Арифметик илдиз

Арифметик операциялар Қўшиш (+) 1-қўшилувчи + 2-қўшилувчи = йиғинди Айириш (−) Камаювчи − айрилувчи = айирма Кўпайтириш (×) 1-кўпаювчи × 1-кўпаювчи = кўпайтма Бўлиш (:) Бўлинувчи : бўлувчи = бўлинма ${\text{asos}}^{\text{daraja}}$ = даражага кўтариш Арифметик илдиз (√) ${\sqrt[{\text{koʻrsatkich}}]{\text{son}}}$ = илдиз Логарифм (лог) $\log _{\text{asos}}$(сон) = логарифм

$x$ сонининг $n$- даражали арифметик илдизи — $n$- даражаси $x$ га тенг бўлган ҳар қандай сон $r$ га айтилади, яъни $r^{n}=x$. Бу ерда н илдизнинг даражасидир. 2-даражали арифметик илдиз квадрат илдиз деб аталади ва бу илдизнинг даражасини кўрсатмасдан ёзиш мумкин: ${\sqrt {\ }}$. 3-даражали арифметик илдиз куб илдиз ёки учинчи даражали илдиз деб номланади. Бошқа даражалар номлари учун тегишли сон ишлатилади. Масалан, тўртинчи даражали илдиз, бешинчи даражали илдиз ва ҳоказо.

Ҳақиқий сонлар тўпламида илдизда иккитагача жавоби бўлиши мумкин. Манфий соннинг жуфт даражали илдизини олиш керак бўлган ҳолларда бирорта ҳам жавоб мавжуд бўлмайди. Комплекс сонлар тўпламида $n$- даражали илдизда $n$ та жавоб бўлади. 0 нинг илдизлари алоҳида сонлардан иборат эмас, яъни барчаси 0 га тенг. Ҳар қандай ҳақиқий ёки комплекс соннинг н- даражали барча н илдизлари эса индивидуал сонлардан иборат.

Агар н жуфт бўлса ва илдиз белгиси ҳақиқий ва мусбат бўлса, унинг н- даражали илдизларидан бири мусбат, бири манфий ва қолганлари комплекс аммо ҳақиқий эмас бўлади. Агар н жуфт бўлса ва илдиз белгиси ҳақиқий ва манфий бўлса, н- даражали илдизларнинг бирортаси ҳам ҳақиқий бўлмайди. Агар н тоқ бўлса ва илдиз белгиси ҳақиқий бўлса, битта н- даражали илдиз ҳақиқий бўлади ва унинг белгиси илдизнинг белгиси билан бир хил бўлади, қолган илдизлар бўлса ҳақиқий бўлмайди.

Илдизларни ёзишда илдиз белгисидан қўлланади. Бу белгини ${\sqrt {\,\,}}$ ёки $\surd {}$ каби ёзиш мумкин. ${\sqrt {x}}\!\,$ ёки $\surd x$ квадрат илдизни ифодалайди, ${\sqrt[{3}]{x}}\!\,$ куб илдизни ифодалайди, ${\sqrt[{4}]{x}}$ тўртинчи даражали илдизни ифодалайди ва ҳоказо.

Илдизнинг тузилиши: 1) индекс; 2) илдиз белгиси; 3) илдиз остидаги сон.

${\sqrt[{n}]{x}}$ ифодасида н индекс, ${\sqrt {\,\,}}$ илдиз белгиси ва х илдиз остидаги сон деб юритилади. Илдиз остидаги сон функсия каби фақат битта жавобга эга бўлиши керак, шунинг учун манфий бўлмаган асосий н-илдиз деб аталган ҳақиқий илдиз бошқаларидан устун кўрилади. Жавоби йўқ илдиз одатда радикал деб номланади.

Математик анализда илдизлар даражага кўтаришнинг махсус ҳоли деб қаралади. Бу анализда даража каср деб қаралади:

${\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}$

Илдизлар сон қаторларини ўрганишда жуда муҳим рол ўйнайди. Илдиз тести орқали даражали қаторнинг мос тушиш радиуси аниқланади. Комплекс сонларнинг ҳам илдизини аниқлаш мумкин. Бирликнинг илдизи юқори математикада кенг ўрганилади. Қайси алгебраик сонларни илдизлар билан ифодалаш мумкинлигини галоис назарияси ёрдамида аниқлаш мумкин. Илдизлар яна Абел–Руффини теоремасини исботлаш учун керак. Абел-Руффини теоремасига кўра, кўпҳадли бешинчи ёки ундан юқори даражали тенгламаларни фақат илдизлардан фойдаланиб ечиш мумкин эмас.

