平行六面体の話題（体積・分類・角度の三角不等式）

更新 2023/05/24

平行六面体

各面が平行四辺形である六面体のことを平行六面体と呼ぶ。平行六面体の例

平行六面体に関して3つの話題を紹介します。「体積」「平行六面体の分類」「角度の三角不等式」です。

平行六面体の体積

平行六面体は「1つの頂点から出る3本の辺」を定めると1つに決まります。平行六面体とベクトル

この3本の辺に対応するベクトルを $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ とおきます。

平行六面体の体積は，3本のベクトル $\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z),\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z),\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)$ を使って以下のように計算できます。

平行六面体の体積

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ が張る平行六面体の体積は，

$|a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x|$

である。ベクトルの内積と外積を用いると以下のように簡潔に表せる：

$|\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})|$

また，行列式を使って

$\left|\det\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{pmatrix}\right|$

とも表せる。

証明

「成分による式」が正しいことは以下の2つからわかる。

平行六面体の体積は四面体 $OABC$ の体積の6倍（四面体は底面積半分かつ錐体なので3分の1）
四面体 $OABC$ の体積はサラスの公式と使い方の記事末で導出したように $\dfrac{1}{6}|a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x|$ になる。

「成分による式」と「内積と外積の形」が同じ式を表すことは，内積と外積の定義（成分表示）からわかる。

さらに「行列式の形」が同じ式を表すことは行列式の定義からわかる。

なお，内積と外積の形はスカラー三重積と呼ばれます。

特殊な平行六面体

平行四辺形の分類
平行四辺形の中で，
隣り合う辺が直交するものが長方形です。長方形では対角線の長さが等しいです。
すべての辺の長さが等しいものがひし形です。ひし形では対角線が直交します。
長方形かつひし形なものが正方形です。
平行六面体の分類
平行六面体の中で，
すべての隣り合う辺が直交するものが直方体です。
すべての辺の長さが等しいものが菱面体です。
直方体かつ菱面体なものが立方体です。
四面体の分類平行六面体の8個の頂点から，隣同士を選ばないように4個を選ぶと四面体が定まります。これを「平行六面体が定める四面体」と呼ぶことにします。

四面体の中で，
3組の対辺の長さがそれぞれ等しいものを等面四面体と言います。等面四面体は直方体から定まります。→等面四面体とその性質
3組の対辺がそれぞれ直交するものを直辺四面体と言います。直辺四面体は菱面体から定まります。→直辺四面体（垂心四面体）と24点球の定理
等面四面体かつ直辺四面体なものが正四面体です。正四面体は立方体から定まります。

角度の三角不等式

定理

任意の1次独立な3本の空間ベクトル $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ に対して

$\theta_{ab}+\theta_{bc}>\theta_{ac}$

ただし， $\theta_{ab}$ は $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ がなす角。 $\theta_{bc},\theta_{ac}$ も同様。

証明

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ が張る平行六面体を考える。角度の三角不等式の証明

$B$ に集まる角度は $360^{\circ}$ 未満なので
$(180^{\circ}-\theta_{ab})+(180^{\circ}-\theta_{bc})+\theta_{ac}<360^{\circ}$

よって $\theta_{ab}+\theta_{bc}>\theta_{ac}$

※角度の三角不等式，他のおもしろい証明方法があればぜひ教えてください。

ダンボールを潰すときに「お，平行六面体」と思うことがあります。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！