ご質問の場合ですと、台が床から受ける垂直抗力がθによらず(m+M)gで一定となることはないです。yuming0926さんのお答えで合っていると思います。
極端な例としてθ=90°のケースを考えてみてください。物体は台に関係なく勝手に自由落下するだけで、摩擦もないのですから台になんの力も及ぼしません。このときに台が床から受ける垂直抗力はMgだけであるのはご理解頂けると思います。別の言い方をするとθ=90°を代入してFがMgにならない解は正しくありません。
もし納得いただけないなら、別の極端な場合として次のようなケースを考えてみて下さい。
台の両側を拘束して、台の水平方向の移動を禁止します。
ご質問の場合と同様に斜面で物体を滑らすとすると
物体が受ける重力は mg
物体が斜面に及ぼす力は mg cosθ
となります。
物体は斜面と垂直方向には運動しないので、物体が斜面に及ぼす力=垂直抗力Nの関係があります
このとき台が物体から受ける力の鉛直方向成分は N cosθ=mg cos^2 θ
よって台が床から受ける垂直抗力Fは角度θに応じて
F=Mg+mg cos^2 θ
と変化します。θ=0°(物体はただ台に載っているだけ、もしくは水平方向の移動だけ)でF=(M+m)g、θ=90°(物体は自由落下するだけ)でF=Mgになることを確認してください。
Aという物体の上にBという物体が載っていたとしても、Bが垂直方向に加速度を有する運動をしている場合には、Aが床から受ける垂直抗力はA,Bにかかる重力の和とは等しくないということです。
さて垂直抗力Nについては私も独自に解いてみました。
／｜
ｍ ／ ｜
●／ ｜
／ ｜
／ Ｍ ｜
／θ ｜
￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
【物体について】
物体にかかる力 重力mg(鉛直方向)と垂直抗力N(大きさはこの時点では不明)
物体が初速ゼロから時間tの間に鉛直方向に動く距離 (1/2)×{(mg-N cosθ)÷m}×t^2 (1)
物体が初速ゼロから時間tの間に水平方向に動く距離 (1/2)×{N sinθ÷m}×t^2 (2)
【台について】
台に対し、水平にかかる力 N sinθ (3)
台が初速ゼロから時間tの間に水平方向に動く距離 (1/2)×{N sinθ÷M}×t^2 (4)
台の幾何的形状を考えると、{(2)+(4)}×tanθ=(1)を満たさなくてはならない。
よって
[{N sinθ÷m}+{N sinθ÷M}]×tanθ={(mg-N cosθ)÷m}
{N (m+M) sin^2 θ}/cosθ=M(mg-N cosθ)
N {(m+M) sin^2 θ+M cos^2 θ}=Mmg cosθ
N=(mMg cosθ)/(m sin^2 θ+M) (5)
となって、yuming0926さんのご解答と一致しました。
FはMg+N cosθですからこれまたyuming0926さんのご解答の通りでよいと思います。常にF=mg+Mgになると限らないのは冒頭で書いた通りです。
θ=90°でF=Mg、θ=0°でF=mg+Mgになりますから、(5)は解の振舞いとしても合っています。
なお上記は計算ミスをしているかも知れませんので、確認しながら読んで頂ければ幸いです。
