Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
CAPITULO 2. Movimiento rectilíneo
Según la velocidad: Uniforme y uniformemente
variado.
Movimiento uniforme: La velocidad de movimiento
es constante
Movimiento uniformemente variado: La aceleración
es constante, como es el caso de los cuerpos en caída
libre sometidos a la aceleración de de la gravedad.
DEFINICIÓN DE PARTÍCULA.
El Punto Material
Es una idealización de los cuerpos que existen en la
naturaleza y que llamamos punto material. Es un
cuerpo cuyas dimensiones son despreciables al
compararlas con las otras dimensiones que
intervienen en el movimiento.
La Mecánica comienza con el estudio de los puntos
materiales y después extiende estos estudios a los
sistemas de puntos materiales, incluyendo cuerpos
rígidos y deformables.
El punto material, a diferencia de un punto
geométrico, está asociado a una masa inercial; esta
propiedad está íntimamente ligada al movimiento de
los cuerpos, como podemos ver cuando tratamos de
entender cómo se mueven los cuerpos.
SISTEMAS DE REFERENCIA. POSICIÓN Y
DESPLAZAMIENTO.
El movimiento es una noción esencialmente relativa.
Así resulta que el movimiento como el reposo son
hechos relativos, no se puede decir que algo se
mueve o que está en reposo sin añadir respecto a
qué. En consecuencia necesitamos un sistema de
referencia para descubrir el movimiento.
CONCEPTO DE MOVIMIENTO
El movimiento es un fenómeno físico que se define
como todo cambio de posición que experimentan los
cuerpos en el espacio, con respecto al tiempo y a un
punto de referencia, variando la distancia de dicho
cuerpo con respecto a ese punto o sistema de
referencia, describiendo una trayectoria. Para
producir movimiento es necesaria una intensidad de
interacción o intercambio de energía que sobrepase
un determinado umbral.
La parte de la física que se encarga del estudio del
movimiento es la cinemática.
Sistemas de referencia. Desde el punto de vista
estrictamente matemático, un sistema de referencia
en un espacio vectorial de dimensión n está formado
por n vectores linealmente independientes,
formando una base del espacio, y por un punto,
definido por n coordenadas, que suele llamarse
origen del sistema de referencia.
En el dominio de la física, el espacio suele ser la
base más habitual la llamada ortonormal ( iˆ , ĵ ,
k̂ ), y el origen se sitúa a conveniencia del
observador. Los vectores de la base son
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO
Según se mueva un punto o un sólido pueden
distinguirse distintos tipos de movimiento:
iˆ = (1,0,0), ĵ = (0,1,0) y k̂ = (0,0,1).
Atendiendo a su posible estado de reposo o
movimiento, los sistemas de referencia pueden ser
clasificados siempre y cuando hablemos de su
relación respecto a otro sistema de referencia que
arbitrariamente supongamos inmóvil. En efecto,
debe tenerse en cuenta que cualquier sistema de
referencia está moviéndose respecto a otro (este
papel gira y se traslada con la Tierra alrededor del
Sol, el cual a su vez se desplaza en la galaxia, que a
su vez se expande en el Universo...), por lo que no
cabe hablar de un sistema de referencia absoluto.
De acuerdo con lo anterior, un sistema de referencia
puede estar:
a) en reposo respecto a otro
Según la trayectoria del punto: Rectilíneo y
curvilíneo
Movimiento rectilíneo: La trayectoria que describe
el punto es una línea recta.
Movimiento curvilíneo: El punto describe una curva
cambiando su dirección a medida que se desplaza.
Casos particulares del movimiento curvilíneo son la
rotación describiendo un círculo en torno a un punto
fijo, y las trayectorias elípticas y parabólicas.
Según la trayectoria del sólido: Traslación y
rotación.
Traslación: Todos los puntos del sólido describen
trayectorias iguales, no necesariamente rectas.
Rotación: Todos los puntos del sólido describen
trayectorias circulares concéntricas.
→
b) moviéndose con velocidad constante
al supuestamente fijo
c) con una aceleración respecto al fijo.
v respecto
Un buen ejemplo del primer caso podemos
encontrarlo en un sistema de referencia como la
pizarra, que se encuentra en reposo relativo respecto
a las paredes del aula (en condiciones normales).
Un ejemplo de sistema de referencia inercial
podemos encontrarlo en un tren que se mueve en un
tramo de vía rectilíneo con una velocidad
sensiblemente constante.
Según la dirección del movimiento:
Alternativo y pendular.
Alternativo: Si la dirección del movimiento cambia,
el movimiento descrito se denomina alternativo si es
sobre una trayectoria rectilínea o pendular.
Pendular: Si lo es sobre una trayectoria circular (un
arco de circunferencia).
1
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
Y por último, la propia Tierra constituye un sistema
de referencia no inercial, ya que gira con una
aceleración normal, que si bien es pequeña, en
ciertos fenómenos se observa con claridad.
una recta, circunferencia, espiral, parábola o curvas
tan complicadas como se nos ocurra.
La trayectoria no define el movimiento, pues no
sabemos en que instante de tiempo ocupó cada
punto. Sabemos dónde estuvo, pero no cuando y si
estuvo varias veces en cada punto o no. Hace falta la
ecuación horaria.
Para encontrar la ecuación horaria debemos medir
las distancias en función del tiempo.
Vector Posición.- Para fijar la posición de un punto
en el espacio respecto a un origen de coordenadas
bastan tres números que pueden ser las proyecciones
sobre los ejes de un sistema cartesiano ortogonal.
En la figura P0 es un origen fijo sobre la curva (C)
que porta la trayectoria.
Sea P la posición de la partícula en el instante t
sobre la trayectoria definida por el arco
El vector posición del punto P es:
→
→
OP = r
∩
P0 P = S
El movimiento quedará especificado si conocemos
el vector posición para cada instante, es decir:
r = r (t )
→
→
La ecuación horaria del movimiento de la partícula P
es
S = S (t )
Esto se conoce como ley de movimiento.
El vector posición puede ser expresado a través de
las ecuaciones paramétricas de sus componentes en
función del tiempo:
x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t )
Ejemplo experimental. Estudio del movimiento de
la caída libre de un cuerpo.
Solución.
Si dejamos caer un objeto, obtenemos que la
trayectoria sea una recta vertical.
Para encontrar la ley del movimiento podemos
intentar medir a partir de dónde la dejamos caer,
distancias sucesivas para diferentes tiempos.
Una forma experimental es usando una película
fotográfica y una flash electrónico que se encienda
por ejemplo cada 1/30 de segundo. En una
habitación oscura dispondremos el cuerpo, la
película y un disparador que deje caer el cuerpo y
simultáneamente accione el flash. Paralelamente a la
trayectoria a seguir por el objeto se fija una regla.
→
r = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ
Desplazamiento.
La figura muestra una partícula que se está
moviendo a lo largo de la trayectoria curvilínea C.
Sean P1 y P2 las posiciones de la partícula en los
instantes t1 y t 2 = t1 + Δt . Los vectores posición
correspondientes son
→
→
→
OP 1 y OP 2 = r 2 = r 1 + Δ r .
→
Siendo Δ r el vector desplazamiento y describe el
desplazamiento de la partícula de la posición P1 a la
posición P2.
Trayectoria y Ecuación Horaria del Movimiento.Se llama trayectoria de una partícula en movimiento
al lugar geométrico de las posiciones efectivamente
ocupadas por la partícula en el transcurso del
tiempo. De acuerdo al tipo de movimiento podrá ser
2
Movimiento rectilíneo
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→
r = −kt 2 kˆ
x = 0 , y = 0 y z = kt 2
Las ecuaciones paramétricas son
En esencia para cualquier movimiento debemos
ingeniarnos para obtener la ecuación horaria y
conocida su trayectoria, queda determinado el
movimiento.
VELOCIDAD Y RAPIDEZ
La fotografía mostrada permite conocer las cotas de
la foto en los diferentes instantes bien determinados.
La tabla muestra los resultados de la fotografía:
Tiempo
t0
Rapidez. La rapidez (que en el lenguaje común se
denomina simplemente velocidad) se define como el
cociente entre la distancia recorrida y el tiempo
transcurrido. La distancia s recorrida a lo largo de
una trayectoria es una magnitud escalar,
independiente de la dirección. Como el tiempo
también es un escalar, la rapidez es también un
escalar.
La rapidez se designa mediante el símbolo v y sus
dimensiones son:
Cota(m)
0,2480
t1
0,3250
t2
0,4130
t3
0,5130
t4
0,6235
t5
0,7450
t6
0,8875
t7
1,0215
La unidad en el sistema SI es el metro por segundo
(m/s).
La figura muestra una partícula que se está
moviendo a lo largo de la trayectoria curva C. En el
instante t1 esta en P1, a una distancia S1 de un
t8
1,1760
punto P0 de referencia. En el instante t 2 está en P2 a
t1
1,3405
una distancia S 2 del punto de referencia.
t 10
1,5155
[v] = LT -1
z = f (t )
Tracemos la curva representativa del la función
En el tiempo que transcurre entre t1 y t 2 ,
Δt = t 2 − t1 , la partícula ha recorrido una distancia
ΔS es la diferencia entre S 2 y S1 , esto es
ΔS = S 2 − S1 .
Se define como rapidez media dentro de este
intervalo
S 2 − S1 ΔS
=
Δt
t 2 − t1
El símbolo Δ (delta) significa un incremento de una
vm =
Esta curva corresponde a una parábola y su
expresión matemática es
z = kt 2
⎧ z está en segundos
⎪
m
⎪
Donde ⎨k = 4,9 2
s
⎪
t
está
en
segundos
⎪⎩
magnitud física.
Si la rapidez de la partícula varía a lo largo de la
trayectoria, para conocer con mejor precisión el
movimiento debemos hacer los intervalos ΔS más
pequeños y tomar la rapidez media de cada uno de
ellos. La figura a continuación nos muestra el
gráfico distancia recorrida versus tiempo, observen
que cuando t 2 tiende a t1 , Δ t tiende a cero.
Mediante este proceso llamamos a la rapidez
instantánea v en el instante t. Este proceso se
expresa matemáticamente como
s = kt 2
Luego la ecuación horaria es
Si fijamos el origen del movimiento en z = 0, la ley
del movimiento es
3
Movimiento rectilíneo
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S (t ) = Asen (ωt )
ΔS dS
=
Δt → 0 Δt
dt
v = lim
Solución.
En el intervalo de tiempo de t hasta t + Δt la
partícula que se mueve:
ΔS = S (t + Δt ) − S (t )
= Asenω (t + Δt ) − Asenωt
= Asenωt cos(ωΔt ) + Acosωtsen(ωΔt )
- Asenωt
ΔS
Δt → 0 Δt
La rapidez en un instante t cualquiera es
v = lim
dS
se llama “derivada de S con
La cantidad
dt
respecto a t ” y el proceso de encontrarla se llama
derivación o diferenciación. La notación dS , dt ,
= lim
expresa incrementos infinitesimalmente pequeños
que se conocen como diferenciales.
El proceso desarrollado en los dos ejemplos
anteriores se hace simple con la práctica.
