Fragmentos decidibles e indecidibles en la Lógica de primer orden

La Lógica de predicados monádicos es decidible

En contextos finitos es posible re-expresar una fórmula de la Lógica de predicados monádicos en términos de la Lógica proposicional, expondremos dicho método mediante una serie de ejemplos 3 :

Si consideramos la existencia de un individuo, a 1 , la re-escritura de los cuantificadores quedaría de la siguiente manera:

∀x Px ↔ Pa 1 y Ǝx Px ↔ Pa 1

Si consideramos un universo con dos individuos, a 1 y a 2 , la re-escritura de los cuantificadores quedaría de la siguiente manera:

∀x Px ↔ Pa 1 ˄ Pa 2 y Ǝx Px ↔ Pa 1 v Pa 2 En el caso de un universo con k individuos, la re-escritura de los cuantificadores sería la siguiente:

∀x Px ↔ Pa 1 ˄ Pa 2 ˄ Pa 3 ˄ … ˄ Pa k Ǝx Px ↔ Pa 1 v Pa 2 v Pa 3 v… v Pa k Ahora bien, consideremos la siguiente fórmula de la Lógica de predicados monádicos: [(∀x Px → Qx) ˄ (∀x Sx → Qx)] → (∀x Px → Sx) y evaluémosla en un modelo que contiene exactamente un individuo, a 1, su re-escritura proposicional sería:

[(Pa 1 → Qa 1 ) ˄ (Sa 1 → Qa 1 )] → (Pa 1 → Sa 1 )

Si hacemos la tabla de verdad de la fórmula anterior, nos daremos cuenta que hay una fila en donde se le asigna verdad a "Pa 1 " y "Qa 1 ", y falso a "Sa 1 ", esta asignación de valores de verdad hace falsa a toda la fórmula. Dicha fila va permitir definir (de manera natural) un universo con un individuo en la cual la proposición sea falsa. Por lo tanto la fórmula original no es válida. Para un modelo con un sólo individuo, a 1 , dicha fórmula sería equivalente a la siguiente:

[(Pa 1 → Qa 1 ) ˄ (Sa 1 ˄ Qa 1 )] → (Pa 1 → Sa 1 )

Si hacemos su tabla de verdad nos daremos cuenta que toda asignación de valores de verdad la hace verdadera, por lo tanto se trata de una fórmula tautológica. Sin embargo, evaluándola bajo un modelo que conste de dos individuos la cuestión cambia, veamos primero como quedaría re-escrita la fórmula en términos proposicionales considerando dos individuos a 1 y a 2 :

Cuando elaboremos la tabla de verdad de la fórmula anterior tendremos que cuando se le asigna verdad a "Pa 1 ", "Qa 1 ", "Pa 2 ", "Qa 2 " y "Sa 2 ", y falso a "Sa 1 " la fórmula resulta falsa. En consecuencia, la fórmula original no es válida. Por lo ocurrido cuando evaluamos la fórmula anterior, cabe preguntarse cuántos individuos hay que considerar para responder a la pregunta de si una fórmula cualquiera de la Lógica de predicados monádicos es válida o no. Se ha encontrado una respuesta satisfactoria a esta pregunta, la cual expresaremos en forma de teorema de la siguiente manera:

Teorema de decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos (primera versión): Sea φ una fórmula de la Lógica de predicados monádicos que tiene n predicados distintos. Sea U un universo de 2 n individuos, y sea φ' la re-escritura proposicional de φ a esos 2 n individuos. Se cumple lo siguiente: I) Si φ' es tautología, entonces φ es válida.

II)

Si φ' no es tautología, entonces φ no es válida.

A. Church 4 .

Un ejemplo sería el siguiente: Sea φ la fórmula ∀x Px → Ǝx Px. Sea U un universo con dos individuos a 1 y a 2. La re-escritura de φ con esos dos individuos sería: (Pa 1 ˄ Pa 2 ) → (Pa 1 v Pa 2 ).