Тарихи

Илдиз белгисининг (√) келиб чиқиши номаълум. Баъзи манбаларга кўра, бу белгини биринчи марта араб математиклари ишлатишган. Бу математиклардан бири Абū ал-Ҳасан ибн Алī ал-Қаласāдī (1421-1486) бўлган. Афсонага кўра бу белги арабча „جذر“ (жадҳир — „илдиз“) сўзининг биринчи ҳарфи бўлмиш „ج“ (жим) ҳарфидан олинган. Аммо бошқа олимлар, масалан Леонҳард Эулер, илдиз белгиси лотинча „радих“ („илдиз“) сўзининг биринчи ҳарфи „р“ ҳарфидан келиб чиққан деб ҳисоблашган. Илдиз белгиси биринчи марта босмада олмон математиги Чристофф Рудолффнинг „Диэ Cосс“ асарида 1525-йил ишлатилган. Бу илдиз белгисида сонлар устига чизиладиган горизонтал чизиқ бўлмаган.

Инглизчада ишлатиладиган „сурд“ (иррационал сон) атамаси Ал Хоразмийга бориб тақалади. У рационал сонларни эшица бўладиган, иррационал сонларни бўлса эшица бўлмайдиган деб атаган. Бу араб тилидаги иррационал сон учун ишлатилган „أصم“ (асамм — „кар“ ёки „соқов“) сўзининг лотинчага „сурдус“ („кар“ ёки „соқов“) деб таржима қилинишига олиб келган. Герард оф Cремона (тахминан 1150), Фибонаccи (1202) ва кейин Роберт Реcорде (1551) барчаси ечилмайдиган иррационал илдизларни „сурдус“ деб атаган.

Таърифи ва белгиланиши

-1 нинг тўрт 4-даражали илдизи. Буларнинг ҳеч бири ҳақиқий эмас.

-1 нинг уч 3-даражали илдизи. Булардан бир манфий ҳақиқий илдиздир.

х соннинг н-даражали илдизи деб н- даражаси х га тенг р сонига айтилади. Бу ерда н мусбат бутун сондир.

$r^{n}=x.\!\,$

Ҳар бир мусбат ҳақиқий сон х да битта мусбат н- даражали илдиз бор ва у ${\sqrt[{n}]{x}}$ кўринишида ёзилади. н 2 га тенг бўлса илдиз квадрат илдиз деб аталади ва бу ҳолда одатда н ёзилмайди. н- даражали илдизни яна даражалар орқали х^1/н кўринишида ифодалаш мумкин.

н нинг жуфт қийматлари учун мусбат сонларда манфий н- даражали илдиз ҳам мавжуд. Манфий сонларда бўлса ҳақиқий н- даражали илдиз йўқ. н нинг тоқ қийматлари учун ҳар бир манфий сон х да ҳақиқий манфий н- даражали илдиз мавжуд. Масалан, -2 да ҳақиқий 5-даражали манфий илдиз бор ва у ${\sqrt[{5}]{-2}}\,=-1.148698354\ldots$ га тенг. Аммо -2 да 6-даражали ҳақиқий илдизи йўқ.

0 дан фарқли ҳар қандай ҳақиқий ёки комплекс сон х да н та турли комплекс н- даражали илдизлари бор. Буларга ҳам манфий, ҳам мусбат илдизлар киради. 0 нинг н- даражали илдизи 0 дир.

Кўп сонлар учун н- даражали илдиз иррационал сондир. Масалан,

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$

Бутун сонларнинг ва ҳар қандай алгебраик соннинг барча н- даражали илдизлари алгебраикдир.

Илдиз белгиси учун дастурлашда ишлатиладиган белги кодлари қуйидагилардир:

Реад	Чараcтер	Униcоде	АСCИИ	УРЛ	ҲТМЛ (отҳерс)
Сқуаре роот	√	У+221А	√	%E2%88%9A	√
Cубе роот	∛	У+221Б	∛	%E2%88%9B
Фоуртҳ роот	∜	У+221C	∜	%E2%88%9C

Квадрат илдиз

х сонининг квадрат илдизи квадрат даражага кўтарилганда х га тенг бўладиган р сонидир:

$r^{2}=x.\!\,$

Ҳар бир мусбат ҳақиқий сонда икки квадрат илдиз мавжуд, бири манфий, бири мусбат. Масалан, 25 нинг икки квадрат илдизи 5 ва -5 дир. Мусбат илдиз асосий илдиз деб ҳам аталади ва илдиз белгиси билан ифодаланади:

${\sqrt {25}}=5.\!\,$

Ҳар бир ҳақиқий соннинг квадрат илдизи мусбат ҳақиқий сон бўлгани учун манфий сонларда ҳақиқий квадрат илдиз йўқ. Аммо ҳар бир манфий сонда икки хаёлий квадрат илдиз мавжуд. Масалан, -25 нинг икки квадрат илдизи 5и ва -5и дир. Бу ерда и (инглизча „имагинарй“ — „хаёлий“ сўзидан олинган) -1 нинг квадрат илдизни ифодалайди.