Hay muchas reglas o fórmulas para derivar
diferentes tipos de funciones. Estas pueden
memorizarse o encontrarse en tablas. La tabla
siguiente es una pequeña muestra de estas.
Ejemplo 1.
a) Hallar una expresión para la rapidez de una
partícula que se mueve de acuerdo a la ley horaria
S = At 2
2
b) Si A = 1,4 m/s , hallar la distancia a la que se
encuentra la partícula y su rapidez para 10 segundos
después de iniciado su movimiento.
Solución.
a) Si en el tiempo t está en S(t ) :
Derivadas de algunas funciones
S =t
Función
S(t ) = At 2
Transcurrido un tiempo Δt , la partícula estará en
S(t + Δt ) = A(t + Δt )
S = cu
At 2 + 2 At Δt + A(Δt ) ,
2
S =u+v
2
ΔS = S(t + Δt ) − St
Como
S = uv
At 2 + 2 At Δt + A(Δt ) − At 2
= 2 At Δt + A(Δt )
La rapidez en el instante t es:
=
n
S =c
S(t + Δt )
=
Asen ωt cos (ωΔt ) + Acosωtsen (ωΔt ) − Asenωt
Δt
v = Aω cos ωt
Δt → 0
S = Asenωt
2
ΔS
Δt → 0 Δt
2
2 AtΔt + A(Δt )
= lim
= 2 At
Δt →0
Δt
b) Para t = 10 es
⎛ m⎞
2
S(10 ) = ⎜1,4 2 ⎟(10s ) = 140 m
⎝ s ⎠
v(t ) = lim
S = Acosωt
Derivada
dS
dt
dS
dt
dS
dt
dS
dt
dS
dt
dS
dt
dS
dt
= nt n −1
=0
=c
du
dt
du dv
=
+
dt dt
du
dv
=v
+u
dt
dt
= Aωcosωt
= − Aωsenωt
Ejemplo 3. Hallar una expresión para la rapidez de
una partícula que se mueve de acuerdo a la ley
horaria S = At , usando fórmulas de la tabla
anterior.
Solución.
Tenemos que:
2
m
⎛ m⎞
2
v(10 ) = 2⎜1,4 2 ⎟(10s ) = 28 2
s
⎝ s ⎠
y su rapidez es
v=
Ejemplo 2. Hallar una expresión para la rapidez de
una partícula que se mueve según la ecuación
horaria
( )
dS d At 2
dt 2
=
=A
= 2 At
dt
dt
dt
Ejemplo 4. Hallar una expresión para la rapidez de
una partícula que se mueve de acuerdo a la ley
4
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horaria S (t ) = Asen (ωt ) , usando fórmulas de la
tabla anterior.
Solución.
Tenemos que
→
La magnitud del vector velocidad instantánea, v ,
r
es decir v o simplemente v es igual a la rapidez
dsenωt
dS d ( Asenωt )
=
=A
= Aω cos ωt
v=
dt
dt
dt
instantánea en ese punto.
La velocidad es la pendiente del gráfico de x versus
t, como se muestra en la figura.
Velocidad. La velocidad (que más apropiadamente
sería vector velocidad), a diferencia de la rapidez
debemos incluir el concepto de dirección en nuestro
estudio; para esto debemos emplear vectores.
La figura muestra una partícula que se está
moviendo a lo largo de la trayectoria curvilínea C.
Cuando la pendiente es positiva, el objeto se está
moviendo a la derecha.
Cuando la pendiente es negativa, el objeto se está
moviendo a la izquierda.
Cuando la pendiente es cero, el objeto se detiene.
Sean P1 y P2 las posiciones de la partícula en los
instantes t1 y t 2 = t1 + Δt . Los vectores posición
Ejemplo 5. Entre dos observadores hay una
distancia de 1050 m, uno de ellos dispara un arma de
fuego y el otro cuenta el tiempo que transcurre desde
que ve el fogonazo hasta que oye el sonido,
obteniendo un valor de 3 s. Despreciando el tiempo
empleado por la luz en hacer tal recorrido, calcular
la velocidad de propagación del sonido.
→
correspondientes son OP1 = r 1 y
→
→
→
→
OP 2 = r 2 = r 1 + Δ r . Siendo Δ r el vector
desplazamiento y describe el desplazamiento de la
partícula de la posición P 1 a la posición P 2 .
Velocidad media. El cociente entre el vector
→
desplazamiento Δ r y el intervalo de tiempo Δt es
el vector velocidad media.
→
vm =
Solución.
La velocidad es:
c = s/t = 1050/3 = 350 m/s
→
Δr
Δt
Ejemplo 6. Nos encontramos en una batalla naval,
en un buque situado entre el enemigo y los
acantilados de la costa. A los 3 s de ver un fogonazo
oímos el disparo del cañón, y a los 11 s del fogonazo
percibimos el eco. Calcular la distancia a que están
de nosotros el enemigo y la costa. Velocidad del
sonido, 340 m/s.
Como el desplazamiento es un vector y el tiempo es
un escalar positivo, la velocidad es una magnitud
vectorial que tiene la misma dirección y sentido que
el desplazamiento. Esto significa que si una
partícula sufre un desplazamiento negativo, su
velocidad será también negativa.
Velocidad instantánea. Como en el caso de la
→
rapidez obtendremos la velocidad instantánea v
tomando la velocidad media en un intervalo de
tiempo cada vez menor Δt medido desde un cierto
tiempo t1 . En el límite, cuando Δt tiende a cero:
→
→
→
→
r 2− r1
Δr d r
v (t1 ) = lim
= lim
=
t 2 →t1
Δt →0 Δt
Δt
dt
→
Solución.
Despreciando el tiempo empleado por la luz en su
recorrido, la distancia a que se encuentra el enemigo
es:
S = 340 x 3 = 1020 m
El sonido emplea para ir y volver a la costa, desde
nuestra posición, un tiempo que es:
t = 11 - 3 = 8 s ⇒ 2S’= 340 x 8 ⇒ S’ = 1360 m
La costa está a 1020 + 1360 = 2380m.
La dirección de este vector es la dirección límite del
vector cuando Δt → 0 de la figura anterior. Es
→
evidente que en este límite la dirección de Δ r es la
de la tangente la trayectoria en P1.
5
Movimiento rectilíneo
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Δx dx
, la velocidad
=
Δt →0 Δt
dt
b) de la ecuación v x = lim
Ejemplo 7. La posición de una partícula en
coordenadas cartesianas está dada por la ecuación
r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ
→
instantánea en función del tiempo es
x(t ) = 5 + 6t 2 , y (t ) = 3t , z (t ) = 6
tal que
i) v x (0) = 0,
v x = 2bt − 3ct 2 = (4,80)t − (0,360)t 2
donde
ii) v x (5) = (4,80 )(5) − (0,360)(5) = 15,0 y
t en segundos, x, y, z en metros.
a) Determinar el desplazamiento entre t = 0 y t = 1 s.
b) Determinar la velocidad media
c) Determinar la velocidad y la rapidez para t = 1 s.
Solución.
a) para t = 0 s, x = 5m, y = 0m, z = 6m
2
iii) v x (10) = ( 4,80)(10) − (0,360)(10) = 12,0
c) el auto está en reposo cuando v x = 0 .
Por consiguiente ( 4,80)t − (0,360)t = 0 .
2
→
El único tiempo después de t = 0 en que el auto se
r 0 = 5iˆ + 6kˆ
encuentra en reposo es t =
Para t = 1s, x = 11m, y =3m, z = 6m
→
r 1 = 11iˆ + 3 ˆj + 6kˆ
Δ r = r 1 − r 0 = (11 − 5)iˆ + (3 − 0) ˆj + (6 − 6 )kˆ
= 6iˆ + 3 ˆj
El desplazamiento es
→
→
→
→
Δ r 6iˆ + 3 ˆj
=
= 6iˆ + 3 ˆj
vm =
Δt
1− 0
c)
[(
)
la velocidad instantánea es
→
d r d 5 + 6t 2 iˆ + 3tˆj + 6kˆ
v=
=
dt
dt
ˆ
ˆ
= 12ti + 3 j
La magnitud de v es
→
]
stotal ssubida + sbajada
=
ttotal
ttotal
2v1v 2
2s
= 8 km / h
=
=
s
s
v1 + v 2
+
v1 v 2
v t + v2t v1 + v2
b) vm = 1
=
2t
2
a) vm =
v = 122 + 32 = 153
= 12,4 m/s
Valor que corresponde a la rapidez instantánea para
t = 1s.
Ejemplo 8. Un auto está parado ante un semáforo.
Después viaja en línea recta y su distancia respecto
al semáforo está dada por x(t) = bt2 - ct3 , donde b =
2,40 m/s2 y c = 0,120 m/s3.
a) Calcule la velocidad media del auto entre t = 0 y
t = 10,0 s.
b) Calcule la velocidad instantánea en
i) t = 0; ii) t = 5,0 s; iii) t = 10,0 s.
c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar vuelve a
estar parado el auto?
Solución.
a) En t1 = 0, x1 = 0 , tal que la ecuación
vm =
vm =
2 × 5 + 20
v1 2t + v2t 2v1 + v2
=
=
3t
3
3
= 12,5 km/h
c) vm =
= 10 km/h
(Obsérvese que la rapidez media es la media
aritmética de las rapideces uniformes únicamente en
el caso de que el tiempo que duran los distintos
recorridos sea el mismo).
ACELERACIÓN
En el lenguaje ordinario el término aceleración se
refiere sólo a incrementos del módulo de la
velocidad (rapidez), pero en Física se utiliza con un
sentido más amplio para designar un cambio del
vector velocidad. En Física se dice que un cuerpo
está siendo acelerado no sólo cuando aumenta su
velocidad sino también cuando disminuye o cambia
de dirección.
Se llama aceleración al cambio de la velocidad
(vector velocidad) en el tiempo.
x 2 − x1 Δx
⇒
=
t 2 − t1
Δt
x2 (2,4)(10) − (0,120 )(10)
=
t2
(10)
2
4,8
= 13,3 s
0,360
Ejemplo 9. Un ciclista marcha por una región
donde hay muchas subidas y bajadas
En las cuestas arriba lleva una rapidez constante de 5
km/h y en las cuestas abajo 20 km/h. Calcular:
a) ¿Cuál es su rapidez media si las subidas y bajadas
tienen la misma longitud?
b) ¿Cuál es su rapidez media si emplea el mismo
tiempo en las subidas que en las bajadas?
c) ¿Cuál es su rapidez media si emplea doble tiempo
en las subidas que en las bajadas?
Solución.
b) la velocidad media es
→
2
3
= 12,0 m/s
6
Movimiento rectilíneo
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Observe que la aceleración negativa no significa
necesariamente “bajar la velocidad”.
Cuando la velocidad y la aceleración ambas tienen el
mismo signo, el objeto aumenta su velocidad.
Cuando la velocidad y la aceleración tienen signos
opuestos, el objeto disminuye su velocidad.
Los gráficos de la figura siguiente ilustran el
desplazamiento, la velocidad, y la aceleración para
un objeto en movimiento.
Aceleración Media.
