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微分方程式の特殊解

2004/02/01 18:02

申し訳ありませんが、教えてください。 (d^2y/dx^2)-(dy/dx)=e^x/(1+e^x) という2階の微分方程式で同次方程式の一般解は、 y=A+Be^x (A,Bは定数) となりますが、特殊解の求め方が分かりません。お分かりになる方、教えてください。よろしくお願いします。

eliteyoshi
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数学・算数
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ElectricGamo
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2004/02/02 01:16 回答No.1

微分演算子を使って機械的に処理するのが楽です。微分演算子をD、求めたい特殊解をYとすると、 Y=1/(D^2-D) exp(x)/(1+exp(x)) =1/(D-1)・1/D exp(x)/(1+exp(x)) =1/(D-1)∫exp(x)/(1+exp(x))dx =1/(D-1)log(1+exp(x)) =exp(x)∫exp(-x)log(1+exp(x))dx =exp(x)∫{-exp(-x)}'log(1+exp(x))dx =exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))-∫(-exp(-x))・exp(x)/(1+exp(x))}dx} =exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))+∫{1/(1+exp(x))}dx} =exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))+∫{1-exp(x)/(1+exp(x))}dx} =exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))+x-log(1+exp(x))} =-(1+exp(x))log(1+exp(x))+xexp(x) 微分演算子に関する公式については教科書等をお調べください。

質問者