prostopadłościanów, która ma niepuste przecięcie (w wyobrażonym obrazie sterty cegieł – każda cegła musi mieć punkt w którym styka się z trzema innymi cegłami).

Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć kostkami odpowiedniego wymiaru („cegiełkami”), ale dla pokryć dowolnymi zbiorami otwartymi. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue’a.

Wymiar rozmaitości topologicznej

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią $\mathbb {R} ^{n}.$ Wtedy $n$ jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa

Istnieje więcej niż jedno pojęcie „wymiaru fraktalnego”. Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

Wymiar ujemny

Widmo wymiarowe^[2]^[3], topologiczne uogólnienie pojęcia przestrzeni, wprowadza wymiary ujemne, które opisują uogólnione gęstości.

Równoważność definicji wymiaru

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru: $\mathrm {ind} ,\mathrm {Ind} ,\dim ,$ są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto $\dim$ oraz $\mathrm {Ind}$ są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy $\mathrm {ind} ,\mathrm {Ind}$ są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

{\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1{,}58.

Przypisy

↑ Wymiar, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
↑ Thomas C.T.C. Halsey Thomas C.T.C. i inni, Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets, Physical Review A, 1986, s. 1141--1151, DOI: 10.1103/PhysRevA.33.1141 .
↑ Kenneth Falconer: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, 2003, s. 337. DOI: 10.1002/0470013850.

Bibliografia

Roman Duda, O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.
Ryszard Engelking, Teoria wymiaru, Warszawa 1981.

[1] Wymiar, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .

[halsey_fractal_1986-2] Thomas C.T.C. Halsey Thomas C.T.C. i inni, Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets, Physical Review A, 1986, s. 1141--1151, DOI: 10.1103/PhysRevA.33.1141 .

[falconer_fractal_2003-3] Kenneth Falconer: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, 2003, s. 337. DOI: 10.1002/0470013850.

[1]

[2]

[3]