La razón en la cual la velocidad cambia se mide por
la aceleración. Así si un objeto tiene la velocidad
→
→
v 1 en el t1 del tiempo y velocidad v 2 en el t 2 , su
aceleración media es
→
→
→
v 2 − v 1 Δ v Δv ˆ
i
am =
=
=
t 2 − t1
Δt
Δt
→
Supongamos que una partícula que se mueve en la
trayectoria C de la figura anterior en el instante t1
está en P1 con una velocidad v1 y en el instante
t 2 = t1 + Δt está en P2 con una velocidad v 2 . Por
definición el vector aceleración media de la partícula
entre los instantes es t1 y t 2 es
→
→
[]
−2
)
Las componentes de la velocidad son:
vx =
dx
dy
= 2t + 1 , v y =
= 2.
dt
dt
dz
vz =
= 3t 2 + 4t
dt
Aceleración Instantánea o simplemente
aceleración. Cuando t 2 → t1 o Δt → 0
llegaremos al valor de la aceleración en el instante
t1 . Este proceso para el límite se expresa
matemáticamente como
→
→
→
(
)
v (t ) = (2t + 1)iˆ + 2 ˆj + 3t 2 − 4t kˆ
La velocidad es:
→
→
v 2 − v1
Δv d v
=
= lim
= lim
Δt →0 Δt
t 2 →t1 t − t
dt
2
1
→
(
x(t ) = t 2 + 1 , y (t ) = 2t − 1 , z (t ) = t 3 − 2t 2
ms
m
= 2
s
s
a (t1 )
)
Encontrar:
a) La velocidad para t = 1 s y para t = 3 s .
b) La aceleración media entre t = 1 s y para t = 3 s .
c) La aceleración y su magnitud para t = 1 s .
Solución.
a) Las ecuaciones paramétricas son:
Las dimensiones de la aceleración son a = LT
La unidad de la aceleración en el sistema SI está en
metros / segundo por segundo:
→
(
r (t ) = t 2 + t iˆ + (2t − 1) ˆj + t 3 − 2t 2 kˆ
→
→
v 2 − v1 Δ v
=
am =
Δt
t2 − t1
→
Ejemplo 10. Una partícula se mueve a lo largo de
una línea curva
→
Para t = 1 s : v (1) = 3iˆ + 2 ˆj − kˆ
→
→
Para t = 3 s . v (3 ) = 7iˆ + 2 ˆj + 15kˆ
b) La aceleración media entre t = 1 s y t = 3 s .
dr
Como v =
, tenemos:
dt
→
→
⎛ →⎞
→
d v d ⎜d r ⎟ d2 r
= ⎜
a=
=
dt
dt ⎜ dt ⎟⎟ dt 2
⎝
⎠
→
→
→
Δ v v (3) − v (1)
am =
=
=
Δt
3 −1
(7 − 3)iˆ + (2 − 2) ˆj + (15 + 1)kˆ
2
→
Es mejor evitar el uso de la palabra común
“desaceleración.”
Describa la aceleración simplemente como positiva
o negativa.
→
a m = 2iˆ + 8kˆ
7
Movimiento rectilíneo
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[
→
a (t ) =
→
)]
(
c) la aceleración instantánea es
dv d
(2t + 1)iˆ + 2 ˆj + 3t 2 − 4t kˆ
=
dt
dt
= 2iˆ + (6t
− 4 )kˆ
para t = 1s
→
Δ r Δx ˆ x − x0 ˆ
i
i=
v = viˆ =
=
t − t0
Δt
Δt
Δx x − x0
=
v=
= tan α
Δt
t − t0
→
→
a (1) = 2iˆ + 2kˆ
Diagrama velocidad-tiempo
a(1) = 2 2 + 2 2 = 2 2 m s 2
la magnitud de la aceleración es
Ejemplo 11. Una persona que se asoma por la
ventana de un edificio alto de oficinas observa lo
que sospecha es un ovni. La persona registra la
posición del objeto en función del tiempo y
determina que está dada por
(
→
El gráfico velocidad-tiempo del movimiento
uniforme es una recta paralela al eje del tiempo.
)
x − x0
⇒ x = x 0 + v(t − t 0 )
t − t0
Si el instante inicial t 0 = 0 , tenemos
x = x0 + vt
r (t ) = −5,0t iˆ + 10,0t ˆj + 7,0t − 3,0t 2 kˆ
De v
a) Obtenga los vectores de: desplazamiento,
velocidad y aceleración del objeto en t = 5,0 s.
b) ¿Hay algún tiempo en que la velocidad del objeto
sea cero?
c) ¿La aceleración del objeto es constante o cambia
con el tiempo?
Solución.
a) El vector desplazamiento es:
(
→
=
Diagrama espacio-tiempo
)
r (t ) = −5,0t iˆ + 10,0t ˆj + 7,0t − 3,0t 2 kˆ
El vector velocidad es la derivada del vector
desplazamiento:
d r (t )
= −5,0iˆ + 10,0 ˆj + [7,0 − 2(3,0)t ]kˆ
dt
→
El gráfico indica las posiciones instantáneas del
móvil en cada instante
y el vector aceleración es la derivada del vector
velocidad:
→
d 2 r (t )
= −6,0 kˆ
dt 2
en
t = 5,0 s:
→
[
]
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO.
Para que un movimiento sea rectilíneo
uniformemente variado su aceleración debe ser
constante y diferente de cero.
2
r (5 ) = −5,0(5)iˆ + 10,0(5) ˆj + 7,0(5) − 3,0(5) kˆ
= − 25,0iˆ + 50,0 ˆj − 40,0kˆ
→
d 2 r (5)
= −6,0 kˆ
dt 2
Estudio del Movimiento
a=
→
→
Δ v Δv ˆ
i
a = aiˆ =
=
Δt
Δt
Δv v − v0
a=
=
Δt t − t 0
v − v 0 = a(t − t 0 )
→
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
Para que un movimiento sea rectilíneo uniforme su
velocidad debe ser constante, es decir, que la
aceleración sea siempre igual a cero.
Estudio del Movimiento
dv Δv
=
= constante
dt Δt
→
Como la aceleración es constante, a m
b) la velocidad en ambas direcciones x e y es
constante y diferente de cero, luego la velocidad
nunca puede ser cero
c) La aceleración del objeto es constante, ya que t no
aparece en el vector aceleración.
→
Como el movimiento es uniforme v m = v , y
considerando que su trayectoria está en el eje x
Si el tiempo inicial t 0
v = v0 + at
8
=0
→
=a
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
Diagrama velocidad-tiempo
a=
Δv v − v0
=
= tan α
Δt t − t 0
La velocidad media:
Ejemplo 12. Demostrar que el área encerrada bajo la
curva de la velocidad del diagrama velocidad-tiempo
es igual al módulo del desplazamiento
Δx = x − x 0 .
→
Si la posición en t 0 es r 0 = x 0 iˆ y la posición en t
→
= xiˆ , la velocidad media en este intervalo es
Δx x − x0
=
vm =
Δt t − t0
es r
La posición.
De lo anterior:
x − x0 = vm (t − t0 )
y x = x0 + vm (t − t0 )
Solución.
El área encerrada es igual al área de un trapecio
cuyas bases son b1 = v y b2 = v 0 con altura
Por otra parte como la velocidad es una función
lineal, la velocidad media v m es
h = (t − t 0 ) .
v + v0
2
y como v = v 0 + a(t − t 0 )
vm =
resulta
vm =
Area del trapecio =
h
2
(v + v0 )
(t − t 0 )
=
2
1
= v 0 (t − t 0 ) + (v − v 0 )(t − t 0 )
2
(v − v0 )
Pero como a = tan α =
(t − t 0 )
⇒ (v − v0 ) = a(t − t 0 )
v 0 + [v 0 + a (t − t 0 )]
a(t − t 0 )
= v0 +
2
2
a(t − t 0 ) ⎤
⎡
(t − t 0 )
x = x 0 + ⎢v 0 +
2 ⎥⎦
⎣
1
2
⇒ x = x 0 + v0 (t − t 0 ) + a(t − t 0 )
2
finalmente
Si el tiempo inicial t 0
x = x0 + v0 t +
(b1 + b2 )
Area del trapecio = v0 (t − t 0 ) +
Luego
=0
1
2
a(t − t 0 )
2
Valor que precisamente corresponde al
desplazamiento Δx = x − x 0 .
1 2
at
2
Diagrama espacio -tiempo
LA ECUACIÓN DE TORRICELLI.
Podemos obtener una relación muy útil eliminando
el tiempo como variable en la ecuación
x = x 0 + v0 (t − t 0 ) +
Como a =
9
1
2
a(t − t 0 )
2
(v − v0 )
(v − v0 )
⇒ (t − t 0 ) =
(t − t 0 )
a
Movimiento rectilíneo
Sustituyendo
x = x0 + v0
(v − v0 )
a
Hugo Medina Guzmán
1 (v − v0 )
+ a
2
a2
2
v = v + 2a( x − x 0 )
Los diagramas aceleración-tiempo, velocidadtiempo y espacio-tiempo correspondientes son los
siguientes:
De donde se puede despejar:
2
2
0
Conocida como la ecuación de Torricheli.
Descripción del movimiento de una partícula con
aceleración constante.
Consideramos una aceleración constante a > 0 en
el sentido positivo de la trayectoria.
1er Caso:
La partícula tiene una velocidad inicial v0
a 0 = constante
≥ 0.
La partícula se desplaza de P 0 al infinito con un
sentido constante y aumentando su velocidad.
v = v 0 + at
Los diagramas aceleración-tiempo, velocidadtiempo y espacio-tiempo correspondientes son los
siguientes:
x = x0 + v0 t +
a 0 = constante
Ejemplo 13. Una tortuga camina en línea recta
sobre lo que llamaremos eje x con la dirección
positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición
de la tortuga en función del tiempo es
x(t) = 50,0 cm + (2,00 cm/s)t - (0,0625 cm/s2)t2 .
a) Determine la velocidad inicial, posición inicial y
aceleración inicial de la tortuga.
b) ¿En qué instante t la tortuga tiene velocidad cero?
c) ¿Cuánto tiempo después de ponerse en marcha
regresa la tortuga al punto de partida?
d) ¿En qué instantes t la tortuga está a una distancia
de 10,0 m de su punto de partida? ¿Que velocidad
(magnitud y dirección) tiene la tortuga en cada uno
de esos instantes?
e) Dibuje las gráficas: x-t, vx-t y ax-t para el intervalo
de t = 0 a t = 40,0 s.
Solución.
v = v 0 + at
x = x0 + v0 t +
1
a0 t 2
2
2do. Caso:
La partícula tiene una velocidad inicial v 0
1
a0 t 2
2
< 0.
vx =
dx
= 2,00 cm s − (0,125 cm s 2 )t
dt
dv
ax = x = −0,125 cm s 2
dt
a) En t = 0, x = 50,0 cm, v x = 2,00 cm s ,
La partícula se desplaza de P 0 en sentido negativo
con movimiento retardado (desacelerado) hasta
detenerse en P 1 y cambia de sentido. A partir de ese
instante la velocidad aumenta constantemente
(acelerado) y se desplaza al infinito con un sentido
constante.
a x = −0,125 cm s 2 .
b) Hagamos vx = 0 y resolvamos para t:
t = 16,0 s
10
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
⇒ t2 +10t -11 = 0 ⇒ t = 1 s
v D = vC + at = 50 + 10 = 60 cm/s
c) Hagamos x = 50,0 cm y resolvamos para t.
