Pengantar
OPTIMASI
NO
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Li
ier
1
0.5
0
-0.5
-1
0
3
2
1
1
2
30
oleh
Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
Peneliti di Laboratorium Hidraulika
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Gadjah Mada
Mei 2000
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
PRAKATA
Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, orang
selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Optimasi
yang dilakukan oleh masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi
daripada teori optimasi. Dalam bidang kerekayasaan optimasi sangat
dibutuhkan, sering kita dihadapkan pada persoalan mencari penyelesaian
termurah dengan memenuhi segala kendala yang ada.
Untuk memiliki teknologi optimasi, seorang perencana perlu
mendalami teknik-teknik optimasi baik yang sederhana untuk
mendapatkan pengertian mendasar maupun yang canggih untuk
menyelesaikan permasalahan nyata di lapangan. Topik mengenai
optimasi di negara-negara berkembang merupakan bidang keahlian
tersendiri yang membutuhkan waktu yang tidak sedikit untuk
mendalaminya. Riset-riset mengenai optimasi masih terus berlanjut
sampai sekarang sehingga banyak temuan teknik baru yang lebih canggih
dan efisien.
Bahan penataran ini dimaksudkan untuk memberikan pengenalan
dan penyegaran mengenai teknik optimasi, khususnya optimasi nonlinier.
Pada kuliah ini untuk topik optimasi nonlinier tersedia waktu tujuh kali
pertemuan masing-masing 100 menit. Dalam waktu sesingkat itu
penyusun berusaha untuk mengenalkan optimasi nonlinier secara garis
besar seefisien mungkin, sehingga ide dasar mengenai optimasi nonlinier
dapat dipahami. Beberapa teknik numeris akan dijelaskan pula sehingga
berguna untuk penyelesaian permasalahan di lapangan.
Bahan kuliah ini merupakan terjemahan bebas dari beberapa pustaka
yang digunakan untuk menyusun bahan kuliah ini. Penyusun berharap
bahan penataran ini berguna. Kritik membangun sangatlah diharapkan
agar bahan kuliah makin sempurna.
Yogyakarta, Mei 2000
Penyusun
Djoko Luknanto
PRAKATA
hal. ii
DAFTAR ISI
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
halaman
HALAMAN JUDUL .............................................................................................i
1.
METODE OPTIMASI ANALITIS .......................................................... 1-1
1.1 Satu Variabel tanpa Kendala ........................................................ 1-1
1.2 Multi Variabel Tanpa Kendala ..................................................... 1-7
1.3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan............................. 1-12
1.4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan .................. 1-17
2.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI.................................. 2-1
2.1 Teknik Eliminasi............................................................................. 2-2
2.1.1 Pencarian bebas..................................................................... 2-2
2.1.1.1 Dengan langkah tetap. ........................................... 2-2
2.1.1.2 Dengan percepatan langkah. ................................ 2-3
2.1.2 Pencarian lengkap................................................................. 2-5
2.1.3 Pencarian Dikotomi .............................................................. 2-7
2.1.4 Pencarian Fibonacci ............................................................ 2-10
2.1.5 Pencarian Rasio Emas ........................................................ 2-12
2.2 Teknik Pendekatan....................................................................... 2-16
2.2.1 Metode Newton (Kuadratik)............................................. 2-16
3.
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI ........................ 3-1
3.1 Subprogram: MNBRAK ................................................................ 3-1
3.2 Subprogram: GOLDEN ................................................................. 3-4
3.3 Subprogram: BRENT ..................................................................... 3-5
3.4 Subprogram: DBRENT .................................................................. 3-8
3.5 Program Utama ............................................................................ 3-10
3.6 Subprogram F ............................................................................... 3-13
3.7 Subprogram DF ............................................................................ 3-13
3.8 Contoh Hasil ................................................................................. 3-14
DAFTAR ISI
hal. iii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 1.1. Syarat untuk Maximum Lokal....................................................... 1-9
Tabel 1.2. Syarat untuk Minimum Lokal ....................................................... 1-9
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Tabel 2.1. Lebar Interval pada Pencarian Dikotomi..................................... 2-8
DAFTAR TABEL
hal. iv
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 1.1. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT
UGM ............................................................................................ 1-4
Gambar 1.2. Grafik dari V(x), V'(x), dan V"(x) .............................................. 1-5
Gambar 1.3. Plot dari f ( x) = 12 x 5 − 45 x 4 + 40 x 3 + 5 .................................... 1-6
Gambar 1.4. Plot dari f ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 + 2 x1 + 4 x 2 + 6 ....................... 1-11
3
3
2
2
Gambar 2.1. Bagan alir “Pencarian Percepatan Langkah”.......................... 2-4
Gambar 2.2. Teknik Pencarian Bebas Lengkap............................................. 2-6
Gambar 2.3. Pencarian Dikotomi .................................................................... 2-8
Gambar 2.4. Pencarian Fibonacci .................................................................. 2-11
Gambar 2.5. Pencarian Rasio Emas .............................................................. 2-13
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Gambar 2.6. Metode Newton ........................................................................ 2-17
DAFTAR GAMBAR
hal. v
1. METODE OPTIMASI ANALITIS
Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan
dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau
keduanya, contohnya adalah sebagai berikut:
Max f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 − x1 + 9 x2 − x2 + 10 x3 − 2 x3 − 0,5 x2 x3
2
kendala
2
2
(1.1)
4 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10
2 x1 + 4 x2 + x3 ≤ 20
x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x3 ≥ 0
Penyelesaian permasalahan optimasi nonlinier — seperti contoh di
atas — secara analitis akan dijelaskan secara rinci dalam bab berikut.
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
1.1 Satu Variabel tanpa Kendala
Optimasi nonlinier ditinjau dari pandangan matematis adalah topik
lanjutan dan secara konsepsual sulit. Dibutuhkan pengetahuan aktif
mengenai kalkulus diferensial dan aljabar linier. Dalam optimasi nonlinier
terdapat kemampuan untuk menangani masalah sulit yaitu fungsi tujuan
nonlinier yang tidak mempunyai nilai minimum yang unik serta
mempunyai daerah penyelesaian dengan batas nonlinier ataupun tidak
konvex. Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik,
tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cerah
dibandingkan dengan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi
nonlinier yang hanya efisien untuk menyelesaikan masalah yang
mempunyai struktur matematis tertentu. Hampir semua teknik optimasi
nonlinier modern mengandalkan pada algoritma numeris untuk
mendapatkan jawabannya.
Sangatlah tidak mungkin untuk mendiskusikan teknik-teknik
optimasi lanjutan dengan rinci karena diperlukannya pengetahuan
matematis canggih dalam waktu yang singkat. Pada penataran hanya
akan dikenalkan konsep-konsep dasar pembentuk algoritma-algoritma
modern
beserta
penggunaannya
secara
sederhana.
Dalam
kesederhanaannya ini dimaksudkan agar konsep dasarnya lebih mudah
difahami.
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-1
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Untuk memulai topik optimasi nonlinier akan dibahas teknik
optimasi pada fungsi-funsi satu dimensi, karena teknik ini merupakan
satu kesatuan dalam hampir setiap teknik optimasi nonlinier multi
variabel.
Dimisalkan x adalah variabel penentu dan f(x) adalah fungsi tujuan
dari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah
Maximumkan f ( x ) atau Minimumkan f ( x)
x
(1.2)
x
Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera dalam Pers.(1.2) dapat
dipakai kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawah ini:
Teorema:
Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam
interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan
pada interval terbuka (a,b).
(i) Jika f’(x) > 0 untuk seluruh x dalam
(a,b), maka f adalah menanjak pada [a,b].
(ii) Jika f’(x) < 0 untuk seluruh x dalam
(a,b), maka f adalah menurun pada [a,b].
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Test derivasi pertama:
Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam
interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan
pada interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di
titik c yang berada didalam (a,b).