Procedamos ahora a realizar la tabla de verdad de la fórmula re-escrita:

Como la fórmula es una tautología podemos concluir que la fórmula original (∀x Px → Ǝx Px) es válida.

A continuación, ofreceremos una prueba actualizada del teorema anterior siguiendo al profesor Manuel Garrido 5 , previamente ofreceremos las siguientes definiciones y hechos, necesarios para la ejecución de la prueba.

Definiciones:

Una fórmula φ es válida en un universo no vacío U, si para toda estructura para el lenguaje φ, cuyo dominio es U, se cumple que ⊧ φ

Si una fórmula φ es válida en un universo no-vacío U lo denotaremos así:

Si │U│= n, entonces se dice que φ es n-válida relativa a U, y se denota por:

Una fórmula φ es satisfacible en un universo no-vacío U, si existe una estructura para el lenguaje de φ, cuyo universo es U, y existe una función s: Var⟶U, tal que ⊧ φ[s].

Hechos sobre satisfacibilidad y validez en relación con los conceptos anteriormente formulados:

(1) Sea φ una fórmula cuantificacional y U un universo no-vacío. Si φ es satisfacible en U, entonces es satisfacible en cualquier universo de igual o mayor cardinalidad, U'. tenga cardinalidad igual a U se considera que el isomorfismo entre estructuras preserva la verdad.

En el caso en que U' tenga cardinalidad mayor que U, la prueba usa inducción en la complejidad de la fórmula φ de la siguiente manera:

Sea φ(x 1 ,…,x n ) satisfacible en U. Es decir, existen 1 ,…, y a 1 ,…,a n ∈ U tal que <U, 1 ,…, >⊧ φ[a 1 ,…,a n ] donde ⊆ U es una interpretación de i en U, y i son los predicados monádicos de φ, 1≤ i ≤ n. Sea U' un conjunto tal que |U| < |U'|, y sea h: U ⇾ U' una función inyectiva. Definimos, con la ayuda de la función h, una estructura con universo U', así: k є ' ⇔ h -1 (k) є , 1≤ i ≤ n. Sea la estructura <U', 1 ' ,…, ' >. Probaremos inductivamente en la complejidad de φ que: <U', 1 ' ,…, ' > ⊧ φ[h(a 1 ),…,h(a n )].

1.

Caso base: φ es atómica. φ = i (x). Por hipótesis, existe un a ∈ U, tal que

∀x∀yƎu∀z (¬( P(x,y) ˄ P(y,z)) v Q(x,y,u)) (Fórmula en FNP)

2.

Caso inductivo: φ = ¬α y φ = α ⌃ β se demuestran fácilmente por la definición de satisfacción. Probemos el caso de φ = Ǝx ψ(x 1 ,…,x n ): (2) Sea φ una fórmula cuantificacional y U un universo no-vacío. Si φ es válida en U, entonces φ es válida en cualquier universo no-vacío de igual o menor cardinalidad, U'.

Demostración de (2): Por la hipótesis del hecho tenemos que φ es válida en U, esto implica que ¬φ no es satisfacible en U, luego por contraposición del hecho anterior tenemos que ¬φ tampoco es satisfacible en U' y, por tanto, φ es válida en U'.□ Teorema de decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos (segunda versión) 7 : Sea φ una fórmula de la Lógica cuantificacional mónadica que conste de n letras predicativas distintas.

Si φ es válida en un universo de al menos 2 n individuos, entonces es válida en todo universo novacío de cualquier cardinalidad.

Demostración:

Sean P 1 ,…,P n las letras predicativas distintas que aparecen en la fórmula φ.