Esto da: t = 0 y t = 32,0 s .
La tortuga regresa al punto de partida después de
32,0 s.
d) La tortuga está a 10,0 cm del punto de partida
cuando x = 60,0 cm o x = 40,0 cm.
Hagamos x = 60,0 cm y resolvamos para t:
t = 6,20 s y t = 25,8 s
En t = 6,20 s, vx = + 1,23 cm/s.
En t = 25,8 s, vx = - 1,23 cm/s.
Hagamos x = 40,0 cm y resolvamos para t :
b) v B
= 2aAB
⇒ AB =
vB2 400
=
= 20cm
2a 20
v B = at ⎫
20
=2 s
⎬ ⇒ t=
20 = 10t ⎭
10
c)
t = 36,4 s
d) Será la suma de los tiempos parciales:
t = 2 + 3 +1 = 6 s
(la otra raíz de la ecuación cuadrática es negativa y
por lo tanto sin significado físico).
En t = 36,4 s, vx = - 2,55 cm/s.
MOVIMIENTO VERTICAL CON
ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.
e)
La variación de la magnitud de la aceleración g φ
debido a la gravedad en la superficie de la tierra con
la latitud está dada por la fórmula internacional de la
gravedad adoptada en 1930 por el Congreso
Geofísico Internacional:
g φ = 978,049000 (1 + 0,0052884 sen 2 φ
2
φ
- 0,0000059 sen 2 φ )
2
Donde φ es la latitud de la tierra medida en el
ecuador
Para φ = 0º (ecuador), g 0 = 978,0490
g en cm/s ,
Ejemplo 14. Un móvil parte del reposo y de un
punto A, con movimiento rectilíneo y
uniformemente acelerado (a =10 cm/s2); tarda en
recorrer una distancia BC = 105 cm un tiempo de 3
s, y, finalmente, llega al punto D (CD = 55 cm).
Calcular:
a) La velocidad del móvil en los puntos B, C y D.
b) La distancia AB.
c) El tiempo invertido en el recorrido AB y en el
CD.
d) El tiempo total en el recorrido AD.
Para
φ
en grados
= 90º (polos), g 90 = 983,2213
La variación de la aceleración gravitacional con la
altura sobre el nivel del mar es aproximadamente
g = g φ − 0,000002860h
h en metros y g φ en m/s
Donde h
≤ 40 000 m
2
Cerca de la superficie de la tierra la magnitud de la
aceleración debido a la gravedad varía muy poco
con la altura y en los cálculos técnicos ordinarios se
toma g = 9,81 m/s2 (dirigido verticalmente hacia
abajo).
Solución.
a)
1 2
⎫
at
⎪⎪
2
⎬ ⇒ vB =20 cm/s
1
2⎪
105 = v B 3 + 10 × 3 ⎪
2
⎭
vC = v B + at = 20 + 30 = 50 cm/s
Un cuerpo que se deja caer está sometido a la
aceleración de la gravedad y su movimiento
corresponde a un movimiento rectilíneo
uniformemente variado en el eje vertical
perpendicular a la tierra,
BC = v B t +
y = y 0 + v0 t +
v = v 0 + at
a = −g
1
⎫
CD = vC t + at 2 ⎪
⎪
2
⎬
1
2⎪
55 = 50t + 10t ⎪
2
⎭
a) Caída libre
11
1 2
at
2
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
2v
1
h = h + v0 t + − gt 2 ⇒ t P = 0 y por
2
g
supuesto t P = 0 , que corresponde al tiempo inicial.
Observamos que t P = 2t m
⎛ 2v ⎞
v P = v0 − g ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = v0 − 2v0 = −v0
⎝ g ⎠
Finalmente toca piso cuando y = 0
2v
1
2h
h + v 0 t − gt 2 = 0 ⇒ t 2 − 0 t −
=0
g
2
g
La velocidad es
Si se deja caer un cuerpo desde una altura h sobre el
nivel del piso y consideramos despreciable la
resistencia del aire.
En este caso y 0 = h , v 0 = 0 , luego:
y =h−
v = − gt
a = −g
1 2
gt
2
cuya solución es
v02 + 2h
v0
t=
±
g
g
El cuerpo toca tierra cuando y = 0
1 2
Luego h − gt = 0 ⇒ t =
2
y la velocidad es v =
toca el piso al tiempo
v02 + 2h
v0
+
t=
g
g
2h
g
2 gh
v = − v02 + 2 gh
con una velocidad
b) Lanzamiento hacia arriba
Si el mismo cuerpo desde la misma altura h se lanza
hacia arriba con velocidad v 0 , se mueve con un
c) Lanzamiento hacia abajo
Si el mismo cuerpo desde la misma altura h se lanza
hacia abajo con una velocidad v 0 , el cuerpo se
movimiento rectilíneo uniformemente retardado
(desacelerado).
mueve en un movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado.
1
y = h + v 0 t + − gt 2
2
v = v0 − gt
a = −g
y = h − v0 t −
v = −v0 − gt
a = −g
El cuerpo sube hasta que alcanza la altura máxima
y m . Esta corresponde a cuando la velocidad
y = 0.
2v
2h
1
h − v0 t − gt 2 = 0 ⇒ t 2 + 0 t −
=0
g
2
g
El cuerpo alcanza el piso cuando
disminuye a cero.
v0 − gt = 0 ⇒ t m =
De aquí
⎛v
y m = h + v0 ⎜⎜ 0
⎝g
=
y=h
v0
g
h+
⎞
1 ⎛v
⎟⎟ + + g ⎜⎜ 0
2 ⎝g
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
1 2
gt
2
cuya solución es
v02 + 2h
v0
t=− ±
g
g
2
v02
2
toca el piso al tiempo
v02 + 2h
v0
t=− +
g
g
Cuando el cuerpo pasa por el punto de lanzamiento
con una velocidad
12
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
v = − v02 + 2 gh
y2 = h - 30(t - 2) - 5(t - 2)2 = 0
De aquí t = 4 s;
h = 80m
Ejemplo 15. Desde lo alto de un edificio, se lanza
verticalmente hacia arriba una pelota con una
rapidez de 12,5 m/s. La pelota llega a tierra 4,25 s,
después. Determine:
a) La altura que alcanzó la pelota respecto del
edificio.
b) La rapidez de la pelota al llegar al suelo.
Solución.
La altura en función del tiempo será
Ejemplo 19. Desde el piso, se lanza hacia arriba una
pelota con una rapidez de 40 m/s. Calcule:
a) El tiempo transcurrido entre los dos instantes en
que su velocidad tiene una magnitud de 2,5 m/s.
b) La distancia respecto al piso que se encuentra la
pelota en ese instante.
Solución.
y = v0t −
1 2
gt (1)
2
v y = v0 − gt
( 2)
1
y = h + v0 t − gt 2
2
Con g = 10m/s2, v0 = 12,5 m/s
y = h + 12,5t - 5t2
a) Al tiempo t = 4,25 s, y = 0, luego:
h + 12,5(4,25) - 5(4,25)2 = 0,
⇒ h = 37,19 m
b) vy = 12,5 - 10t = 12,5 - 10(4,25)
= -30,0 m/s
v y = v0 − gt1 = 2,5
a) De la ecuación (2):
v y = v0 − gt 2 = −2,5
Restando obtenemos:
Δt = t2 − t1 =
Ejemplo 16. Se deja caer un cuerpo desde una altura
de y0 = 33 m, y simultáneamente se lanza hacia
abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de 1 m/s.
Encontrar el instante en que la distancia entre ellos
es de 18 m.
Solución.
y1 = 33 - 5t2
y2 = 33 - t - 5t2
y1 - y2 = t
Entonces la distancia entre ellos es 18m a los 18 s
v y = v0 − gt1 = 2,5
b) De la ecuación (2):
40 − gt1 = 2,5
37,5
= 3,83 s.
⇒ t1 =
9,8
h = 40(3,83) −
Con t1 en (1):
Ejemplo 17. Un cuerpo que cae, recorre en el último
segundo 68,3 m. Encontrar La altura desde donde
cae.
Solución. Suponiendo que se soltó del reposo
y = h - 5t2
El tiempo en que llega al suelo es
t=
1
2
g (3,83) = 81,41 m.
2
Con t2 se obtiene la misma altura, porque es cuando
la pelota está de bajada.
Ejemplo 20. Una roca cae libremente recorriendo la
segunda mitad de la distancia de caída en 3(s).
Encuentre
a) la altura desde la cual se soltó.
b) El tiempo total de caída.
Solución.
h
5
⎛ h⎞
⎛ h
⎞
⎟ =
y⎜⎜
− 1⎟⎟ − y⎜⎜
⎟
⎝ 5⎠
⎝ 5
⎠
La distancia recorrida en el último segundo será
y =h−
⎛ h⎞
⎛ h
⎞
⎟ − 5⎜
⎟ = 68,2
−
5⎜⎜
1
⎟
⎜ 5
⎟
5
⎝
⎠
⎝
⎠
⇒ h = 268,6 m
2
5
= 0,5s
g
2
1 2
gt
2
El tiempo en que alcanza h/2 es
tiempo en que h = 0 es
Ejemplo 18. Desde lo alto de un acantilado, se deja
caer una piedra, desde la misma altura se lanza una
segunda piedra 2 s más tarde con una rapidez de 30
m/s. Si ambas golpean el piso simultáneamente.
Encuentre: La altura del acantilado.
Solución.
y1 = h - 5t2
y2 = h - 30(t - 2) - 5(t - 2)2
Siendo al mismo tiempo
y1 = h - 5t2 = 0
t2 =
t1 =
h
y el
g
2h
g
a) por lo tanto el tiempo empleado en la segunda
parte de recorrido es
2h
−
g
b)
13
t=
h
= 3 ⇒ h = 524,6 m
g
2h
524,6
=
= 10,2 s
g
5
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 21. Se deja caer una piedra desde un globo
que asciende con una velocidad de 3 m/s; si llega al
suelo a los 3 s, calcular:
a) Altura a que se encontraba el globo cuando se
soltó la piedra.
b) Distancia globo-piedra a los 2 s del lanzamiento.
Solución.
Primer método:
En el instante en que empieza a caer el cuerpo el
ascensor lleva una velocidad vertical hacia arriba v.