(i)
Jika f’(x) > 0 untuk a < x < c dan
f’(x) < 0 untuk c < x < b, maka f(c)
adalah sebuah maximum lokal dari f.
(ii) Jika f’(x) < 0 untuk a < x < c dan
f’(x) > 0 untuk c < x < b, maka f(c)
adalah sebuah lokal minimum dari f.
(iii) Jika f’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuk
setiap x dalam (a,b) kecuali x = c, maka
f(c) BUKAN sebuah nilai ekstrim.
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-2
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Test derivasi kedua:
Misalkan f adalah fungsi yang dapat
diderivasikan pada interval terbuka yang berisi
titik c dan f’(c) = 0,
(i)
Jika f”(c) < 0, maka f(c) adalah sebuah
maximum lokal dari f.
(ii) Jika f”(c) > 0, maka f(c) adalah sebuah
minimum lokal dari f.
Agar terdapat gambaran yang lebih jelas bagaimana optimasi satu
variabel/dimensi
dilaksanakan,
maka
disajikan
satu
contoh
pemakaiannya.
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Contoh 1.1
Sebuah perusahaan catering (makanan ringan yang menyediakan
konsumsi untuk suatu penataran di JTS FT UGM) berusaha mengurangi
pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat
dari kertas karton seperti tampak pada Gambar 1.1. Keempat pojoknya
akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa sehingga volumenya
menjadi maksimum.
Penyelesaian:
Sebagai peserta penataran yang baik, maka kita akan menyelesaikan
tantangan di atas dengan metode kalkulus seperti yang telah dijelaskan di
atas. Volume pembungkus dapat dinyatakan sebagai
V = x(16 − 2 x)(21 − 2 x) = 2(168 x − 37 x 2 + 2 x 3 )
Persamaan di atas merupakan persamaan volume sebagai fungsi dari x.
Untuk mendapatkan nilai volume yang maksimum atau minimum, kita
harus mengadakan beberapa perhitungan. Derivasi V terhadap x
menghasilkan
dV
= 2(168 − 74 x + 6 x 2 )
dx
= 4(84 − 37 x + 3 x 2 )
= 4(3x − 28)( x − 3)
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-3
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
L = 21 cm
21-2x
x
x
x
16-2x L = 16 cm
x
Gambar 1.1. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM
Dari persamaan di atas nilai x yang mungkin mengakibatkan volumenya
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
menjadi ekstrim adalah
28
3
dan 3. Nilai x =
28
3
adalah tidak mungkin
(kenapa ya …?), jadi nilai x yang dipakai adalah 3. Pada Gambar 1.2
disajikan plot dari volume sebagai fungsi dari x beserta derivasi pertama
dan keduanya.
Untuk mengetahui apakah volume menjadi maksimum atau
minimum kita gunakan Test Derivasi kedua sbb:
d 2V
= 2(−74 + 12 x) = 4(6 x − 37)
dx 2
Substitusi x = 3 kedalam persamaan di atas menghasilkan
d 2V
= 4(18 − 37) = −76 < 0
dx 2
jadi V mempunyai nilai maksimum untuk nilai x = 3.
Sekarang harus kita check apakah volume menjadi maksimum pada
nilai ekstrim dari x. Tampak dari Gambar 1.1, bahwa 0 ≤ x ≤ 8, karena
untuk nilai x = 0 maupun x = 8 nilai V = 0, maka dapat ditarik kesimpulan
bahwa volume maksimum tidak terjadi pada daerah batas. Jadi untuk
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-4
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
menghemat bahan, maka pembungkus makanan ringan di atas harus
dipotong berbentuk segi empat pada keempat pojoknya dengan sisisisinya adalah 3 satuan.
y
y=V(x)
400
300
200
y=V’(x)
100
0
-100
2
3
4
x
6
y=V’’(x)
Gambar 1.2. Grafik dari V(x), V'(x), dan V"(x)
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Secara formal dalam teknik optimasi persoalan di atas dapat ditulis
sebagai berikut:
Maximumkan f = 2(168 x − 37 x 2 + 2 x 3 )
0≤ x≤8
Dari contoh di atas tampak bahwa dengan cara analitis kalkulus
diferensial nilai x yang memberikan nilai f maximum dapat dicari tanpa
mengetahui nilai dari f itu sendiri.
Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang
telah dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk
menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel.
Teorema:
Misalkan f’(c) = f”(c) = … = f(n-1)(c) = 0,
tetapi f(n)(c) • 0. Maka f(c) adalah:
(i)
nilai minimum dari f(x), jika f(n)(c) > 0
dan n adalah bilangan genap,
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-5
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
nilai maximum dari f(x), jika f(n)(c) < 0
dan n adalah bilangan genap,
(iii) bukan minimum dan maximum jika n adalah
bilangan gasal.
(ii)
Contoh 1.2
Tentukan maximum dan minimum dari fungsi di bawah ini (lihat
Gambar 1.3):
f ( x) = 12 x 5 − 45 x 4 + 40 x 3 + 5
Penyelesaiannya:
Karena f ′( x) = 60( x 4 − 3x 3 + 2 x 2 ) = 60 x 2 ( x − 1)( x − 2) , maka f ′( x) = 0 , pada
x = 0, x = 1 dan x = 2.
Derivasi kedua adalah f ′′( x) = 60(4 x 3 − 9 x 2 + 4 x)
y
40
30
y=f(x)
20
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Maximu
10
x
Titik belok
-
0,5
1
1,5
2
2,5
- 10
Minimu
Gambar 1.3. Plot dari f ( x) = 12 x 5 − 45 x 4 + 40 x 3 + 5
Pada x = 1, f”(x) = -60, sehingga x = 1 adalah sebuah maximum relatif yang
memberikan nilai fmax = f(x=1) = 12
Pada x = 2, f”(x) = 240, sehingga x = 2 adalah sebuah minimum relatif yang
memberikan nilai fmin = f(x=2) = –11
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-6
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Pada x = 0, f”(x) = 0, sehingga harus diadakan penyelidikan pada derivasi
berikutnya: f(3) = 60(12x2–18x+4) = 240 pada x = 0. Karena f(3) ≠ 0 pada x = 0,
maka x = 0 bukanlah sebuah maximum maupun minimum, x = 0 adalah
sebuah titik belok.
1.2 Multi Variabel Tanpa Kendala
Cara analitis yang diterapkan pada permasalahan optimasi satu
variabel dapat pula diterapkan kepada permasalahan multi variabel.
Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi dapat
digunakan dalam optimasi multi variabel. Untuk memberikan padanan
dengan bab di atas dan untuk memberikan kemudahan dan kejelasan
dalam penulisan persamaan, akan didefinisikan beberapa simbol yang
akan dipakai selanjutnya.
(i)
f(x1, x2, …, xn) akan ditulis sebagai f(X) dengan X = {x1, x2, …, xn}t
(ii)
f(X*) = f(x1*, x2*, …, xn*)
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
(iii) ∇f ( X * ) =
∂
*
*
*
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) untuk j = 1,2,…,n
∂x j
⎧ ∂f ∂f
∂f ⎫
(iv) ∇f(X*) = C setara dengan ⎨
,
,...,
⎬ = {c1 , c 2 ,..., c n }
∂
∂
∂
x
x
x
2
n ⎭
⎩ 1
Teorema:
Jika f(X) mempunyai sebuah titik ekstrem
(minimum maupun maximum) pada X = X* dan jika
derivasi pertama dari f(X) mempunyai nilai pada
titik X*, maka ∇f(X*) = 0
PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu
jika ∇f(X*) = 0 maka X* adalah titik ekstrem.