Sea =<U, 1 * ,…, * > una estructura para el lenguaje de φ. Debemos probar que

A continuación clasificamos los elementos de U mediante la siguiente relación de equivalencia (~): x~y si, y sólo si, x e y cumplen las mismas propiedades en ( 1 * ,…, * ). Así pues, sean u 1 y u 2 dos elementos de U, tenemos que u 1 y u 2 pertenecerán a la clase α si las predicaciones P 1 (u 1 ),…,P n (u 1 ) tienen en dicho orden el mismo valor de verdad que las predicaciones P 1 (u 2 ),…,P n (u 2 ). A lo sumo el número resultante de clases de equivalencias es 2 n : α 1 ,…, α k (1≤ k ≤ 2 n ). El conjunto de las clases de equivalencia (conjunto cociente), lo denotaremos por U/~.

Definiremos ahora subconjuntos del conjunto cociente U/~, para interpretar los predicados P 1 ,…,P n de φ. Diremos que α j є Q i si, y sólo si, para todo u ∈ α j (u ∈ * ). Donde 1≤ j ≤ 2 n y 1≤ i ≤ n.

Consideremos ahora la estructura <U/~, Q 1 ,..,Q n > para el lenguaje de φ. Por la hipótesis del teorema y por el hecho (2) tenemos que ⊧ U/~ φ, es decir, φ es válida en el conjunto U/~. En particular <U/~, Q 1 ,..,Q n >⊧ φ. Ahora bien, por la forma en que se definieron los conjuntos Q i se cumple que φ es verdad en <U, 1 * ,…, * >. Por lo tanto φ es válida.

(<U, 1 * ,…, * >⊧ φ se puede demostrar, por inducción en la complejidad de φ, probando la siguiente proposición: <U, 1 * ,…, * >⊧ φ[s] si, y sólo si, <U/~, Q 1 ,..,Q n >⊧ φ[s'], donde s':

Var⟶ U/~, que se define de la siguiente manera s'(x i )= la clase de equivalencia de s(x i ). La demostración procede de la siguiente manera:

2. Caso inductivo: φ = ¬α y φ = α ⌃ β se demuestran fácilmente por la definición de satisfacción: Con esto concluye la prueba del teorema.□

∀u∀zƎv (P(u,f 1 (u)) v ¬ Q(z,v))

∀x∀y∀z (¬( P(x,y) ˄ P(y,z)) v Q(x,y,f(x,y))) (Skolemización de 1)

Con base en lo anterior podemos enunciar el siguiente teorema, que relaciona la técnica de skolemización, la validez en L 1 y la tautologicidad en L p . Una demostración puede encontrar en Logic for applications de Nerode y Shore 31 .

Teorema:

Sea φ una sentencia en FNP en un lenguaje L, sea ψ la equivalente prenexa de ¬ φ y sea θ( ⃗) 32 una skolemización abierta de ψ en un lenguaje L'. Tenemos que φ es válida si, y sólo si, existen términos ⃗ 1 ,…, ⃗ n 33 , de L' tal que θ( ⃗ 1 ),…, θ( ⃗ n ) es una tautología.

28 Cf. Ibídem. 29 Se sustituye y por f(x 1 ,…,x n ) 30 Cf. Ibidem. 31 Cf. Ibid., Pág. 123. 32 ⃗ es una sucesión finita de variables.

primer orden mediante la noción de tautologicidad de la Lógica proposicional. Ahora bien, ya que para la Lógica proposicional sí existen mecanismos efectivamente calculables que determinen cuándo una fórmula es una tautología o no, surgen inmediatamente las siguientes inquietudes ¿El resultado anterior no contradice el Teorema de indecidibilidad de Church? ¿Nos está diciendo el teorema que se puede reducir el problema de la decidibilidad de L 1 al caso de L p ? La respuesta a ambas inquietudes es negativa, el resultado no contradice el Teorema de indecidibilidad de Church, ya que sólo nos dice que existen unos n términos, pero no dice cómo podemos elegirlos de manera efectiva, esto es, no se ofrece un algoritmo para la elección de los términos mencionados (no hay un procedimiento mecánico efectivo para determinar los n términos).

33 ⃗ es una sucesión finita de términos.