Куб илдиз

х сонининг куб илдизи куб даражага кўтарилганда х га тенг бўладиган р сонидир:

$r^{3}=x.\!\,$

Ҳар бир ҳақиқий сон х да фақат битта ҳақиқий куб илдиз бор ва у ${\sqrt[{3}]{x}}$ кўринишида ёзилади. Масалан,

${\sqrt[{3}]{8}}\,=\,2\quad {\text{va}}\quad {\sqrt[{3}]{-8}}\,=-2.$

Ҳар бир ҳақиқий сонда яна иккита қўшимча комплекс куб илдиз бўлади.

Айниятлар ва илдизнинг хоссалари

Ҳақиқий мусбат сонлар устида илдиз амалларини бажариш қоидалари қуйидагилардир:

• ${\sqrt[{n}]{0}}=0;$

• ${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}},\qquad a,\ b\geq 0;$

• ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a;a\geqslant 0$
• $\forall a\geqslant 0,b>0\qquad {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
• ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}=a^{m/n}.$

• ${\sqrt[{nk}]{a^{mk}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}},\qquad a>0,n\in \mathbb {N}$
• $\forall a\geqslant 0,\qquad n,k\in \mathbb {N} \qquad {\sqrt[{n}]{\sqrt[{k}]{a}}}={\sqrt[{nk}]{a}}$

Комплекс сонларнинг илдизини топишда муаммолар чиқади. Масалан, асосий илдизни топишда,

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=-1$,

аммо,

${\sqrt {-1\times -1}}=1$.

Илдиз ифодасини соддалаштириш

Агар қуйидаги шартлар бажарилса илдиз ифодаси содда формада дейилади:

1. Илдиз остидаги соннинг индексга тенг ёки катта даража қилиб ёзса бўладиган кўпайтувчиси бўлмаса;
2. Илдиз остида касрлар бўлмаса;
3. Махражда радикал сон бўлмаса

Масалан, ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ ифодасини соддалаштириш учун қуйидаги амаллар бажарилади. Биринчи, квадрат илдиз остида квадрат илдизи бор сонни топиб, илдиз белгисидан чиқарамиз.

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Илдиз белгиси остидаги касрни йўқ қилиши учун қуйидаги амалларни бажарамиз:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Энди махраждаги илдиз белгисини қуйидагича қилиб алмаштирамиз:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}$

Агар махражда радикал сон бўлса суратни ҳам, махражни ҳам бир хил кўпайтувчига кўпайтириб, ифодани соддалаштириш мумкин. Масалан, икки кубнинг йиғиндисини кўпайтувчиларга ажратиш йўли билан:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

Илдиз ичида яна бошқа илдиз бўлган мураккаб илдиз ифодаларини ечиш осон бўлмаслиги мумкин. Масалан, мана бу жавобни дарҳол англаб олиш мушкул:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,$

Чексиз қатор

Радикал илдизни чексиз қатор орқали ифодалаш мумкин:

$(1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}.$

Бу ерда $|x|<1$. Бу ифодани бином сериясидан олиш мумкин.

Асосий илдизларни ҳисоблаш

Бутун соннинг н- даражали илдизи ҳар доим ҳам бутун сон эмас ва бу илдиз бутун сон бўлмаса демак у рационал сон эмас. Масалан, 34 нинг 5-даражали илдизи

${\sqrt[{5}]{34}}=2.024397458\ldots ,$

га тенг. Нуқталар ўнли каср маълум бир хонада тўхтамаслигини англатади. Бу мисолда каср қисм такрорланмайди, яъни бу каср даврий каср эмас. Шу сабабдан бу сон иррационал сондир.

А сонининг н- даражали илдизини ''н-'' даражали илдиз алгоритми билан ҳисоблаш мумкин. Бу алгоритм Нютон методининг махсус ҳолидир. Бу услубда ечиш учун х₀ тахминий сони олинади. Шу амал кейин қуйидаги рекуррент нисбати орқали керакли аниқлик эришилгунича такрорланади:

$x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)$.

Баъзан Нютоннинг биринчи аппроксимациясини ишлатиш етарли бўлади:

${\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.$

Масалан, 34 нинг 5-даражали илдизини топиш керак бўлсин. Маълумки 2⁵ = 32. Демак юқоридаги формулада х = 32 ва й = 2 деб олинади. Бундан қуйидаги жавобни оламиз:

${\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.$

Бу аппроксимациядаги хатолик 0.03 %, холос.