Teorema:
Titik X* disebut titik maksimum lokal dari f(X)
jika dan hanya jika:
(i)
∇f(X*) = 0
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-7
Djoko Luknanto
(ii)
Pengantar Optimasi Non-linier
H(X*) < 0 definit negatif dengan H = matrik
Hessian yang didefinisikan sebagai:
⎡ h11 " h1n ⎤
∂2 f
H = ⎢⎢ # % # ⎥⎥ dengan hij =
∂x i ∂x j
⎢⎣ hn1 " hnn ⎥⎦
H adalah definit negatif jika dan hanya
jika (-1)j|H|j > 0 untuk j = 1,2,…,n
h11 " h1 j
dengan H = det # % # , sehingga
h j1 " h jj
j
h11
h21
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
h11 < 0,
h11
h21
h12
h22
h13
h23
h14
h24
h31
h32
h33
h34
h41
h42
h43
h44
h11
h12
> 0 , h21
h22
h31
h12
h13
h22
h32
h23 < 0
h33
> 0 …, dst, (-1)j|H|j > 0
Teorema:
Titik X* disebut titik minimum lokal dari f(X)
jika dan hanya jika:
(i)
∇f(X*) = 0
(ii) H(X*) > 0 definit positif atau |H|j > 0
untuk j = 1,2,…,n, sehingga
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-8
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
h11 > 0,
h11
h12
h21
h22
h11
h21
h12
h22
h13
h23
h14
h24
h31
h41
h32
h42
h33
h43
h34
h44
h11
h12
h13
> 0 , h21
h31
h22
h23 > 0
h32
h33
> 0 …, dst,
|H|j > 0
Tabel 1.1. Syarat untuk Maximum Lokal
Keadaan yang dipenuhi
1. ∇f(X*) = 0
2. H(X*) < 0 (definit negatif)
1. ∇f(X*) = 0
2. H(X*) ≤ 0
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
1. ∇f(X*) = 0
2. H(X*) tak tentu
X* adalah
maximum lokal
PASTI
MUNGKIN
MUSTAHIL
Tabel 1.2. Syarat untuk Minimum Lokal
Keadaan yang dipenuhi
1. ∇f(X*) = 0
2. H(X*) > 0 (definit positif)
X* adalah
minimum lokal
PASTI
1. ∇f(X*) = 0
2. H(X*) ≥ 0
MUNGKIN
1. ∇f(X*) = 0
2. H(X*) tak tentu
MUSTAHIL
Contoh 1.3
Untuk mendemonstrasikan teknik umum untuk mendapatkan titiktitik ekstrem dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh fungsi sebagai
berikut:
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-9
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
f ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 + 2 x1 + 4 x 2 + 6
3
3
2
2
Titik-titik ekstrem harus memenuhi syarat:
∂f
2
= 3 x1 + 4 x1 = x1 (3 x1 + 4) = 0
∂x1
dan
∂f
2
= 3 x 2 + 8 x 2 = x 2 (3 x 2 + 8) = 0
∂x 2
Persamaan di atas dipenuhi oleh titik-titik
(0, 0); (0, –8/3); (–4/3, 0); dan (–4/3, –8/3)
Untuk mengetahui titik yang mana yang maximum dan yang mana yang
minimum, harus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f
adalah:
∂2 f
∂2 f
∂2 f
x
x
=
6
+
4
=
6
+
8
=0
,
,
dan
1
2
2
2
∂x1∂x 2
∂x1
∂x 2
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Jadi matrik Hessiannya menjadi
0 ⎤
⎡6 x1 + 4
H=⎢
6 x 2 + 8⎥⎦
⎣ 0
sehingga
H1 = [6x1+4]
dan
0 ⎤
⎡6 x1 + 4
H2 = ⎢
6 x 2 + 8⎥⎦
⎣ 0
Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik-titik ekstrem disajikan di
bawah ini.
(x1, x2)
(0, 0)
Matrix H
⎡ 4 0⎤
⎢0 8⎥
⎣
⎦
H1
H2
Sifat H
Sifat (x1, x2)
f(x1, x2)
+4
+32
Definit
positip
Minimum
6
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-10
Djoko Luknanto
(0, –8/3)
(–4/3, 0)
(–4/3, –8/3)
Pengantar Optimasi Non-linier
⎡4 0 ⎤
⎢0 − 8⎥
⎣
⎦
⎡ − 4 0⎤
⎢ 0 8⎥
⎣
⎦
⎡− 4 0 ⎤
⎢ 0 − 8⎥
⎣
⎦
+4
–32
Tak tentu
Titik belok
418/27
–4
–32
Tak tentu
Titik belok
194/27
–4
+32
Definit
negatif
Maximum
50/3
Grafik f(X) dalam ruang tiga-dimensi disajikan dalam Gambar 1.4.
Hasil hitungan di atas diperkuat dengan visualisasi yang terlihat pada
Gambar 1.4.
Maximum
(–4/3, –8/3)
-2
-1
0
Titik belok
(0, –8/3)
15
12.5
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
10
7.5
(–)
Titik belok
(–4/3, 0)
-1
x2
(–)
-0.5
x1
0
Minimum
(0, 0)
Gambar 1.4. Plot dari f ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 + 2 x1 + 4 x 2 + 6
3
METODE OPTIMASI ANALITIS
3
2
2
hal. 1-11
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
1.3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel
dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai
berikut:
Minimumkan f = f(X)
(1.3)
kendala
gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m
(1.4)
dengan
X = {x1, x2, …, xn}t
disini m ≤ n, jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat
diselesaikan.
Tidak seluruh teknik optimasi yang terdapat dalam pustaka akan
diterangkan disini, tetapi hanya metode pengali Lagrange saja akan
dibahas. Hal ini dipilih dengan pertimbangan bahwa penyelesaian
optimasi secara analitis jarang dipakai pada permasalahan di lapangan
yang sangat komplek. Biasanya metode yang digunakan pada saat
sekarang adalah metode numeris. Oleh karena itu pada bab optimasi
secara analitis ini hanya dimaksudkan untuk memberikan dasar-dasar
pengertian optimasi yang disertai dengan contoh-contoh sederhana.
Metode pengali Lagrange dipilih karena prinsip kerjanya sederhana dan
mudah dimengerti.
Metode pengali Lagrange dapat dipakai untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi yang dirumuskan dalam Pers.(1.3) dan (1.4).
Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang
didefinisikan sebagai:
m
L( X, λ ) = f ( X) + ∑ λ j g j ( X)
(1.5)
j =1
Teorema:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan
kendala gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m agar
mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah
derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(x1,x2,…,xn,
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-12
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
λ1, λ2,…, λm)terhadap setiap argumennya mempunyai
nilai nol.
Teorema:
Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar
mempunyai minimum (atau maximum) relatif pada
titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang
didefinisikan sebagai
n
∂2L
dxi dx j
j =1 ∂x i ∂x j
n
Q = ∑∑
i =1
(1.6)
dievaluasi pada X = X* harus definit positif
(atau negatif) untuk setiap nilai dX yang
memenuhi semua kendala.
∂2L
dxi dx j menjadi definit positif (atau
Syarat perlu agar Q = ∑∑
i =1 j =1 ∂xi ∂x j
n
n
negatif) untuk setiap variasi nilai dX adalah setiap akar dari polinomial, zi,
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
yang didapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau
negatif).
( L11 − z )
L12
L21
#
( L22 − z )
#
L13
L23
%
Ln1
g11
g 21
#
Ln 2
g12
g 22
#
Ln 3
g13
g 23
#
g m1
g m2
g m3
"
L1n
g11
"
L2 n
g12
"
#
#
" ( Lnn − z ) g m1
"
0
g1n
"
0
g 2n
"
#
#
"
0
g mn
g 21
g 22
#
g m2
0
0
#
0
" g m1
" g 2n
" #
" g mn
=0
" 0
" 0
" #
" 0
(1.7)
∂g i ( X * )
∂ 2 L( X * , λ )
dan g ij =
dengan Lij =
∂x i ∂x j
∂x j
Contoh 1.4
Sebuah perusahaan pelumas ingin membuat kaleng pelumas dari
seng. Kaleng berbentuk silinder dengan bahan yang terpakai seluas
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-13
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
A0 = 24π. Berapa maximum volume kaleng yang dapat dibuat dari bahan
yang tersedia?