El espacio vertical y hacia abajo que debe recorrer la
lámpara es:
Solución. Tomaremos el origen de coordenadas en
el punto en que se suelta la piedra. Magnitudes
positivas son las que tienen direcci6n hacia arriba.
a)
1
⎛
⎞
h − ⎜ vt + at 2 ⎟
2
⎝
⎠
v0 = 3m/s ⎫
⎪
1
g ≈ 10m/s 2 ⎬ y = h + 3t − 10t 2
2
⎪
t = 3s
⎭
(h = altura del ascensor) y (vt + at2/2) ascenso del
suelo de éste. La lámpara al desprenderse lleva una
velocidad inicial hacia arriba v. Aplicando la
ecuación:
s = vt +
Cuando la piedra toca suelo, y = 0
Luego
1
2
h = 3(3) − 10(3)
2
1 2
at
2
Siendo positivas las magnitudes hacia arriba y
negativas las descendentes, tendremos:
− h + vt +
= 36 m
b)
t’ = 2 s.
t=
h1: distancia al origen del globo en t'.
h2: distancia al origen de la piedra en t'.
h1 = v 0 t ' = 3 × 2 = 6m
⎫
⎪
⎬
1
1
h2 = v 0 t '+ gt ' 2 = 3 × 2 − 10 × 40 − 14m ⎪
2
2
⎭
1 2
1
at = vt − gt 2 ⇒
2
2
2h
2×3
=
= 0,74 s
9,8 + 1
g+a
Segundo método:
La aceleración de la lámpara respecto al ascensor,
considerando magnitudes positivas hacia abajo, es:
aBA = aB - aA = 9,8 – (-1) = 10, 8 m/s2
⇒ d = 6 + 14
h=
1
a BA t 2 ⇒
2
2h
2×3
= 0,74 s
=
t=
10,8
a BA
= 20 m
Ejemplo 22. La cabina de un ascensor de altura 3 m
asciende con una aceleración de 1 m/s2. Cuando el
ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se
desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo
que tarda la lámpara en chocar con el suelo del
ascensor.
Ejemplo 23. Una bola es lanzada verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 20 m/s de la parte
alta de una torre que tiene una altura de 50 m. En su
vuelta pasa rozando la torre y finalmente toca la
tierra.
a) ¿Qué tiempo t1 transcurre a partir del instante en
que la bola fue lanzada hasta que pasa por el borde
de la torre? ¿Qué velocidad v1 tiene en este tiempo?
b) ¿Qué tiempo total t 2 se requiere para que la bola
llegue al piso? ¿Cuál es la velocidad v 2 , con la que
toca el piso?
14
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
c) ¿Cuál es la máxima altura sobre el suelo
alcanzada por la bola?
d) Los puntos P1 y P2 están a 15 y 30 m,
respectivamente, por debajo del techo de la torre.
¿Qué tiempo se requiere para que la bola viaje de P1
a P2?
e) ¿Se desea que después de pasar el borde, la bola
alcance la tierra en 3s, ¿con qué velocidad se debe
lanzar hacia arriba de la azotea?
Ejemplo 24. Una maceta con flores cae del borde de
una ventana y pasa frente a la ventana de abajo. Se
puede despreciar la resistencia del aire. La maceta
tarda 0,420 s en pasar por esta ventana, cuya altura
es de 1,90 m. ¿A qué distancia debajo del punto
desde el cual cayó la maceta está el borde superior
de la ventana de abajo?
Solución.
Si la velocidad de la maceta en la parte superior de
la ventana es v 0 , podemos encontrarla en función
de la altura h de la ventana y el tiempo que tarda en
pasarla::
1 2
2h − gt 2
gt ⇒ v 0 =
2
2t
2
2(1,90 ) − (9,8)(0,42)
m
= 2,47
Luego: v 0 =
2(0,42)
s
La distancia y desde la azotea al borde superior de
h = v0 t +
la ventana es:
y=
Solución.
a) Para el sistema de coordenadas mostrado en la
figura, y = v 0 t +
1 2
at .
2
Otra forma de encontrar la distancia es: como
t = 0,420 s es la diferencia entre los tiempos
tomados en caer la las alturas ( y + h ) e y ,
tenemos
Pero en el borde del techo y = 0, luego
0 = v0 t1 +
1 2
at1 ,
2
t=
De la cual t1 = 0, indica el instante en el cual la bola
es lanzada, y también t1 = 4,08 s, la cual es el
tiempo en que la bola retorna al borde.
Luego, de v = v 0 + at
v1 = 20 + (− 9,8)(4,08) = −20m / s , que es el
2y
⇒
g
y+h
Elevando al cuadrado:
1
(− 9,8)t22 ⇒ t2 = 5,8 s
2
v2 = 20 + (− 9,8)(5,8) = −37 m / s
c) Máxima altura sobre tierra: h = y max + 50 .
gt 2
+ 2 gyt 2 + y = y + h
2
gt 2
⇒
+ 2 gyt 2 = h
2
Resolviendo para y :
b) − 50 = 20t2 +
De v 0 + 2ay max = 0 , ⇒
1 ⎛ 2h − gt 2
⎜
y=
2 g ⎜⎝ 2t
− (20)
=
= 20,4 m
− 2(9,8)
2
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
2
1 ⎡ 2(1,9) − (9,8)(0,42) ⎤
y=
⎢
⎥ = 0,311 m
2(9,8) ⎣
2(0,42)
⎦
Con los datos
Luego, h = 70,4 m.
d) Si t1 y t2 son los tiempos para alcanzar P1 y P2,
respectivamente,
2
− 15 = 20t1 − 4,9t12 y − 30 = 20t 2 − 4,9t 22
Resolviendo, t1 = 4,723 s, t2 = 5,248 s, y el tiempo
de P1 a P2 es (t2 - tl) = 0,525 s.
e) Si v0 es la velocidad inicial deseada, entonces –v0
es la velocidad cuando pasa el borde. Luego
aplicando y = v 0 t +
2( y + h)
−
g
gt 2
+ y=
2
negativo de la velocidad inicial.
ymax
v02 2,47 2
=
= 0,311 m
2 g 2(9,8)
Ejemplo 25. Malabarismo. Un malabarista actúa
en un recinto cuyo cielorraso está 3,0 m arriba del
nivel de las manos. Lanza una pelota hacia arriba de
modo que apenas llega al techo.
a) ¿Qué velocidad inicial tiene la pelota?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al techo?
En el instante en que la primera pelota está en el
cielorraso, el malabarista lanza una segunda pelota
hacia arriba con dos terceras parte de la velocidad
inicial de la primera.
1 2
at al viaje hacia abajo de
2
la torre, encontramos:
-50 = (- v0)(3) – 4,9(3)2, ⇒ v0 = 1,96 m/s.
15
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
c) ¿Cuánto tiempo después de lanzada la segunda
pelota se cruzan las dos pelotas en el aire? d) ¿A qué
altura sobre la mano del malabarista se cruzan las
dos pelotas
Solución.
a) Tomemos el sentido positivo hacia arriba.
Tenemos que v y = v 0 y − 2 g ( y − y 0 )
2
2
En el cielorraso, v y = 0 , y − y 0 = 3,0 m .
Luego: 0 = v 0 y − 2(9,8)(3) ⇒ v 0 y = 7,7 m s .
2
b) También tenemos:
v y = v0 y − gt = 0 = 7,7 − 9,8t
⇒ t = 0,78 s .
c) Tomemos el sentido positivo hacia abajo.
La primera bola viaja hacia abajo una distancia d
en el tiempo t . Como comienza desde su máxima
altura, v0 y = 0.
Ejemplo 27. En el salto vertical, un atleta se
agazapa y salta hacia arriba tratando de alcanzar la
mayor altura posible. Ni los campeones pasan
mucho más de 1,00 s en el aire (“tiempo de
suspensión”). Trate al atleta como partícula y sea
y máx su altura máxima sobre el suelo. Para explicar
d = v0 y t + 12 gt 2 ⇒ d = (4,9 m s 2 )t 2
v' 0 y = 13 (7,7 m s) = 5,1 m s .
En el tiempo t habrá viajado hacia arriba
(3,0 m − d ) y estará en el mismo lugar que la
2
primera bola. (3 − d ) = v' 0 y t − 12 gt
La segunda bola tiene
por qué parece estar suspendido en el aire, calcule la
razón del tiempo que está sobre y máx / 2 al tiempo
que tarda en llegar del suelo a esa altura. Desprecie
la resistencia del aire.
Solución.
El tiempo al caer para alcanzar y máx es:
(3 − d ) = 5,1t − 4,9t 2
t1 =
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolviéndolas obtenemos:
t = 0,59 s y d = 1,7 m.
d) 3,0 m − d = 1,3 m
El tiempo al caer para alcanzar y máx / 2 es:
t2 =
y máx
t
1
= 1 =
s.
g
2
2
1
, de tal
El tiempo debajo de y máx / 2 es 1 −
2
Ejemplo 26. Una manzana cae libremente de un
árbol, estando originalmente en reposo a una altura
H sobre un césped crecido cuyas hojas miden h.
Cuando la manzana llega al césped, se frena con
razón constante de modo que su rapidez es 0 al
llegar al suelo,
a) Obtenga la rapidez de la manzana justo antes de
tocar el césped.
b) Obtenga la aceleración de la manzana ya dentro
del césped.
c) Dibuje las gráficas: v-t y a-t para el movimiento
de la manzana.
Solución.
a) La rapidez de un objeto que cae una distancia
H en caída libre una distancia H − h es:
2 y máx / 2
=
g
manera que la razón entre el tiempo que está sobre la
mitad de la altura máxima y el tiempo que está por
debajo de la altura máxima es.
1/ 2
1 − 1/ 2
=
1
2 −1
= 2,4.
Esto explica porque el atleta parece estar suspendido
en el aire.
Ejemplo 28. Un excursionista despierto ve caer un
peñasco desde un risco lejano y observa que tarda
1,30 s en caer el último tercio de la distancia. Puede
despreciarse la resistencia del aire.
a) ¿Qué altura (en m) tiene el risco?
b) Si en (a) obtiene dos soluciones de una ecuación
cuadrática y usa una para su respuesta, ¿qué
representa la otra?
Solución.
a) Sea h la altura y toma un tiempo t en caer:
v = 2 g ( H − h).
b) La aceleración para llevar a un objeto desde la
rapidez v al reposo sobre una distancia h es:
a=
2 y máx
=1 s .
g
v2
2 g ( H − h)
⎛H
⎞
=
= g ⎜ − 1⎟.
2h
2h
⎝h
⎠
c)
h = 12 gt 2
16
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
h = 12 g (t − 1,3) 2
Si tarda 1,30 s en caer el último tercio h :
2
3
Ejemplo 30. Una piedra que cae libremente pasa a
las 10 horas frente a un observador situado a 300 m
sobre el suelo, y a las 10 horas 2 segundos frente a
un observador situado a 200 m sobre el suelo. Se
pide calcular:
a) La altura desde la que cae.
b) En qué momento llegará al suelo.
c) La velocidad con que llegará al suelo.
gt 2 = 12 g (t − 1,3) 2
Eliminando h de estas dos ecuaciones obtenemos:
1
3
2
t − 7,8t + 5,07 = 0
Resolviendo
⎧t = 7,08s
t = 3,9 ± 3,18 ⎨ 1
⎩t 2 = 0,73s
La primera es la solución correcta porque es mayor
que 1,30 s,
h=
1
2
(9,8)(7,08)2 = 245,6 m
b) Con la segunda solución para t encontramos h =
2,6 m. Esto correspondería a un objeto que estaba
inicialmente cerca del fondo de este "acantilado" que
era lanzado hacia arriba y tomando 1,30 s la subida a
la cima y la caída al fondo. Aunque físicamente es
posible, las condiciones del problema imposibilitan
esta respuesta.