Нютон методини ўзгартириб н-даражали илдиз учун умумлаштирилган давомли каср ёзиш мумкин. Бу касрни юқорида айтиб ўтилгандек турли йўл билан ўзгартириш мумкин. Масалан:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};$

${\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.$

Бу ҳолда 34 нинг 5-даражали илдизи (баъзи умумий кўпайтувчиларни танлаб олиб бўлгандан кейин) қуйидагига тенгдир:

${\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.$

Комплекс илдизлар

0 дан бошқа ҳар қанақа комплекс сонда нта н-даражали илдиз мавжуд.

Квадрат илдизлар

и нинг квадрат илдизлари

Комплекс соннинг икки квадрат илдизи доим бир-бирининг негативидир. Масалан, −4 нинг квадрат илдизлари 2и ва −2и дир. и нинг квадрат илдизлари бўлса

${\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\quad {\text{va}}\quad {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}.$

дир.

Агар комплекс сон қутбий кўринишда ифода қилинса, квадрат илдизни топиш учун радиуснинг квадрат илдизи олиниб, бурчакнинг ярми топилади:

${\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,\pm {\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}.$

Комплекс соннинг асосий илдизини бир неча усулда танлаш мумкин. Масалан,

${\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}$.

ифодаси комплекс текисликда мусбат ҳақиқий ўқ атрофида 0 ≤ θ < 2π шарти билан ёки манфий ҳақиқий ўқ атрофида −π < θ ≤ π шарти билан тармоқ кесими ўтказади.

Биринчи (охирги) тармоқ кесимидан фойдаланиб, ${\sqrt {z}}$ асосий квадрат илдизи текисликнинг манфий бўлмаган хаёлий (ҳақиқий) қисмида $z$ ни чизади.

Бирликнинг илдизлари

1 нинг учта 3-даражали илдизи

Комплекс текисликда 1 сонининг н та н- даражали илдиз бор:

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

Бу ерда

$\omega \,=\,e^{2\pi i/n}\,=\,\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

Бу илдизлар бирлик айланаси атрофида бир-биридан бир хил узоқликда $2\pi /n$ нинг карралиси бўлган бурчакларда жойлашади. Масалан, бирликнинг квадрат илдизлари 1 ва −1 дир. Бирликнинг тўртинчи даражали илдизлари бўлса $i$, −1 ва $-i$ дир.

н- даражали илдизлар

Ҳар бир комплекс сонда комплекс текисликда нта н-даражали илдиз мавжуд. Бу илдизлар қуйидагилардир:

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$.

Бу ерда η битта н- даражали илдиздир ва 1, ω, ω², … ω^н−1 бирликининг н- даражали илдизларидир. Масалан, 2 нинг тўртта 4-даражали илдизлари мана бунга тенг:

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{va}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

Қутбий формада битта н- даражали илдизни мана бу формула билан топиш мумкин:

${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\theta /n}.$

Бу ерда р илдизи олиниши керак бўлган соннинг модулидир (абсолют қиймати ҳам дейилади). Агар сонни а+би қилиб ёзиш мумкин бўлса, унда $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Яна, $\theta$ текислик бошидан мусбат горизонтал ўқдан сонга қараб соат стрелкасига қарши юрилганда ҳосил бўлган ва сонга қараб кетувчи нурнинг бурчагидир. Унинг хоссалари қуйидагилардир: $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ ва $\tan \theta =b/a.$

Шу аснода комплекс текисликда н-даражали илдизларни топишни икки қадамга бўлиш мумкин. Биринчи, барча н-даражали илдизларнинг модули бошида берилган соннинг модулининг н-даражали илдизидир. Иккинчи, текислик бошидан чиқиб н- даражали илдизларга кетган нурнинг йўналиши бурчаги мусбат горизонтал ўққа нисбатан $\theta /n$ дир. Яъни, текислик бошидан чиқиб илк сонга кетган нурнинг мусбат горизонтал ўққа нисбатан бўлган бурчаги $\theta$ билан 1/н нинг кўпайтмасига тенгдир. Бундан ташқари, н-даражали илдизларнинг барчаси бир-биридан бир хил бурчак масофада жойлашади.

Кўпҳадларни ечиш

Авваллари кўпҳадларнинг барча илдизларини илдиз ифодаси ва элементар амаллар билан ифодалаш мумкин деб ишонилган. Бу учинчи даражали ва тўртинчи даражали кўпҳадлар учун тўғри келади. Абел-Руффини теоремасига кўра, бу қоидани даражаси 5 ёки ундан юқори бўлган кўпҳадларга умумлаштириб бўлмайди. Масалан,

$x^{5}=x+1\,$

тенгламасининг жавобларини илдиз билан ифодалаб бўлмайди.

Ҳаволалар

• н- даражали илдиз, ФизМат ^(рус.)
• Арифметик илдиз (Wайбаcк Мачине сайтида 2013-01-08 санасида архивланган), Бйматҳ ^(рус.)