Penyelesaian:
Jika r dan h adalah radius dan tinggi dari kaleng tersebut, maka
permasalahan di atas dapat dinyatakan sebagai:
Maximumkan f(r,h) = πr h dengan kendala 2πr +2πrh = A0 = 24π
2
2
Fungsi Lagrange-nya adalah L(r,h,λ) = πr2h+λ(2πr2+2πrh-A0), dan syarat
perlu untuk memaksimumkan f adalah:
∂L
= 2πrh + λ (4πr + 2πh) = 0
∂r
(E.1)
∂L
= πr 2 + 2πλr = 0
∂h
(E.2)
∂L
= 2πr 2 + 2πrh − A0 = 0
∂λ
(E.3)
Dari Pers.(E.1) dan (E.2) didapat:
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
λ=−
rh
r
h
= − atau r =
2
2r + h
2
(E.4)
dan Pers.(E.3) dan (E.4) menghasilkan:
r* =
A0
2 A0
dan λ* = −
24π
3π
A0
, h* =
6π
3
Nilai di atas memberikan nilai maximum dari f =
*
A0
54π
Jika A0 = 24π, penyelesaian optimum menghasilkan r* = 2, h* = 4, λ*= –1,
dan f* = 16π.
Untuk melihat apakah hasil di atas memberikan nilai maximum dari f, kita
check syarat pada Pers.(1.7).
∂2L
L11 = 2
∂r
= 2πh * + 4πλ* = 4π
( X* , λ * )
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-14
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
L12 =
∂2L
= L21 = 2πr * + 2πλ* = 2π
∂r ∂h ( X * , λ * )
L22 =
∂2L
∂h 2
g11 =
g12 =
∂g 1
∂r
∂g 1
∂h
=0
( X ,λ )
*
*
= 4πr * + 2πh * = 16π
( X ,λ )
*
*
= 2πr * = 4π
( X* , λ * )
Sehingga Pers.(1.7) menjadi
( L11 − z )
L12
g11
(4π − z )
2π
16π
L21
( L22 − z ) g12 = 0 atau
2π
(0 − z ) 4π = 0
g11
16π
0
g12
4π
0
menjadi
(4π − z )
(0 − z ) 4π
2π
− 2π
4π
0
16π
4π
2π
+ 16π
0
16π
(0 − z )
=0
4π
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
(4π − z )(−16π 2 ) − 2π (−64π 2 ) + 16π (8π 2 + 16πz ) = 0
− 64π 3 + 16π 2 z + 128π 3 + 128π 3 + 256π 2 z = 0
12
atau 272 π2 z + 192 π3 = 0, sehingga z = –17 π
Karena nilai z adalah negatif, maka penyelesaian di atas yaitu r* = 2, h* = 4,
λ*= –1 adalah penyelesaian maximum dengan nilai f* = 16π.
Arti dari pengali Lagrange. Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik
yang menarik untuk dibahas sebagai penutup dalam bab ini. Untuk
membahas ini maka dimisalkan terdapat permasalahan optimasi dengan
satu kendala sebagai berikut:
Minimumkan f = f(X)
(1.8)
kendala
(1.9)
g(X) = b
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-15
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Fungsi Lagrange-nya adalah
L( X, λ ) = f ( X) + λ (b − g ( X) )
(1.10)
Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah
∂L
= 0 untuk i = 1, 2, …, n dan
∂x i
(1.11a)
∂L
=0
∂λ
(1.11b)
Pers.(1.10) dan (1.11) menghasilkan:
∂f
∂g
−λ
= 0 untuk i = 1, 2, …, n
∂x i
∂x i
(1.12a)
b – g(X) = 0 atau b = g
(1.12b)
Dari Pers.(1.12a) didapat:
∂f
∂g
dxi − λ
dxi = 0 untuk i = 1, 2, …, n
∂x i
∂x i
atau
n
∂f
∂g
dx
dxi = 0
−
λ
∑
∑
i
i =1 ∂x i
i =1 ∂x i
atau
n
∂f
∂g
=
dxi
dx
λ
∑
∑
i
i =1 ∂x i
i =1 ∂x i
atau
∑ ∂x
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
n
n
n
∂g
dxi = λ ∑
dxi
i =1 ∂xi
i =1
i
dg
df
n
∂f
(1.13)
Pers.(1.13) dan (1.12b) menghasilkan hasil yang final yaitu
df = λ db
atau
df* = λ∗ db
(1.14)
Dari Pers (1.14) dapat ditarik kesimpulan bahwa: pada penyelesaian
optimum, perubahan fungsi tujuan, f, berbanding lurus dengan
perubahan kendala, b dengan faktor sebesar pengali Lagrange, λ.
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-16
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
1.4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan
Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel
dengan kendala pertidak-samaan yang mempunyai bentuk umum sebagai
berikut:
Minimumkan f = f(X) dengan X = { x1, x2, …, xn}t
kendala
(1.15)
gj(X) ≤ 0, dengan j = 1, 2, …, m
Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah
kendala pertidak-samaan menjadi persamaan dengan menambah variabel
slack. Jadi permasalahan optimasi di atas dapat ditulis kembali sebagai:
Minimumkan f = f(X) dengan X = { x1, x2, …, xn}t
kendala
G j ( X, Y) = g j ( X) + y j = 0 , dengan j = 1, 2, …, m
dengan
Y = { y1, y2, …, ym}t adalah vektor variabel slack.
2
(1.16)
Permasalahan ini dapat diselesaikan metode pengali Lagrange.
Untuk itu, dibentuk fungsi Lagrange sebagai berikut:
m
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
L( X, Y, λ ) = f ( X) + ∑ λ j G j ( X, Y )
(1.17)
j =1
Syarat perlu untuk suatu penyelesaian optimum Pers.(1.17)
diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan di bawah ini.
m
gj
∂L
∂f
( X, Y, λ ) =
( X) + ∑ λ j
( X) = 0 , i = 1, 2, …, n
∂x i
∂x i
∂x i
j =1
(1.18)
∂L
2
( X, Y, λ ) = G j ( X, Y, λ ) = g j ( X) + y j = 0 , j = 1, 2, …, m (1.19)
∂λ j
∂L
( X, Y, λ ) = 2λ j y j = 0 , j = 1, 2, …, m
∂y j
METODE OPTIMASI ANALITIS
(1.20)
hal. 1-17
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Teknik yang dijelaskan pada bab sebelumnya dapat dipakai untuk
menyelesaikan sistem persamaan Pers.(1.18) s/d (1.20).
Syarat perlu agar persamaan optimasi, Pers.(1.15), mencapai titik
minimumnya dapat pula dicari dengan syarat Kuhn-Tucker. Syarat ini
perlu tetapi secara umum bukan merupakan syarat cukup untuk
mencapai minimum. Tetapi untuk problema jenis konvex, syarat KuhnTucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebuah minimum global.
Syarat Kuhn-Tucker untuk Pers.(1.15):
Minimumkan f = f(X) dengan X = { x1, x2, …, xn}t
kendala
(1.15)
gj(X) ≤ 0, dengan j = 1, 2, …, m
dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:
m
gj
∂f
+ ∑λj
= 0,
∂xi j =1 ∂xi
λjgj = 0,
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
gj ≤ 0,
λj ≥ 0,
i = 1, 2, …, n
(1.21a)
j = 1, 2, …, m
j = 1, 2, …, m
j = 1, 2, …, m
(1.21b)
(1.21c)
(1.21d)
PERHATIAN:
•
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan {bukan
meminimumkan seperti pada Pers.(1.15)}, maka λj ≤ 0 dalam
Pers.(1.21d).