Ejemplo 29. Desde la cornisa de un edificio de 60 m
de alto se lanza verticalmente hacia abajo un
proyectil con una velocidad de 10 m/s. Calcular:
a) Velocidad con que llega al suelo.
b) Tiempo que tarda en llegar al suelo.
c) Velocidad cuando se encuentra en la mitad de su
recorrido.
d) Tiempo que tarda en alcanzar la velocidad del
apartado c).
h1 = 300m
Solución.
h2 = 200m
h3 = 100m
t1 = 2 s
g ≈ 10m/s 2
v2 = v1 + gt1 ⇒ v2 = v1 + 10 × 2
a)
h3 = v1t1 +
1 2
1
gt1 ⇒ 100 = 2v1 + 10 × 4
2
2
2
2
v
v
h4 = 2 ⇒ h4 = 2
2g
2 × 10
H = h2 + h4
⎧v1 = 40m/s
⎪
De aquí se obtiene ⎨v2 = 60m/s ,
⎪h = 180m
⎩ 4
Finalmente H = 200 + 180 = 380 m
Solución.
Tomamos corno origen de coordenadas el punto de
lanzamiento y como sentido positivo el del eje
vertical descendente. Las ecuaciones de este
movimiento serán:
v = v 0 + gt
s = v0 t +
v0 = 10 m/s
b) Llamando t2 al tiempo que tarda en recorrer hl:
h1 = v1t 2 +
1 2
gt g ≈ 10m/s 2
2
1 2
gt 2
2
1
⇒ 300 = 40t 2 + 10t 22
2
⇒ t 2 = 5s
v = 10 + 10t
t = 2,6 s
⇒
1
2
60 = 10t + 10t
v = 36m/s
2
Luego llega al suelo a las 10 horas 5 segundos
c) y d) h’ = 30 m
c)
a) y b) h = 60 m
v' = 10 + 10t '
t ' = 1,65 s
⇒
1
2
v' = 26,5m/s
30 = 10t '+ 10t '
2
v = 2 gH =
= 87 m/s
17
2 × 10 × 380
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
El desplazamiento total para el intervalo (t − t 0 ) es
PROBLEMA INVERSO - CÁLCULO
INTEGRAL
Conociendo la ley del movimiento x = x (t ) es
posible sin mayores dificultades calcular v(t ) y
Δx = ∑ v m (t i )Δt
la suma de todas las áreas de todos los rectángulos
de tal modo que:
a (t ) tal como fue mostrado
x(t ) ⇒ v(t ) =
dv(t ) d 2 x(t )
dx(t )
⇒ a(t ) =
=
dt
dt
dt 2
La regla para los tiempos es que t i +1 = t i + Δt .
i
La distancia que obtenemos con este método no será
la correcta porque la velocidad cambia durante el
tiempo del intervalo Δt .
Si tomamos los intervalos muy pequeños la suma
tiene mayor precisión. Así es que los hacemos tan
pequeños a fin de tener una buena aproximación.
Obtendremos la distancia real en el límite:
Como hemos visto, el cálculo diferencial
proporciona la herramienta para determinar la
velocidad y aceleración en cualquier instante del
tiempo.
En esta sección veremos cómo el cálculo integral,
que es el inverso del cálculo diferencial, puede
utilizarse para deducir las fórmulas que ya hemos
visto. Por ejemplo, hallar la posición de una
partícula en un instante cualquiera, dado su
velocidad inicial y su aceleración conocida.
Δx = lim ∑ v(t i )Δt
Δt → 0
porque en el límite esta aproximación es válida.
Los matemáticos han inventado un símbolo para este
límite, análogo al símbolo para la diferencial. El
símbolo Δ se convierte en d , v(t i ) se llama v(t )
Ya hemos demostramos que el área encerrada bajo
la curva de la velocidad del diagrama velocidadtiempo es igual al desplazamiento.
Area del trapecio = v0 (t − t 0 ) +
x − x 0 = v0 (t − t 0 ) +
1
2
a(t − t 0 )
2
i
Obsérvese que hemos reemplazado la velocidad
promedio v m por la velocidad instantánea v ,
1
2
a(t − t 0 )
2
y el símbolo sumatoria ∑ se escribe como una "s”
grande ∫ la cual se conoce el signo integral Luego
escribimos
Δx = ∫ v(t )dt
t
t0
En el caso de un movimiento con velocidad
constante el desplazamiento entre los tiempos t y
El proceso de integración es el inverso del proceso
de derivación. Con un diferencial obtenemos una
fórmula integral si la invertimos.
t 0 es
x − x 0 = v0 (t − t 0 )
o Δx = v 0 (t − t 0 )
Ejemplo 31. Encontrar la velocidad de un móvil a
partir de la aceleración.
Solución.
Para un movimiento cualquiera con aceleración
variable el diagrama velocidad-tiempo será el
mostrado en la figura siguiente
a=
⇒
∫
dv
⇒ dv = adt
dt
v
v0
dv = ∫ adt = a ∫ dt
t
t
t0
t0
v − v0 = a(t − t0 ) ⇒ v = v0 + a(t − t0 )
Integrando obtenemos
Para encontrar la posición
v=
⇒
⇒
Si descomponemos el tiempo total desde t 0 hasta t
en segmentos pequeños Δt , entonces cada tramo
vertical que baja desde la curva de velocidades hasta
el eje de absisas tiene un área
dx
⇒ dx = vdt
dt
∫
∫
x
x0
x
x0
dx = ∫ vdt
t
dx = ∫ [v0 + a(t − t0 )]dt
t0
t
t0
1
2
x − x0 = v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )
2
1
2
⇒ x = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )
2
Integrando obtenemos
ΔA = v m Δt
Donde v m es la velocidad media del intervalo. Esta
área corresponde al desplazamiento en ese intervalo
que como se puede observar el área faltante se
complementa con el excedente del otro lado.
18
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
x = ∫ [v0 + a(t − t 0 )]dt + C 2
También se puede encontrar la ecuación del
movimiento expresando la integral de la siguiente
manera:
v = ∫ adt + C1 , x = ∫ vdt + C2
Integrando:
x = v0 t +
1 2
at − at 0 t + C 2
2
Como para t = t 0 se tiene x = x 0 , tenemos
1
x0 = v0 t 0 + at 02 − at 02 + C 2
2
1
⇒ C 2 = x0 − v0 t 0 + at 02
2
Reemplazando el valor de C 2 obtenemos
1
1
⎞
⎛
x = v0 t + at 2 − at 0 t + ⎜ x0 − v0 t 0 + at 02 ⎟
2
2
⎠
⎝
1
2
⇒ x = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )
2
Los valores de C1 y C2 dependen de las
condiciones iniciales del movimiento.
Pequeña Tabla de Integrales
∫ dx = x
n
∫ x dx =
∫
x n +1
(n ≠ −1)
n +1
dx
= lnx
x
e ax
ax
∫ e dx = a
cos(ax )
∫ sen(ax ) = a
∫ (u + v )dx = ∫ udx + ∫ vdx
dada por a (t ) = 1,5t − 0,12t , con t en s m/s3. La
moto está en reposo en el origen en t = 0.
a) Obtenga su posición y velocidad en función de t.
b) Calcule la velocidad máxima que alcanza.
Solución.
a) Para encontrar v(t ) .
Ejemplo 33. La aceleración de una motocicleta está
2
dv
⇒ dv = adt = (1,5t − 0,12t 2 )dt
dt
Integrando con v0 = 0 y t 0 = 0 :
a=
Ejemplo 32. Encontrar las ecuaciones del
movimiento para una partícula que se mueve con
→
aceleración constante
inicial
a = aiˆ y que para el tiempo
t
Para encontrar x(t ) .
→
velocidad inicial v 0 = v 0 iˆ .
0
a=
dx
= 0,75t 2 − 0,40t 3
dt
⇒ dx = (0,75t 2 − 0,40t 3 )dt
Integrando con x0 = 0 y t 0 = 0 :
dv
dt
(
)
x = ∫ 0,75t 2 − 0,40t 3 dt = 0,25t 3 − 0,10t 4
La velocidad se puede encontrar en términos de una
integral como
v = ∫ adt + C1 ⇒ v = at + C1
t
0
t = t 0 se tiene v = v0 , tenemos
v0 = at 0 + C1 ⇒ C1 = v0 − at 0
Reemplazando el valor de C1 obtendremos la
b) Para que la velocidad sea máxima la aceleración
debe ser cero,
⎧t = 0
⎪
a(t ) = 1,5t − 0,12t = 0 ⇒ ⎨
1,5
⎪t = 0,12 = 12,5s
⎩
Como para
2
v = v0 + a(t − t 0 )
ecuación de la velocidad:
Para t = 0 la velocidad es mínima
Para t = 12,5 la velocidad
v = 0,75(12,5) − 0,40(12,5) = 39,1 m/s
2
Ahora consideremos la definición de la velocidad
v=
)
v=
Solución.
El movimiento es en el eje x .
La aceleración es
(
v = ∫ 1,5t − 0,12t 2 dt = 0,75t 2 − 0,40t 3
→
t 0 se encontraba en r 0 = x 0 iˆ y tenía una
dx
dt
3
Ejemplo 34. Salto volador de la pulga. Una
película tomada a alta velocidad por M. Rothschild,
Y. Schlein. K. Parker, C. Neville y S. Sternberg
(3500 cuadros por segundo, “The Flying Leap of the
Flea”, en el ScientificAmerican de noviembre de
1973) de una pulga saltarina de 210 μg produjo los
x = ∫ vdt + C2
También se puede escribir en forma integral
Reemplazando el valor de v :
19
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
=
datos que se usaron para dibujar la gráfica de la
figura. La pulga tenía una longitud aproximada de 2
mm y saltó con un ángulo de despegue casi vertical.
Use la gráfica para contestar estas preguntas.
a) ¿La aceleración de la pulga es cero en algún
momento? Si lo es, ¿cuándo? Justifique su respuesta.
b) Calcule la altura máxima que la pulga alcanzó en
los primeros 2,5 ms.
c) Determine la aceleración de la pulga a los: 0,5 ms,
1,0 ms y 1,5 ms.
d) Calcule la altura de la pulga a los: 0,5 ms, 1,0 ms
y 1,5 ms.
1
(1,3 ×10-3 )(133) + (0,2 × 10-3 )(133)
2
= 0,11 cm
Ejemplo 35. La gráfica de la figura describe, en
función del tiempo, la aceleración de una piedra que
baja rodando por una ladera, habiendo partido del
reposo.
a) Determine el cambio de velocidad de la piedra
entre t = 2,5 s y t = 7,5 s.
b) Dibuje una gráfica de la velocidad de la piedra en
función del tiempo.
Solución.
Solución.
a) Pendiente de a = 0 para t ≥ 1,3 ms
b) La altura máxima corresponde al recorrido hasta
cuando la aceleración se hace cero y llega al tiempo
t = 2,5 ms, y es el área bajo la curva v versus t.