Forma normal prenexa: Algunos ejemplos de casos decidibles e indecidibles

Para toda fórmula φ de la Lógica de primer orden existe otra fórmula φ' equivalente a φ (es decir, ˫φ ⟷ φ' o por completitud ⊧ φ ⟷ φ') que se caracteriza por poseer todos los cuantificadores al inicio de la misma, sobre esta última fórmula decimos que se encuentra en

Forma normal prenexa (FNP). Esta re-distribución de los cuantificadores de una fórmula al inicio de la misma facilita tanto las transformaciones sintácticas como las decisiones de interés en el análisis de las fórmulas; es por ello que "una manera cómoda de estudiar el problema de la decisión es el restringir nuestra atención a las fórmulas en forma normal prenexa" 9 . Motivados a mostrar como hallar la FNP de una fórmula de L 1 para luego poder mostrar ejemplos de casos decidibles e indecidibles según el prefijo de las fórmulas, listaremos a continuación un conjunto de leyes sobre los cuantificadores que deben entenderse como los fundamentos del procedimiento de obtención de una FNP.

Leyes de descenso cuantificacional y de mutación de variables ligadas:

Ley de descenso cuantificacional 10 : Esta ley permite el paso de lo general a lo particular, es decir, autoriza el paso de la cuantificación universal a la cuantificación particular (siempre y cuando el universo no sea vacío): Bajo las leyes de distribución cuantificacional encontramos los siguientes grupos de leyes:

Distribución de cuantificadores en conjunción.

Distribución de cuantificadores en disyunción.

(R1) A↔ B ↔ [(A→ B) ˄ (B→ A)]

(R2) A→ B ↔ ¬(A ˄¬B)

(R3) A→ B ↔ (¬A v B)

Paso 2: Se deben interiorizar las negaciones que afectan directamente a los cuantificadores; esta tarea se lleva a cabo mediante las leyes de negación de cuantificadores.

Paso 3: Se deben exteriorizar los cuantificadores existentes respecto a toda conjunción y disyunción. Esta tarea se realiza mediante las cuatro reglas de distribución condicionada del cuantificador en conjunción y disyunción:

Paso 4: Con el fin de no ligar alguna otra variable que originalmente no estaba ligada tras la aplicación de las reglas condicionadas de las distribución del cuantificador, es menester aplicar, obviamente cuando sea el caso, las reglas de mutación de variables ligadas que ya expusimos anteriormente:

(R10)=MVG: ∀x Px ↔ ∀y Py

(R11)=MVP: Ǝx Px ↔ Ǝy Py

Paso 5: También se utilizarán las reglas de eliminación de la doble negación y la ley conmutativa, tanto de la conjunción como de la disyunción, con el fin de llevar a cabo la máxima reducción posible en la fórmula. Es importante señalar que el procedimiento de buscar la FNP de una cierta fórmula α es efectivamente calculable, puesto que este procedimiento termina tras un número finito de pasos, y esto se debe a que la fórmula inicial es de una longitud finita y que el número de reglas es finito (y la aplicación de las mismas se lleva en un numero finito de pasos).

Ejemplos:

1)

Encuentre la FNP de la siguiente fórmula: Ǝx Qxa → Ǝx Px Gödel en un artículo titulado "Sobre el problema de la decisión de la Lógica de primer orden" 19 demuestra que cualquier fórmula en FNP que tenga dos cuantificadores universales seguidos, e.g.

(∃ n ∀ 2 ∃ m ), es decidible. Una lista más detallada y con demostraciones de casos positivos del problema de la decisión para la Lógica de primer orden puede encontrarse en Introduction to mathematical logic de Alonzo Church y en Solvable cases of the decisión problem de W.