•
Jika kendalanya adalah gj ≥ 0, maka λj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d).
•
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika
kendalanya adalah gj ≥ 0, maka λj ≥ 0 dalam Pers.(1.21d).
Contoh 1.5
Sebuah perusahaan pembuat komputer mendapat kontrak untuk
menyediakan 50 unit komputer pada akhir bulan pertama, 50 unit
komputer pada akhir bulan kedua, dan 50 unit komputer pada akhir
bulan ketiga. Biaya produksi x buah komputer tiap bulannya adalah x2.
Perusahaan ini dapat memproduksi komputer lebih dari yang dipesan
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-18
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
dan menyimpannya di gudang untuk diserahkan pada bulan berikutnya.
Biaya gudang adalah sebesar 20 satuan harga untuk tiap komputer yang
disimpan dari bulan yang lalu kebulan berikutnya. Diandaikan bahwa
pada permulaan pesanan di gudang tidak terdapat persediaan komputer.
Tentukan jumlah produksi komputer tiap bulannya agar biaya
pembuatannya minimum.
Penyelesaian:
Dimisalkan a, b, dan c adalah produksi komputer selama tiga bulan
berurutan, maka biaya total yang harus diminimumkan adalah
Biaya total = biaya produksi + biaya gudang
atau
f (a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2 + 20(a − 50) + 20(a + b − 100)
= a 2 + b 2 + c 2 + 40a + 20b − 3000
dengan kendala:
g1(a, b, c) = a – 50 ≥ 0
g2(a, b, c) = a + b – 100 ≥ 0
g3(a, b, c) = a + b + c – 150 ≥ 0
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Syarat Kuhn-Tucker–nya dapat dinyatakan sbb:
∂g
∂g
∂g
∂f
+ λ1 1 + λ 2 2 + λ3 3 = 0
∂x i
∂x i
∂x i
∂x i
atau
i = 1, 2, 3
2a + 40 + λ1 + λ2 + λ3 = 0
2b + 20 + λ2 + λ3 = 0
2c + λ3 = 0
(E.1)
(E.2)
(E.3)
λjgj = 0 j = 1, 2, 3
atau
λ1(a - 50) = 0
λ2(a + b - 100) = 0
λ3 (a + b + c - 150) = 0
atau
METODE OPTIMASI ANALITIS
gj ≥ 0 j = 1, 2, 3
a - 50 ≥ 0
a + b - 100 ≥ 0
(E.4)
(E.5)
(E.6)
(E.7)
(E.8)
hal. 1-19
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
a + b + c - 150 ≥ 0
(E.9)
λj ≤ 0 j = 1, 2, 3
λ1 ≤ 0
λ2 ≤ 0
λ3 ≤ 0
atau
(E.10)
(E.11)
(E.12)
Dari Pers.(E.4) tampak bahwa λ1 = 0 atau a = 50.
Kasus (i): Jika λ1 = 0
Pers.(E.1) dan (E.3) memberikan
c = −0,5λ3
⎫
⎪
b = −10 − 0,5λ 2 − 0,5λ3 ⎬
c = −20 − 0,5λ 2 − 0,5λ3 ⎪⎭
(E.13)
Substitusi Pers.(E.13) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6), didapat
λ2 (−130 − λ2 − λ3 ) = 0⎫
⎬
λ3 (−180 − λ2 − 1,5λ3 ) = 0⎭
(E.14)
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Empat kemungkinan penyelesaian Pers.(E.14) adalah
(1)
λ2 = 0, –180 – λ2 – 1,5λ3 = 0 atau λ2 = 0, λ3 = –120
Jadi a = 40, b = 50, c = 60
Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.8).
(2)
–130 – λ2 – λ3 = 0, λ3 = 0, atau λ2 = –130, λ3 = 0
Jadi a = 45, b = 55, c = 0
Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9).
(3)
λ2 = 0, λ3 = 0
Jadi a = –20, b = –10, c = 0
Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9).
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-20
Djoko Luknanto
(4)
Pengantar Optimasi Non-linier
–130 – λ2 – λ3 = 0, –180 – λ2 – 1,5λ3 = 0 atau λ2 = –30, λ3 = –100
Jadi a = 45, b = 55, c = 50
Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7).
Kasus (ii): Jika a = 50
Pers.(E.1) dan (E.3) memberikan
λ 3 = − 2c
⎫
⎪
λ2 = −20 − 2b − λ3 = −20 − 2b + 2c
⎬
λ1 = −40 − 2a − λ2 − λ3 = −20 − 2a + 2b = −120 + 2b ⎪⎭
(E.15)
Substitusi Pers.(E.15) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6) menghasilkan
(−20 − 2b + 2c)(a + b − 100) = 0⎫
⎬
− 2c(a + b + c − 150) = 0⎭
(E.16)
Dari Pers.(E.16) diperoleh empat kemungkinan penyelesaian
(1)
–20 – 20b + 2c = 0, a + b + c – 150 = 0
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Jadi a = 50, b = 45, c = 55
Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8).
(2)
–20 – 20b + 2c = 0, –2c = 0
Jadi a = 50, b = –10, c = 0
Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8) dan (E.9).
(3)
a + b – 100 = 0, –2c = 0
Jadi a = 50, b = 50, c = 0
Penyelesaian ini bertentangan dari (E.9).
(4)
a + b – 100 = 0, a + b + c – 150 = 0
Jadi a = 50, b = 50, c = 50
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-21
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Penyelesaian terakhir inilah yang memenuhi setiap persamaan. Nilai
dari λ1, λ2, dan λ3 sesuai dengan penyelesaian di atas adalah
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
λ1 = –20, λ2 = –20, λ3 = –100
METODE OPTIMASI ANALITIS
hal. 1-22
2. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
Telah kita lihat dalam Bab 1, bahwa untuk mencari nilai optimum
suatu fungsi tujuan dihitung terlebih dahulu titik optimumnya. Setelah
titik optimum diketahui, maka nilai optimum fungsi tujuannya dihitung
dari nilai fungsi di titik optimum. Jadi nilai fungsi tujuan dihitung
terakhir.
Pada metode numeris langkah hitungan yang dilakukan justru
kebalikan dari metode analitis. Pada metode ini letak titik optimum
ditentukan dengan menyelidiki nilai fungsinya. Titik yang mempunyai
nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi pada
titik-titik yang lain itulah titik optimumnya. Jadi letak titik optimum
dihitung terakhir.
Dalam bab ini akan dibahas metode numeris dalam optimasi satu
variabel–tanpa kendala, yang secara garis besar dibagi sebagai berikut.
A.
Teknik Eliminasi
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
1.
B.
Pencarian bebas
(i)
Dengan langkah tetap
(ii)
Dengan percepatan langkah
2.
Pencarian lengkap
3.
Pencarian dikotomi
4.
Pencarian Fibonacci
5.
Pencarian Rasio Emas
Teknik Pendekatan
Newton (Kuadratik)
Metode numeris yang akan dibahas disini hanya berlaku untuk
suatu fungsi unimodal. Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang hanya
mempunyai satu puncak (maximum) atau satu lembah (minimum). Jika
ternyata fungsi tujuan yang akan dioptimasikan bersifat multimodal
(berpuncak banyak) pada interval yang menjadi perhatian, maka interval
tersebut harus dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil
sedemikian rupa sehingga pada interval-interval kecil tersebut fungsi
tujuan bersifat unimodal.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-1
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
2.1 Teknik Eliminasi
2.1.1 Pencarian bebas
Teknik eliminasi pencarian bebas adalah teknik yang paling
sederhana dan mudah difahami, tetapi tidak efisien ditinjau dari segi
numeris. Teknik ini dibagi menjadi dua metode yang berbeda dalam
pemilihan langkah hitungan.
