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微分方程式がわかりません

2010/12/19 11:37

dy/dx + y*sinx = sinx*cosx　の微分方程式を解けという問題なのですが、予習の段階でこれを出題されて、教科書を見ても例題がみつからず困っていますどうか教えてください。よろしくお願いします。

usamiiii
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数学・算数
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inara1
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2010/12/19 12:54 回答No.1

まず、問題の微分方程式の右辺が 0 のとき dy/dx + y*sinx = 0 を解きます（両辺を y で割って積分すれば解けます）。その解は積分定数を C として　　　y = C*exp{ cos(x) } になりますが、この C を x の関数 C(x) として　　　y = C(x)*exp{ cos(x) } --- (1) として元の微分方程式に入れると、C(x) に関する微分方程式　　　dC/dx = sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) } が得られますから　　　C(x) = ∫sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) } dx となります。この積分は t = cos(x) と置いて、部分積分法を適用すれば計算できます。C(x) あ決まったら (1) から y(x) が求められます。問題の微分方程式の解は　　　y(x) = 1 + cos(x) + A*exp{ cos(x) } となります（A は定数）

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noname#171582

2010/12/19 22:27 回答No.2

右辺が０の場合を考えます。 dy/dx + y*sinx = ０・・・・（１） dy/dx ＝－ y*sinx・・・・・（２）両辺にｄｘをかけます。 dy ＝－（ y*sinx）ｄｘ・・（３）両辺に1/ｙをかけて変数分離形にします。ｄｙ/ｙ＝-(sinx）ｄｘ・・・（４）両辺を積分します。 logy =ー∫[sin(x)} dx＝cosx・・・（５）積分常数をCとしてｙ＝C＊exp｛cos（x）｝・・・・（６）

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