(Dibujado aproximándolo a Un triángulo y un
rectángulo).
dv
⇒ dv = adt
dt
Como a (t ) es la ecuación de la recta:
a−2
8−4
=
= 0,8 ⇒ a = 0,8t + 2
t − 0 7,5 − 2,5
dv = (0,8t + 2 )dt
a)
a=
∫
dv = ∫ (0,8t + 2)dt
⇒ v − v0 = 0,4(t − t 02 ) + 2(t − t 0 )
Con t 0 = 2,5s , t = 7,5s , y Δv = v − v0 :
Integrando:
v
v0
t
t0
2
Δv = 0,4(7,52 − 2,52 ) + 2(7,5 − 2,5)
cm
= 30
s
hmax = área bajo (v − t )
≈ ATriángulo + ARectángulo
1
[(1,3)(133) + (2,5 − 1,3)(133)]10 −3
2
≈ 0,25 cm
≈
Otra manera de encontrar el cambio de velocidad es
encontrando el área bajo la curva a versus t, entre las
líneas en t = 2,5 s y t = 7,5 s. El área es:
a (0,5 ms) ≈ a (1,0 ms)
133
2
≈
= 1,0 ×105 cm s
-3
1,3 ×10
a (1,5 ms) = 0 porque la pendiente es cero.
c) a = pendiente del gráfico v– t.
1
2
(4 + 8)(7,5 − 2,5) = 30
cm
s
Como la aceleración es positiva, el cambio de
velocidad es positivo.
b)
1
(0,5 × 10 -3 )(33)
2
= 8,3 ×10 −3 cm
1
h (1,0) ≈ ATriángulo = (1,0 × 10 -3 )(100)
2
= 5,0 ×10 −2 cm
h (1,5) ≈ ATriángulo + ARectángulo
d) h = área bajo el gráfico v– t.
h (0,5) ≈ ATriángulo =
Ejemplo 36. La velocidad de un punto que se mueve
en trayectoria recta queda expresada, en el SI por la
ecuación: v = 40 - 8t. Para t = 2 s, el punto dista del
origen 80 m. Determinar:
20
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
a) La expresión general de la distancia al origen.
b) El espacio inicial.
c) La aceleración.
d) ¿En qué instante tiene el móvil velocidad nula?
e) ¿Cuánto dista del origen en tal instante?
f) Distancia al origen y espacio recorrido sobre la
trayectoria a partir de t = 0, cuando t = 7 s, t = 10 s y
t = 15 s.
Solución.
a)
s = ∫ vdt = ∫ (40 − 8t )dt = 40t − 4t 2 + C
⇒ s = s 0 + 40t − 4t 2
b) 80 = s0 + 80 - 16 ⇒ s0 = 16
dv
m
c) a =
= −8 2
dt
s
d) 0 = 40 - 8t ⇒ t =5 s
Representación gráfica de la velocidad origen en
función del tiempo
e) s5 =16 + 40x5 - 4x52 = 116 m
f) s7 =16 + 40x7 - 4x72 = 100 m
sl0 =16 + 40x10 - 4x102 = 16 m
s15 = 16 + 40x15 - 4x152 = -284 m
Cálculo de caminos sobre la trayectoria a partir de
t = 0:
El móvil cambia el sentido de su velocidad para
t = 5s
El recorrido en los 5 primeros segundos es:
C5 = s – s0 = 116 - 16 = 100 m
A ellos hay que sumar el recorrido en los segundos
restantes que se obtienen de la integral de la
ecuación general de la velocidad, en valor absoluto,
entre los limites t = 5 s y t = instante final.
C7 = 100 +
En la gráfica de la velocidad frente al tiempo, el área
limitada por el eje de abscisas y la gráfica entre dos
instantes coincide numéricamente con el camino
recorrido por el móvil entre esos dos instantes.
∫ (40 − 8t )dt = 116m
7
Ejemplo 37. El vector velocidad del movimiento de
una partícula viene dado por
5
→
v = (3t - 2)iˆ + (6t 2 - 5) ˆj m/s. Si la posición del
→
móvil en el instante t =1 s es
Calcular
C10 = 100 +
∫ (40 − 8t )dt = 200m
r = 3iˆ − 2 ˆj m.
a) El vector posición del móvil en cualquier instante.
10
b) El vector aceleración.
5
c) Las componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante t = 2 s. Dibujar el vector
velocidad, el vector aceleración y las componentes
tangencial y normal en dicho instante.
C15 = 100 +
∫ (40 − 8t )dt = 500m
Solución.
15
a) Para el movimiento horizontal
5
vx = 3t - 2
Representación gráfica de la distancia al origen en
función del tiempo
Como
21
vx =
⇒ ax =
dvx
m
=3 2
dt
s
dx
⇒ dx = v x dt , integrando
dt
Movimiento rectilíneo
∫
t
3
Hugo Medina Guzmán
an = asen (θ − ϕ ) = 2m/s 2
dx = ∫ (3t − 2 )dt
t
1
7⎞
⎛3
⇒ x = ⎜ t 2 − 2t + ⎟m
2⎠
⎝2
CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS LIGADAS.
MOVIMIENTOS DEPENDIENTES.
Observemos los sistemas físicos de la figura.
Podríamos decir que estos sistemas se componen de
varias partículas ligadas (conectadas).
Para el movimiento vertical
v y = 6t 2 - 5
Como
∫
vy =
⇒ ay =
−2
dt
= 12t
m
s2
dy
⇒ dy = v y dt , integrando
dt
(
)
dy = ∫ 6t 2 − 5 dt ⇒
y = (2t 3 − 5t + 1) m
t
dv y
t
1
(
Las partículas podrían ser las poleas y los cuerpos a
desplazar (bloques, baldes). La ligadura la tienen a
través de las cuerdas. Es decir, cuando el hombre
desplaza el extremo de la cuerda con una aceleración
a, la aceleración de las poleas y los cuerpos a
desplazar (bloques, baldes) tendrán una dependencia
de a. Lo mismo se cumplirá para las otras variables
cinemáticas (desplazamiento y velocidad).
)
7⎞
⎛3
r = ⎜ t 2 − 2t + ⎟î - 2t 3 − 5t + 1 ĵ
2⎠
⎝2
→
→
b)
a = 3iˆ + 12tˆj
Ejemplo 38. Análisis del montaje de la figura
siguiente.
c) Para t = 2 s
vx = 4 m/s, vy = 19 m/s
ax = 3 m/s2, ay = 24 m/s2
a = ax2 + a y2 = 24,2m / s 2
tan ϕ =
vy
tan θ =
ay
vx
ax
=
19
= 4,75 ⇒ ϕ = 78 o
4
=
24
= 3 ⇒ θ = 83o
3
Para analizar las relaciones que hay entre las
variables cinemáticas del bloque m1 , del balde m 2
y de la polea móvil, debemos primero saber cuáles
son sus posiciones. Para ello elegimos un sistema de
coordenadas. En nuestro caso elegimos el eje y
apuntando hacia abajo y con el origen en el techo.
Para el sistema de coordenadas escogido las
posiciones del bloque, del balde y de la polea son
respectivamente: y1 , y 2 , y p . Estas se representan
en la figura siguiente.
at = a cos(θ − ϕ ) = 24,1m/s 2
22
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
La longitud de la cuerda debe permanecer constante
en todo instante. Por tanto debe ser siempre válida la
siguiente relación:
Longitud de la cuerda = constante
AB + arco BC + CD +arco DE +EF = constante
De la figura podemos concluir que las siguientes
relaciones son válidas:
Análogamente podríamos hacer un análisis para las
aceleraciones, y concluiríamos que:
1
a p = − a1
2
Es decir, si el bloque por ejemplo, baja con una
aceleración igual a 2,0 m/s2 , la polea subirá con una
aceleración igual a 1,0 m/s2 .
AB = y p
CD = y p − c2
De esta figura también se deduce la siguiente
relación entre la posición del balde y la posición de
la polea móvil:
y 2 = y p + c1
(3)
EF = y1 − c2
y p + arcoBC + ( y p − c2 ) + arcoDE + y1 = constante
Por tanto,
Si el balde se desplaza una cantidad Δy 2 , y la polea
Como los arcos BC y DE permanecen constantes
podremos escribir la relación anterior así:
2 y p + y1 = k
(1)
se desplaza una cantidad
El balde pasa a ocupar la posición: y 2 + Δy 2 ,
Siendo k una constante.
Esta ecuación relaciona las variables cinemáticas de
la polea móvil y del bloque.
Si el bloque se desplaza una cantidad Δy1 y la polea
en una cantidad
La polea pasa a ocupar la posición
(
)
y p + Δy p .
Sin embargo, la relación anterior se debe seguir
cumpliéndose.
( y 2 + Δy 2 ) = y p + Δy p + c1 (4)
Δy p .
La nueva posición de la polea:
Δy p .
Δy 2 = Δy p
Restando (3) y (4) obtenemos,
y p + Δy p ,
La nueva posición del bloque: y1 + Δy1 .
Sin embargo, la relación anterior debe seguir
cumpliéndose:
2 y p + Δy p + ( y1 + Δy1 ) = k (2)
Los desplazamientos de la polea y el balde son
iguales.
Si dividimos la ecuación anterior por el intervalo de
tiempo Δt obtenemos como se relacionan las
velocidades:
v2 = v p .
Restando (1) de (2), obtenemos:
Las velocidades de la polea y del balde son iguales.
Lo mismo podremos concluir para las aceleraciones:
(
)
2Δy p + Δy1 = 0
a2 = a p
Δy
Δy p = − 1
2
En definitiva si el bloque baja con una aceleración
igual a 4 m/s2, el balde y la polea móvil subirán con
una aceleración igual a 2 m/s2.
Por ejemplo, si el bloque baja 1,0 m, la polea solo
sube 0,50 m. La polea solo se desplaza la mitad de lo
que se desplaza el bloque.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
1. Un acelerador atómico emite partículas que se
desplazan con una rapidez de 2,8x108 m/s. ¿cuánto
demoran estas partículas en recorrer una distancia de
5,6mm?
Respuesta
2x10-11 s.
3. Una cucaracha se desplaza en línea recta y su
posición con respecto al tiempo se expresa de
acuerdo al siguiente gráfico. De acuerdo a la
información dada se pide calcular.
a) distancia recorrida entre 4s y 9 s
b) distancia recorrida entre 9 s y 14s
c) distancia recorrida entre 0 y 16s.
d) velocidad media entre 0s y 16s.
e) velocidad media entre 9s y 16s.
2. Se desea calcular cuál es la profundidad de un
lago, para tal efecto se usa un instrumento conocido
como sonar que mide el tiempo que tarda un pulso
sonoro en ir y volver desde la superficie del agua. Si
se sabe que la rapidez del sonido en el agua es de
1450m/s y el instrumento marcó 0,042s cuando se
hizo la medición, calcule la profundidad del lago.
Respuesta. 30,45m
23
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
a)
v = 2t 2 − t 4 ; b) x = 2 + 2t 3 / 3 − t 5 / 5
mediante la relación x = t / 3 − 3t + 8t + 2 ,
donde x se expresa en metros y t en segundos.
