On the Computability of the Frechet Distance Between Triangulated Surfaces

Abstract

The Frechet distance is a metric for parameterized curves and surfaces. It is used in shape matching for measuring the similarity of geometric shapes. For polygonal curves, it can be computed in polynomial time. For triangulated surfaces, deciding whether the Frechet distance between two surfaces is less than or equal a given threshold is NP-hard. It is not known, whether the Frechet distance between triangulated surfaces is computable. In this thesis, we study the computability of the Frechet distance between triangulated surfaces. We give three partial answers to the question whether it is computable. For triangulated surfaces, we show that the Frechet distance is semi-computable, a weaker notion of computability. For a variant of the Frechet distance, the weak Frechet distance, we show that it is polynomial time computable for triangulated surfaces. For a restricted class of surfaces, simple polygons, we show that the Frechet distance is polynomial time computable. Finally, we study a related question, the definition of a summed or average Frechet distance between curves. We show that none of several intuitive definitions fulfill the triangle inequality.

Der Frechet Abstand ist eine Metrik für parametrisierte Kurven und Flächen. Er wird benutzt, um die Ähnlichkeit geometrischer Formen zu messen. Für polygonale Kurven kann er in polynomieller Zeit berechnet werden. Für triangulierte Flächen ist es NP-schwer zu entscheiden, ob der Frechet Abstand zwischen zwei Flächen kleiner oder gleich einem gegebenen Wert ist. Es ist nicht bekannt, ob der Frechet Abstand zwischen triangulierten Flächen berechenbar ist. In dieser Arbeit wird die Berechenbarkeit des Frechet Abstandes zwischen triangulierten Flächen untersucht. Wir geben drei Teilantworten auf die Frage, ob dieser berechenbar ist. Für triangulierte Flächen zeigen wir, dass der Frechet Abstand semi-berechenbar ist, eine schwächere Form der Berechenbarkeit. Für eine Variante des Frechet Abstandes, den schwachen Frechet Abstand, zeigen wir, dass er in polynomieller Zeit berechenbar ist für triangulierte Flächen. Für eine eingeschränkte Klasse von Flächen, einfache Polygone, zeigen wir, dass der Frechet Abstand in polynomieller Zeit berechenbar ist. Schließlich betrachten wir eine verwandte Fragestellung, die Definition eines summierten oder durchschnittlichen Frechet Abstandes zwischen Kurven. Wir zeigen, dass mehrere intuitive Definitionen nicht die Dreiecksungleichung erfüllen.