Ackermann. Ahora bien, para poder listar algunos casos negativos de decidibilidad debemos primero definir el siguiente concepto. 17 Una demostración puede encontrarse en Hilbert y Ackermann, Elementos de la lógica teórica, Editorial Tecnos, Madrid, 1975 (2da. Edición en castellano que corresponde a la séptima edición de la versión alemana)., Págs. 147-148. 18 Una demostración puede encontrarse en Ibíd., Pág. 148. 19 Gödel, K. "Sobre el problema de la decisión de la Lógica de primer orden" en Kurt Gödel, Obras completas, Jesús Mosterín (Ed.). Alianza Editorial. Madrid. 1989 (2da edición).

reducción, si el problema general de la decisión de la Lógica de primer orden es reducible al problema de decisión de esa clase. Dicho de otra forma, una clase A es una clase de reducción, si A ⊂ LP (donde LP debe entenderse como el conjunto de todas las fórmulas de L 1 ) y existe una función recursiva f que a cada fórmula φ Є LP le asigna una, y sólo una, fórmula de A (f(φ)), tal que φ es satisfacible si, y sólo si, f(φ) es satisfacible.

Ahora bien, como la Lógica de primer orden es indecidible, entonces cada clase de reducción es indecidible. Con la ayuda de esta noción podemos mencionar los casos negativos del problema de la decisión. El primero fue obtenido en 1920 gracias a Skolem; éste probó que la Para demostrar el caso anterior que resulta ser decidible (no referimos a las fórmulas cuyo prefijo tienen la forma ∀ n ∃ m ), necesitamos primero listar las reglas del método de las tablas semánticas siguiendo la presentación que hacen Nerode y Shore en Logic for applications 23 Ya presentadas las reglas podemos demostrar el siguiente teorema.

Para cualquier término t del lenguaje.

Teorema 24 : Toda fórmula de la Lógica de primer orden (sin identidad) tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera:

∀x 1 ,…,∀x n ∃y 1 ,…,∃y m φ(x 1 ,…,x n ,y 1 ,…,y m ) Es decidible.

Demostración (Sugerida por Nerode y Shore 25 ):

Es conocido que la validez de ∀x 1 ,…,∀x n ∃y 1 ,…,∃y m φ(x 1 ,…,x n ,y 1 ,…,y m ) se puede reducir a la validez de la fórmula ∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m ), donde c 1 ,..,c n son nuevos símbolos constantes (una demostración de este hecho puede encontrarse en Elementos de lógica teórica de Hilbert y Ackermann).

Ahora consideramos todas las fórmulas de la forma φ(c 1 ,…,c n ,d 1 ,…,d m ), donde d i Є { c 1 ,..,c n }. Debemos notar que la cantidad de dichas sentencias es n m , pues n m = |{ c 1 ,..,c n } m |.

Luego, como cada una de estas sentencias se puede considerar una fórmula de la Lógica proposicional, se le puede aplicar algún procedimiento de decisión para decidir su validez, por ejemplo tablas de verdad, forma normal conjuntiva o tablas semánticas.

Caso 1: Si alguna de las n m sentencias consideradas es válida, entonces con alguna de dichas sentencias válidas construimos la tabla semántica de la fórmula original ∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m ) y dicha tabla tendrá todos sus caminos contradictorios, por lo tanto, tal fórmula es válida. El siguiente gráfico sugiere lo que se hace en el caso 1:

F ∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m ) | F φ(c 1 ,…,c n ,di 1 ,…,di m ) menos un camino no contradictorio), un camino no contradictorio (de n m trozos, uno por cada sentencia) para la tabla semántica de la sentencia:

∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m )

Con dicho camino no contradictorio construimos un modelo de la manera usual (R A (ti 1 ,…,ti p ) ⟺ V R(ti 1 ,…,ti p )), que hará falsa a la sentencia ∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m ), por lo tanto, ∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m ) no es válida. El siguiente gráfico sugiere lo que se hace en el caso 2:

F ∃y 1 ,…,∃y m φ(c 1 ,…,c n ,y 1 ,…,y m ) | F φ(c 1 ,…,c n ,di 1 ,…,di m ) F φ(c 1 ,…,c n ,di 1 ',…,di m ') F φ(c 1 ,…,c n ,di 1 '',…,di m '') (n m ) -3 veces.