Determinar
a) el momento en que la velocidad es nula;
b) la posición y la distancia total recorrida cuando la
aceleración es nula.
Respuesta
a) 2s, 4s; b) 8m, 7,33m
9. El movimiento de una partícula se define
3
Respuesta
a) 4m b) 8m c) 22m d) 5/8 m/s e) 0
→
4. Un hombre camina con una velocidad v
constante pasa bajo un farol que cuelga a una altura
H sobre el suelo. Encontrar la velocidad con la que
el borde de la sombra de la cabeza del hombre se
mueve sobre la tierra. El alto del hombre es h.
Respuesta
2
ecuación horaria x = t + 4t + 5 x sobre el eje x,
x en metros t en segundos.
a) Calcular la velocidad y la aceleración de la
partícula en el instante t.
b) Encontrar la posición, la velocidad y la
aceleración de la partícula para t 0 = 2s y t 1 = 3s.
10. El movimiento de una partícula está dado por la
3
→
Hv
H −h
2
c) ¿Cuáles son la velocidad media y la aceleración
media de la partícula entre t 0 y t1 ?
5. Un tren arranca en una estación y acelera
2
Respuesta.
uniformemente a razón de 0,6 m/s hasta alcanzar
una velocidad de 24 m/s. Determinar el tiempo
empleado y la distancia recorrida en ese período si la
velocidad media fue: a) 16 m/s, b) 22m/s.
Respuesta
a) 60s, 960m, b) 240s, 5280m
2
a) v = (3t + 8t)m/s , a = ( 6t + 8 ) m/s
b)
2
x0 = 29m, v0 = 27 m/s, a 0 = 20 m/s 2
x1 = 68 m v1 = 51 m/s, a1 = 26 m/s 2
2
c) v m = 39 m/s , a m = 23 m/s
6. Un ciclista recorre 100 km en 2 horas. El viaje de
vuelta dos días más tarde lo realiza en el tiempo
usual de 6 horas.
a) ¿Cuál es su rapidez media a la ida?
b) ¿Cuál es su rapidez media al regreso?
c) ¿Su rapidez media en e¡ viaje completo?
d) ¿Su velocidad media en e} viaje entero?
Respuesta. a) 50 km/h , b) 16,7 km/h
c) 25 km/h d) 0
11. La posición de una partícula que se mueve en el
eje x está dada por 8 t + 5, x es la distancia a origen
en metros y t es el tiempo en segundos.
a) Para t = 2, encontrar la posición, velocidad y
aceleración
b) Grafique x versus t
c) Encuentre la ley horaria, la ley del movimiento y
la trayectoria.
d) Analizar el movimiento.
Respuesta. a) x = -3, v = 0 , a = 4
7. Un automóvil que viaja con una velocidad de 50
km/h hacia el oeste repentinamente empieza a perder
velocidad a un ritmo constante y 3 segundos más
tarde su velocidad es de 25 km/h hacia el oeste.
a) ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse el auto,
contando a partir del momento en que empezó a
desacelerar?
b) ¿Cuál es la distancia total que recorrerá antes de
detenerse?
c) ¿Cuál sería el tiempo necesario para detenerse y la
distancia recorrida el) la frenada con la misma
aceleración, pero con una velocidad inicial de 100
km/h?
Respuesta. a) t = 6s ; b) 41,7m ; c) 125; 125m
→
(
b) s = 2t − 8t + 5 , r = 2t
Trayectoria rectilínea en el eje x.
2
2
− 8t + 5)iˆ
12. Un automóvil se encuentra detenido frente a un
semáforo, le dan luz verde y arranca de modo que a
los 4s su rapidez es de 72 km/hora. Si se movió en
trayectoria rectilínea, con aceleración constante,
I.- Determine:
a) La rapidez inicial en metros por segundo.
b) El módulo de la aceleración en ese tramo.
c) La rapidez que lleva a los 3s.
d) La distancia que recorre en los tres primeros
segundos
e) La distancia que recorre entre t = 2s y t = 4s.
II.- Haga un gráfico representativo de posición
versus tiempo y de la rapidez versus tiempo.
a = 4t − 4t 3 , t ≥ 0 .
8. La aceleración de una partícula está dada por:
a) Hallar la velocidad de la partícula en función del
tiempo.
b) Hallar su posición en función del tiempo.
Respuesta
Respuesta.
d) 22.45m
24
a) 20m/s b) 5 m/s2 c) 15m/s
e) 30m
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
movimiento para retornar hacia A con una
aceleración constante de módulo 6(m/s2). Calcular:
a) La distancia total cubierta hasta que la partícula
retorne al punto A.
b) El tiempo total para el recorrido completo hasta
volver a dicho punto A.
c) El intervalo de tiempo que transcurre entre los
pasos de la partícula por el punto situado a 1/3 de
AB, medido desde A.
13. Una partícula A, se mueve en el eje X, de
acuerdo a la siguiente gráfica.
Determinar a partir del gráfico de la partícula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Velocidad media entre t = 0 y t = 4 s
Velocidad instantánea en t = 2 s
Aceleración media entre t = 0 y t = 4 s
Intervalos de tiempo en que se acerca al
origen
Intervalos de tiempo en que se aleja del
origen
Ecuación Itinerario de la partícula A
¿Qué tipo de movimiento tiene esta partícula?
Respuesta. a) ( -8;0)m/s b) (-8;0)m/s
d) (0-3)s e)(3-....) f) x(t ) = 24 − 8t
g) Movimiento rectilíneo uniforme.
17. Desde una altura de 45m se deja caer un objeto
A. simultáneamente se lanza un objeto B
verticalmente desde una altura de 5m. Calcular:
a) la velocidad inicial de B para que los objetos se
crucen a una altura de 20m.
b) la distancia que separa a los objetos cuando B
alcanza su altura máxima.
18. Sobre un mismo eje x se mueven dos partículas
A y B. En t = 0 la partícula A parte desde P con
aceleración constate de 15iˆ (m/s2). Un segundo
después, B pasa por Q con una velocidad de − 20iˆ
(m/s). Encuentre las retardaciones constantes que
deben aplicar A y B a partir de este último instante
para que ambas partículas se detengan
simultáneamente antes de chocar.
c) 0
14. Un vehículo se mueve en el eje x de acuerdo con
la siguiente ecuación de itinerario:
x(t ) = 20 − 36t + 6t 2 . Con x medido en metros y
t en segundos.
a) Identifique a posición inicial, la velocidad inicial
y la aceleración.
b) Determine la ecuación que entregue la velocidad
para cualquier instante.
c) Determine el instante en que cambia de sentido
d) La velocidad de la partícula en t = 2 s y en t = 4
s
e) Posición de la partícula en t = 6 segundos
f) Gráfico x versus t. Describa la curva
g) Gráfico v x versus t. Describa la curva
19. Una partícula se mueve a lo largo del eje x
con aceleración constante. En t = 0 pasa por la
→
posición
→
x 0 = −10iˆ m con una velocidad
v 0 = −20iˆ m/s y en t =3s su posición es
→
x = −52iˆ m. Calcule:
a) La ecuación itineraria de la partícula
b) La distancia recorrida en el intervalo (3-6) s.
c) La velocidad media en el intervalo (4-7) s.
d) Intervalos de tiempo en que la partícula se aleja
del origen del sistema.
h) Gráfico a versus t. Describa la curva
Respuesta.
a) (20,0)m (-36,0)m/s
(12,0)m/s2 b) v(t ) = −36 + 12t c)3s
d) (-12,0)m/s (12,0)m/s e) (20,0)m
15. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una rapidez
de 16m/s,
a) ¿Qué altura alcanza a subir?
b) ¿Qué tiempo demora en volver al punto de
partida?
Respuesta. a) 3,2m b) 6,4s
20. Sobre el eje x de un sistema de coordenadas se
mueven dos partículas A y B. El gráfico (a) es una
parábola cuadrática que muestra la variación de
la componente x de la posición en función del
tiempo de la partícula A. El gráfico (b) muestra la
variación de la componente v x de la velocidad en
16. Una partícula se mueve sobre una recta
horizontal; parte hacia la derecha desde un punto A
con una rapidez de 28 (m/s) y una retardación
constante de módulo 12(m/s2). En el punto B, es
donde se anula su rapidez, invierte el sentido de
función del tiempo de la partícula B. Si en t = 0,
ambas partículas tienen la misma posición,
determinar:
a) Ecuación horaria de las partículas A y B.
25
Movimiento rectilíneo
Hugo Medina Guzmán
b) Posición de B cuando A cambia de sentido de
movimiento.
c) Instante en que se encuentran.
d) Distancia recorrida por A y B entre 3 y 9 s.
23. Un cuerpo que se ha dejado caer desde cierta
altura, recorre 72 m en el último segundo de su
movimiento.
Calcule la altura desde la cual cayó el cuerpo y el
tiempo que empleó en llegar al suelo.
24. Un hombre parado en el techo de un edificio tira
un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez
de 14m/s. El cuerpo llega al suelo 4,7s más tarde.
a) Cuál es la máxima altura alcanzada por el
cuerpo?
b) Qué altura tiene el edificio?
c) Con qué rapidez llegará el cuerpo al suelo?
21. En el gráfico de la figura están representadas la
componente v x del vector velocidad de dos
partículas, A y B, que se mueven a lo largo del eje
x Calcular:
a) La aceleración de B.
b) Camino recorrido por A y B cuando B alcanza la
25. Un malabarista mantiene cinco bolas continuamente
en el aire, lanzando cada una de ellas hasta una altura de
3m.
a) ¿Cuál es el tiempo que debe transcurrir entre
lanzamientos sucesivos?
b) ¿Cuáles son las alturas de las otras pelotas en el
momento en que una de ellas vuelve a su mano?
Respuesta. a) 0,31s ;
b) 1,91; 2,87; 2,87 y 1,91 m.
→
velocidad v B = 30iˆ m/s.
c) Desplazamiento de B en el intervalo (0-10)s.
d) Ecuación horaria de A si en t0 = 0 su posición es
→
x 0 = 8iˆ m.
26. Dos cuerpos son lanzados uno después de otro con las
mismas velocidades
v0
desde una torre alta. El primer
cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, y el segundo
verticalmente hacia abajo después del tiempo τ .
Determinar las velocidades de los cuerpos una con
respecto al otro y las distancias entre ellos en el instante
t >τ .
Respuesta. La velocidad del primer cuerpo relativa al
segundo es:
22. Dos partículas A y B se mueven sobre el mismo
eje x. En t = 0, B pasa por Q con
m/s v B (0 ) = (− 5,0 ) m/s y 2s después A pasa
→
v1 − v 2 = 2v0 − gτ
La distancia es
por P a 6iˆ m/s. Encuentre las retardaciones
constantes que deben aplicar A y B a partir de este
último instante para que ambas partículas se
detengan simultáneamente justo antes de chocar.
Determine la ecuación itinerario de A y B (diga cuál
es su origen).
26
.
S = 2v0 t − v0τ − gtτ +
1 2
gτ
2