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
2.1.1.1 Dengan langkah tetap.
Pendekatan paling dasar dari permasalahan optimasi adalah
penggunaan langkah tetap berangkat dari titik tebakan pertama dan
bergerak kearah yang dikehendaki. Diandaikan permasalahan yang
dihadapi adalah minimisasi suatu fungsi tujuan, maka teknik ini dapat
dijabarkan sebagai berikut:
1.
Mulai dengan tebakan titik pertama, misalkan x1.
2.
Hitung f1 = f(x1).
3.
Pilih sebuah ukuran langkah misalkan s, hitung x2 = x1 + s.
4.
Hitung f2 = f(x2).
5.
Jika f2 < f1, maka pencarian dapat diteruskan kearah ini
sepanjang titik-titik x3, x4, … dengan melakukan tes pada setiap
dua titik yang terakhir. Cara ini ditempuh terus sampai dicapai
suatu keadaan dimana xi = x1 + (i – 1)s memperlihatkan kenaikan pada nilai fungsinya.
6.
Pencarian dihentikan pada xi, dan xi atau xi–1 dapat dianggap
sebagai titik optimum.
7.
Jika f2 > f1, pencarian harus dilakukan kearah yang berlawanan
yaitu sepanjang titik-titik x–2, x–3, … dengan x–j = x1 – (j – 1)s .
8.
Jika f2 = f1, maka titik optimum terletak diantara titik-titik x1
danx2.
9.
Jika ternyata f2 dan f–2 mempunyai nilai lebih besar dari f1,
maka titik optimum terletak diantara titik-titik x–2 dan x2.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-2
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Contoh 2.1
Cari maximum dari fungsi
⎧x
⎪
untuk x ≤ 2
f ( x) = ⎨ 2
⎪⎩ − x + 3 untuk x > 2
dengan menggunakan teknik pencarian bebas dengan x1 = –1 dan s = 0.4.
Penyelesaian:
Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawah ini:
xi
fi
fi ≤ fi–1
1
2
–1.0
–1.4
–0.5
–0.7
3
4
5
6
7
8
9
10
–0.6
–0.2
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
–0.3
–0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.8
–
ya
balik arah
tidak
tidak
tidak
tidak
tidak
tidak
tidak
ya
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
i
Dari tabel di atas tampak pada i = 2 terjadi pembalikan arah pencarian karena nilai fungsinya menurun. Pada arah yang sebaliknya nilai
fungsi bertambah besar, sampai i = 10, nilainya menurun. Jadi nilai
optimum terjadi diantara i = 9 dan i = 10 atau dapat dianggap bahwa nilai
x optimum adalah x9 atau x10.
2.1.1.2 Dengan percepatan langkah.
Walaupun pencarian dengan langkah tetap sangat sederhana dan
mudah, tetapi sangat tidak efisien. Sebagai ilustrasi ketidak-efisienannya
diandaikan suatu pencarian dimulai dari nilai x1 = –1 dan s = 0.1
sedangkan x optimum mempunyai nilai 50000.00, maka untuk dapat
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-3
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
menyelesaikannya dengan teknik pencarian langkah tetap membutuhkan
500010 kali hitungan.
Salah satu cara untuk mempercepat proses pencarian titik optimum
tersebut adalah dengan memperbesar langkah pencarian sampai titik
optimum terkurung. Pada permasalah maximisasi fungsi tujuan, maka
teknik pencarian percepatan langkah dilakukan dengan memperbesar
langkah dua kali lipat sepanjang arah gerakan yang menghasilkan
bertambahnya nilai fungsi tujuan. Beberapa perbaikan dari teknik ini
dapat dikembangkan dari ide yang serupa. Salah satunya adalah dengan
mengurangi besar langkah pada saat titik optimum sudah terkurung
dalam (xi–1, xi). Dengan mulai lagi hitungan dari titik xi atau xi-1 prosedur
di atas dapat diulangi lagi dengan langkah pencarian diperkecil sampai
dicapai pengurungan titik optimum dalam suatu interval yang cukup
kecil sesuai dengan kebutuhan. Prosedur pencarian titik optimum dengan
teknik ini dijelaskan dalam bagan alir dalam Gambar 2.1.
Pilih nilai awal x1 dan
langkah awal s
Hitung f1=(x1)
Set i=2, x2=x1+s, f2=f(x2)
STOP
xopt terletak antara
x-2 dan x2
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
ya
Set i=i+1, s=2s
xi=x1+s
fi=f(xi)
tidak
fi ≤ fi-1?
ya
tidak
f2 ≤ f1?
f-2 ≤ f1?
ya
tidak
Set i=2
x-2=x1-s
f-2=f(x-2)
Set i=i+1, s=2s
x-i=x1-s
f-i=f(x-i)
STOP
xopt terletak antara
xi-1 dan xi
f-i ≤ f-(i-1)?
tidak
ya
STOP
xopt terletak antara
x-(i-1) dan x-i
Gambar 2.1. Bagan alir “Pencarian Percepatan Langkah”
Contoh 2.2
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-4
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dengan nilai awal x1 = 0.0 dan
langkah awals = 0.05.
Penyelesaian:
Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawah. Dari tabel di bawah
tampak pada i = 2 terjadi pembalikan arah pencarian karena nilai
fungsinya menurun. Pada arah yang sebaliknya nilai fungsi bertambah
besar, sampai i = 7 dengan nilai x optimum adalah x7 = 0.8. Pada soal ini
nilai optimum sebetulnya tidak terjadi diantara i = 7 dan i = 8, tetapi
informasi mengenai intervalnya telah didapatkan. Pendekatan yang lebih
baik adalah dengan memulai lagi hitungan pada i = 6 dengan langkah
hitungan yang lebih kecil.
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
fi
s
xi
1
2
–
–0.05
0.0
–0.05
0.0
–0.0775
3
4
5
6
7
8
0.05
0.10
0.20
0.40
0.80
1.60
0.05
0.10
0.20
0.40
0.80
1.60
0.0725
0.1400
0.2600
0.4400
0.5600
–0.1600
i
fi ≤ fi–1
–
ya
balik arah
tidak
tidak
tidak
tidak
tidak
ya
2.1.2 Pencarian lengkap
Teknik ini dapat digunakan jika telah diketahui bahwa interval
dimana terdapat titik optimum telah tertentu. Misal xs dan xf berurutan
menunjukkan titik-titik awal dan akhir dari interval yang menjadi
perhatian kita. Teknik Pencarian lengkap terdiri atas pencarian nilai
fungsi tujuan pada titik-titik tertentu yang berjarak sama dalam interval
(xs, xf ). Misal suatu fungsi didefinisikan dalam interval (xs, xf ) dan
dievaluasi pada delapan titik-titik hitungan x1 dan x8. Andaikan nilai
fungsi yang ditinjau berbentuk kurva seperti disajikan dalam Gambar 2.2,
maka titik optimum akan terletak diantara titik x5 dan x7. Jadi interval
(x5, x7) dianggap sebagai interval pencarian yang baru.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-5
Djoko Luknanto
xs
x1
Pengantar Optimasi Non-linier
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
xf
x
Gambar 2.2. Teknik Pencarian Bebas Lengkap
Secara umum, jika fungsi tujuan dievaluasi pada n titik berjarak
sama didalam interval pencarian mula-mula L0 = (xf – xs), dan jika
ternyata bahwa titik optimum berada pada titik xj, maka interval terakhir
adalah
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Ln = x j +1 − x j −1 =
2
L0
n +1
(2.1)
Contoh 2.3
Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dalam interval (0.0, 1.0)
dengan n = 9.
Penyelesaian:
Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawah ini:
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
fi
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.14
0.26
0.36
0.44
0.50
0.54
0.56
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-6
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
xi
fi
8
0.8
0.56
9
0.9
0.54
i
Dari tabel di atas tampak bahwa x7 =x8, sehingga titik optimum akan
berada pada interval ini. Jika diandaikan bahwa titik optimum terjadi
ditengah interval, xopt = 0.75, maka nilai fungsi tujuan optimum adalah
0.5625 yang ternyata memang nilai optimum yang sebenarnya.
