幾何平均とは？ わかりやすく解説

きか‐へいきん【幾何平均】

幾何平均（Gm）

　有効ケース数を n，各ケースの測定値を Xi （ i = 1，2，… ，n ）とすると，以下の式で定義される。

　上式の両辺の対数を取ると，次式が得られる。

　例題：5 つの測定値，2，3，4，7，9 の幾何平均値を求めよ。
　解答：Gm = ( 2 * 3 * 4 * 7 * 9 ) ^1/5 = 1512 ^1/5 = 4.32424566
　 別解として，以下の表のように各 Xi の対数を取り，その平均値を求め，指数を求めると，Gm = exp (1.46423771) = 4.32424566。

Xi	log ( Xi )
2	0.69314718
3	1.09861229
4	1.38629436
7	1.94591015
9	2.19722458
合計	7.32118856
平均値	1.46423771

• 二番目の式は，元の測定値の対数を取ったものの平均値（log ( Gm )）を求め，その指数を取れば幾何平均になる（exp｛ log ( Gm ) ｝= Gm ）ことを表している。
  　対数を取るということは，元の測定値は 0 および負の値は取らないことを表す。すなわち，元の測定値は“比尺度”であることを示唆する。
  
• 心理学において，“感覚の量が算術級数的に増加するためには，対応する刺激は幾何級数的に増大させねばならない”という Fechner の法則というのがある。したがって，“刺激”の代表値としては，幾何平均が適している。
  
• 後に触れるが“対数正規分布”に従う変数に対して望ましい代表値であることがわかる。
  
• 経済現象などで，“5 年間の物価上昇率が 7 % のとき，1 年の物価上昇率はいくつか”という場合に，5 年間の平均上昇率は幾何平均を用いるべきである。
  

  算術平均値は 7 / 5 = 1.4 ということになるが，この数値が誤ったものであることは，( 1 + 0.014 ) 5 = 1.071987633 であることから明らかである（この式は，複利計算の式である）。 　幾何平均は 1.07 の 5 乗根，すなわち 1.071/5 = 1.013623698 から，年率 1.3623698 % を得る。

幾何平均

幾何平均

幾何平均

幾何平均は映画やビデオの妥協的画面アスペクト比の策定に使われてきた。2つのアスペクト比があるときそれらの幾何平均をとれば、両者を同程度に歪めるか切り取るかした妥協的アスペクト比を提供する。具体的には、面積が等しくアスペクト比が異なる領域を中心を揃えて辺が平行になるように重ねると、それらが重なった領域が両者の幾何平均のアスペクト比と等しくなる。また、両者を全部含む最小の長方形の領域も幾何平均と同じアスペクト比になる。

SMPTEは16:9というアスペクト比を選ぶにあたって、2.35:1（スコープ・サイズの映画）と4:3（従来のテレビ）の幾何平均をとって ${\displaystyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}=1.7{\overline {7}}}$