分母の有理化や実数化について

「分母が無理数である分数」に対して，分母と分子に同じ数をかけて「分母が有理数である分数」にすることを「分母の有理化」ということがあります。

分母の有理化について，現時点での私の意見は以下の2つです。

1. 「分母を有理化しろ」と言われたときに，できるようになっておくべき

• 例えば，$\dfrac{5}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5}{2}\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ のように，有理化を使うことで式をシンプルな形にできる場合があります。

• 例えば，$a+b\sqrt{2}$（$a,b$ は有理数）という数全体の集合が，商に関して閉じていることを確認するときにも使えます。つまり，分母の有理化を使うと，$\dfrac{a_1+b_1\sqrt{2}}{a_2+b_2\sqrt{2}}$ も $a+b\sqrt{2}$ という形で表せることが分かります。

2. 数学の試験の答案において，分母の有理化を強制する合理的な理由は無い

• 「採点を楽にするための配慮」として，分母の有理化をすると行儀が良いかもしれません。しかし，それ以上の数学的に合理的な理由はありません（少なくとも私は説明できません）。

• 「分母の有理化をしない方がきれいな場合」もあります（後述）。

以下のような式は「分母を有理化しない方がきれい」と思う人が多いのではないでしょうか。

$\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

点と直線の距離公式： $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

また，極限を計算するときに，分母ではなく「分子を有理化」することもあります。他にも，$\pi$ や $e$ などの無理数が分母にある分数は，そもそも有理化できませんね。

分母の有理化と似た操作に，分母の実数化があります。 $\dfrac{c+di}{a+bi}$ の分母分子に $a-bi$ をかけることで分母を実数化できます。

例えば，

$\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1\times(1-i)}{(1+i)\times(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}$

のようになります。

分母の実数化を使うと「複素数同士の割り算もまた複素数になる」ことがわかります。

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