Con esto termina la demostración del teorema.□ Un ejemplo del teorema anterior es el siguiente: Decidiremos la validez de la siguiente fórmula:

∀x 1 ∀x 2 ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,x 2 ) → S(x 1 ,y 1 ))

Por el teorema antes mencionado es suficiente con decidir la validez de la siguiente fórmula ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,c 2 ) → S(c 1 , y 1 )), donde c 1 y c 2 son nuevos símbolos constantes. Ahora construimos el siguiente producto cartesiano {c 1 ,c 2 }×{c 1 ,c 2 } = {(c 1 ,c 1 ),(c 1 ,c 2 ),(c 2 ,c 1 ),(c 2, c 2 )} y sustituimos a y 1 e y 2 en ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,c 2 ) → S(c 1 , y 1 )). El resultado de tal sustitución son las siguientes sentencias:

1) R(c 1 ,c 2 ) → S(c 1 , c 1 )

2) R(c 2 ,c 2 ) → S(c 1 , c 1 )

3) R(c 1 ,c 2 ) → S(c 1 , c 2 ) 4) R(c 2 ,c 2 ) → S(c 1 , c 2 )

Como ninguna de las cuatro sentencias anteriores es válida, estamos en presencia del caso 2 del teorema y procedemos a construir el camino no-contradictorio de la fórmula ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,c 2 ) → S(c 1 , y 1 )): Ahora con el camino no-contradictorio construimos la estructura que falseará la sentencia ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,c 2 ) → S(c 1 , y 1 )):

= <{c 1 ,c 2 }, R = {(c 1 ,c 2 ),(c 2 ,c 2 )}, S = ∅, c 1 , c 2 > Por la construcción de la estructura se tiene que:

⊭ ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,c 2 ) → S(c 1 , y 1 ))

Por lo tanto ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,c 2 )→ S(c 1 , y 1 )) no es válida y en consecuencia ∀x 1 ∀x 2 ∃y 1 ∃y 2 (R(y 2 ,x 2 ) → S(x 1 , y 1 )) no es válida.

3.

Una relación entre skolemización, validez en la Lógica de primer orden,

∀u∀z (P(u,f 1 (u)) v ¬ Q(z,f 2 (u,z))) (Skolemización de 1)

Consideremos otro ejemplo para hallar la skolemización correspondiente:

tautologicidad en la Lógica proposicional y El Teorema de indecidibilidad de Church.

Existe dentro de la lógica formal un teorema que permite caracterizar la validez en la

Lógica de primer orden mediante la tautologicidad en la Lógica proposicional, para enunciar dicho teorema debemos previamente ofrecer una definición y unos teoremas que están íntimamente relacionados con su enunciación.

Definición de equisatisfacibilidad 26 :

Decimos que φ y ψ son equisatisfacibles, si ambas son satisfacibles o si ninguna lo es.

Teorema (skolemización) 27 :

Por cada sentencia φ en un lenguaje dado L existe una fórmula universal φ' en un lenguaje ampliado L' (que se obtiene por la introducción de nuevos símbolos de función al lenguaje L), tal que φ y φ' son equisatisfacibles.

Lema 28 :

Para cualquier sentencia φ de la siguiente forma ∀x 1 ,…,∀x n ∃y ψ de un lenguaje L, existe una sentencia φ' de la forma ∀x 1 ,…,∀x n ψ(y/f(x 1 ,…,x n )) 29 , en donde f es un símbolo de función que no estaba en L, tal que φ y φ' son equisatisfacibles.

Una demostración, tanto del teorema como del lema, puede encontrarse en Logic for applications de Nerode y Shore 30 . A continuación ofrecemos algunos ejemplos de skolemización.

Consideremos la siguiente fórmula en su FNP y obtengamos su skolemización:

1. ∀uƎw∀zƎv (P(u,w) v ¬ Q(z,v)) (Fórmula en FNP)