2.1.3 Pencarian Dikotomi
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Teknik eliminasi dengan pencarian dikotomi, dan juga pencarian
Fibonacci, dan Rasio Emas yang akan dibahas pada bab berikut, pada
prinsipnya adalah merupakan teknik pencarian bertahap dimana
pencarian yang berikutnya dipengaruhi secara langsung oleh pencarian
sebelumnya.
Untuk memperjelas konsep pencarian dikotomi, maka dalam
Gambar 2.3 disajikan gambar proses pencarian tersebut. Pada pencarian
dikotomi, dua penyelidikan dilakukan pada daerah didekat titik tengah
(xm) dari interval pencarian (xs, xf). Berdasarkan nilai relatif dari fungsi
tujuan pada dua titik di sebelah kiri (x1) dan kanan (x2) yang berjarak δ0/2
dari titik tengah, maka penentuan interval pencarian berikutnya
dilakukan.
Pada Gambar 2.3, tampak bahwa f1 < f2, maka interval pencarian
selanjutnya adalah (x1, xf) karena mengurung titik optimum. Demikian
seterusnya pencarian dikotomi dilaksanakan sampai didapat titik
optimum yang dicari sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki. Dalam
teknik ini nilai δ0 adalah bilangan positif kecil.
Dalam Gambar 2.3 tampak bahwa interval pencarian yang baru
mempunyai lebar interval sebesar (L0/2 + δ0/2). Interval-interval yang
baru dicari dengan cara yang sama seperti di atas sehingga didapat
hubungan antara lebar interval pencarian dengan jumlah pencarian
interval yang telah dilaksanakan yang disajikan di bawah ini.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-7
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
f2
f1
δ0
fs
ff
δ0/2
xs
x1
L0/2
xm
xf
x2
x
L0
Gambar 2.3. Pencarian Dikotomi
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Tabel 2.1. Lebar Interval pada Pencarian Dikotomi
Jumlah pencarian (i)
Lebar interval (Li)
0
L0
2
1
1
( L0 ) + δ 0
2
2
4
1 ⎛ L0 + δ 0 ⎞ 1
⎜
⎟ + δ0
2⎝ 2 ⎠ 2
6
1 ⎛ L0 + δ 0 1 ⎞ 1
+ δ0 ⎟ + δ0
⎜
2⎝ 4
2 ⎠ 2
n
L0
1 ⎞
⎛
+ ⎜ 1 − n / 2 ⎟δ 0
n/2
2 ⎠
2
⎝
Contoh 2.4
Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dalam interval (0.0, 1.0)
dengan n = 6 dan δ0 = 0.001.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-8
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Penyelesaian:
Dua penyelidikan pertama dilakukan pada titik-titik:
x1 =
1
1
L0 + δ 0 = 0,5 − 0,0005 = 0,4995
2
2
x2 =
1
1
L0 + δ 0 = 0,5 + 0,0005 = 0,5005
2
2
dan
dengan nilai fungsi tujuannya masing-masing adalah
f1 = f ( x1 ) = 0,4995(1,0005) ≈ 0,49975
f 2 = f ( x 2 ) = 0,5005(0,9995) ≈ 0,50025
Karena f1 < f2, maka interval pencarian baru adalah (x1, xf) = (0.4995, 1.0).
Dua pasang titik yang baru adalah
1,0 − 0,4995 ⎞
⎛
x3 = ⎜ 0,4995 +
⎟ − 0,0005 = 0,74925
2
⎝
⎠
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
dan
1,0 − 0,4995 ⎞
⎛
x 4 = ⎜ 0,4995 +
⎟ + 0,0005 = 0,75025
2
⎝
⎠
dengan nilai fungsi tujuannya masing-masing adalah
f 3 = f ( x3 ) = 0,74925(0,75075) ≈ 0,5624994375
f 4 = f ( x 4 ) = 0,75025(0,74975) ≈ 0,5624999375
Karena f3 < f4, maka interval pencarian baru adalah (x3, xf) = (0.74925, 1.0).
Dua pasang titik yang baru adalah
1,0 − 0,74925 ⎞
⎛
x5 = ⎜ 0,74925 +
⎟ − 0,0005 = 0,874125
2
⎝
⎠
dan
1,0 − 0,74925 ⎞
⎛
x6 = ⎜ 0,74925 +
⎟ + 0,0005 = 0,875125
2
⎝
⎠
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-9
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
dengan nilai fungsi tujuannya masing-masing adalah
f 5 = f ( x5 ) = 0,874125(0,625875) ≈ 0,547092984375
f 6 = f ( x6 ) = 0,875125(0,624875) ≈ 0,5468437344
Karena f6 < f5, maka interval pencarian baru adalah (x3, x6) = (0.74925,
0.875125). Sebagai titik optimum diandaikan terjadi pada tengah interval
terakhir ini
xopt =
dan
0,74925 + 0,875125
= 0,8121875
2
fopt ≈ 0,5586327148
2.1.4 Pencarian Fibonacci
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Seperti telah disebutkan didepan, Pencarian Fibonacci dapat dipakai
untuk mencari maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk
fungsi yang tidak menerus. Teknik ini, seperti teknik eliminasi yang
lainnya mempunyai ciri khas sebagai berikut:
(i)
Interval permulaan dimana terletak titik optimum harus
diketahui terlebih dahulu.
(ii)
Fungsi tujuan yang dioptimasikan harus fungsi unimodal pada
interval pencarian.
(iii) Letak yang tepat dari titik optimum tidak dapat ditentukan.
Hanya interval pencariannya saja yang dapat diketahui.
Interval pencarian dapat diperkecil sesuai dengan ketelitian
yang dikehendaki.
(iv) Jumlah nilai fungsi tujuan yang harus dievaluasi dalam
pencarian atau jumlah subinterval pencarian harus ditentukan
sebelumnya.
Pada teknik Fibonacci ini digunakan sebuah deret yang dinamakan
deret Fibonacci (Fn)yang mempunyai ciri sebagai berikut:
F0 = F1 = 1
⎫
⎬
Fn = Fn −1 + Fn − 2 , n = 2,3,4,...⎭
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
(2.2)
hal. 2-10
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
yang menghasilkan deret: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Untuk menjelaskan prosedur teknik Fibonacci, maka disajikan
Gambar 2.4. Dimisalkan interval pencarian mula-mula adalah L0 = b – a,
sedangkan n adalah jumlah pencarian yang harus dilaksanakan.
Didefinisikan:
L* =
Fn − 2
L0
Fn
(2.3)
dan dicari dua titik x1 dan x2 yang diletakkan masing-masing pada jarak
L* pada kedua tepi interval. Sehingga
⎫
⎪
Fn −1 ⎬
*
x2 = b − L = a +
L0 ⎪
Fn
⎭
x1 = a + L*
(2.4)
f2
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
f1
L*
a
L*
x1
x2
L = L0 - L*
b
x
L = L0 - L*
L0
Gambar 2.4. Pencarian Fibonacci
Dengan menggunakan sifat fungsi unimodal, maka dapat ditentukan
interval yang mana yang mengandung titik optimum. Pada Gambar 2.4,
interval yang mengandung titik optimum menjadi (x1, b). Besarnya
interval ini adalah
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-11
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
L = L0 − L* = L0 −
⎛
Fn − 2
F
L0 = ⎜⎜ 1 − n − 2
Fn
Fn
⎝
⎞
F
⎟⎟ L0 = n −1 L0
Fn
⎠
(2.5)
Langkah selanjutnya adalah mengulangi prosedur di atas dengan
nilai n yang baru yang dihitung sebagai n = n – 1. Demikian prosedur ini
diulang sampai dengan n = 1.
Teknik ini kalah populer dengan teknik Rasio Emas yang akan
dijelaskan pada bab selanjutnya. Kekalahan itu disebabkan oleh adanya
F
hitungan rasio n − 2 yang baru setiap kali akan menentukan interval
Fn
pencarian yang baru.
2.1.5 Pencarian Rasio Emas
Teknik eliminasi dengan pencarian memakai Rasio Emas sangat
serupa dengan teknik Fibonacci. Dalam teknik ini rasio penyempitan
interval mengikuti Rasio Emas. Rasio Emas sendiri merupakan penemuan
orang Yunani kuno. Rasio ini dianggap memberikan bentuk bangunan
yang paling menyenangkan.
Rasio Emas didefinisikan sebagai:
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
γ =
d +b d
=
d
b
(2.6)
dengan b, d berurutan adalah sisi pendek, panjang dari suatu empat
persegi panjang. Dari geometri Euclid, diketemukan pula bahwa jika
suatu garis dibagi dengan Rasio Emas menjadi dua bagian tidak sama
besar, maka nilai perbandingan antara bagian yang besar dibanding
panjang keseluruhan sama dengan perbandingan bagian yang kecil
dibanding bagian yang besar. Dari Pers.(2.6) diperoleh nilai γ dengan
1
persamaan γ2 = γ + 1, sehingga nilai γ = 2 (1+√5) = 1.6180339. Rasio ini
menghasilkan suatu algoritma eliminasi interval yang sangat efisien.
Gambar 2.5 dapat dipakai lagi untuk menjelaskan teknik ini. Pada
Gambar 2.5 nilai L* dicari dengan rumus:
L* =
L0
γ
2
=
L0
≈ 0,382 L0
(1,6180339) 2
(2.7a)
dan
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-12
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
⎛
1
L = L0 − L* = ⎜⎜ 1 − 2
⎝ γ
⎞
L
⎟⎟ L0 = 0 ≈ 0,618L0
γ
⎠
(2.7b)
Dari keistimewaan Rasio Emas, ternyata algoritmanya hanya
memerlukan Pers.(2.7) hanya pada iterasi pertama, pada iterasi
selanjutnya tidak diperlukan lagi. Hal ini dapat dibuktikan dengan
mencermati penggal garis yang terjadi pada Gambar 2.5, pada iterasi
kedua. Inilah yang menyebabkan algoritma Rasio Emas yang dihasilkan
sangat efisien.
Pada Gambar 2.5, interval (a, b) dibagi menurut geometri Rasio Emas
sehingga didapat:
L* =
L0
γ2
f2
f1
L1
*
L*
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
L
a
x1
x2
L
b
x
L
L0
Gambar 2.5. Pencarian Rasio Emas
Dari ketentuan di atas, maka diperoleh hubungan:
⎛ γ 2 − 1⎞
L = L0 − L = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ L0
⎝ γ ⎠
L
= 0
*
γ
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-13
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
⎛γ 2 − 2⎞
⎟⎟ L0
L1 = L0 − 2 L* = ⎜⎜
2
⎝ γ
⎠
⎛γ 2 −γ ⎞
⎛ γ − 1⎞
⎟⎟ L0
= ⎜⎜ 2 ⎟⎟ L0 = ⎜⎜
3
⎝ γ ⎠
⎝ γ
⎠
L
= 03
γ
L
. Ini berarti
γ2
bahwa L1 otomatis merupakan L* bagi iterasi selanjutnya. Sehingga untuk
iterasi selanjutnya nilai L* dapat dihitung sebagai jarak antara x1 dan x2.
Nilai L1 di atas adalah istimewa karena merupakan
Algoritma Rasio Emas untuk permasalahan maximisasi f(x):
Langkah 1: Misalkan a(1) dan b(1) adalah titik tepi interval pencarian
mula-mula. Hitung
x1
b (1) − a (1)
+
(1,6180339) 2
(1)
=a
(1)
= b (1) + x1
x2
(1)
(
(1)
− a (1)
)
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Set k = 2.
Langkah 2: (1) Jika f ( x1
( k −1)
) > f ( x2
( k −1)
) , maka
a(k) = a(k-1) dan b ( k ) = x 2
x1
(k )
(2) Jika f ( x1
(
= a ( k ) + x2
( k −1)
) < f ( x2
a ( k ) = x1
x1
(k )
( k −1)
= x2
( k −1)
( k −1)
( k −1)
( k −1)
− x1
( k −1)
) dan x
(k )
2
= x1
( k −1)
) , maka
dan b(k) = b(k-1)
dan x 2
(k )
(
= b ( k ) + x2
( k −1)
− x1
( k −1)
)
Langkah 3: (1) Berhenti jika (b(k)-a(k)) < ε cukup kecil sesuai dengan
ketelitian yang dikehendaki, titik optimum x* diambil sama
dengan titik-titik a(k) , b(k), x1(k), x2(k), yang memberikan nilai f
maximum.
(2) Jika (b(k)-a(k)) ≥ ε, set k = k + 1 dan lakukan langkah 2.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-14
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Contoh 2.5
Cari maximum dari fungsi f = 720 – 12/x – 108x dalam interval (0.0,
1.0) dengan ε = 0.01.
Penyelesaian:
Iterasi I:
Langkah 1: Hitung
x1
1− 0
= 0,382
1,6180339 2
(1)
= 0+
(1)
= 1 − (0,382 − 0) = 0,618
x2
Set k = 2.
f ( x1 ) = f (0,382) = 720 −
120
− 108(0,382) = 647,33
0,382
f ( x 2 ) = f (0,618) = 720 −
120
− 108(0,618) = 633,84
0,618
(1)
Langkah 2:
(1)
Karena f ( x1 ) > f ( x 2 ) , maka
(1)
(1)
a(2) = 0 dan b(2) = 0,618
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
x1(2) = 0 + (0,618 – 0,382) = 0,236 dan x2(2) = 0,386
Langkah 3: b(2) – a(2) = 0,618 – 0 > ε = 0.01, maka k = 3, kembali ke
Langkah 2.
Algoritma ini dilanjutkan terus dan hasilnya disajikan dalam tabel di
bawah sampai interval terakhir lebih kecil dari 0.01.
k
a(k)
b(k)
b(k)–a(k)
1
2
3
4
5
6
0
0
0.236068
0.236068
0.236068
0.291796
1
0.618034
0.618034
0.472136
0.381966
0.381966
1
0.618034
0.381966
0.236068
0.145898
0.090170
x1
(k )
0.381966
0.236068
0.381966
0.326238
0.291796
0.326238
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
x2
(k )
0.618034
0.381966
0.472136
0.381966
0.326238
0.347524
(k )
(k )
f ( x1 )
f ( x2 )
647.3313
643.6718
647.3313
647.9833
647.3614
647.9833
633.8359
647.3313
643.5929
647.3313
647.9833
647.9374
hal. 2-15
Djoko Luknanto
k
a(k)
Pengantar Optimasi Non-linier
b(k)
b(k)–a(k)
x1
(k )
x2
(k )
7 0.291796 0.347524 0.055728 0.313082 0.326238
8 0.313082 0.347524 0.034442 0.326238 0.334368
9 0.326238 0.347524 0.021286 0.334368 0.339394
10 0.326238 0.339394 0.013156 0.331264 0.334368
11 0.331264 0.339394 0.008130 0.334368 0.336290
(k )
(k )
f ( x1 )
f ( x2 )
647.8585
647.9833
647.9997
647.9986
647.9997
647.9833
647.9997
647.9883
647.9997
647.9972
Pada iterasi ke 11, nilai maximum fungsi tujuan didapat pada
x1 = 0,334368 dan f(x1(11)) = 647,9997, sebagai perbandingan nilai fungsi
maximum yang betul adalah 648. Dalam algoritma ini perlu diperhatikan
bahwa error karena pembulatan mungkin terjadi, sehingga setiap
beberapa iterasi langkah 1 perlu dilakukan.
(11)
2.2 Teknik Pendekatan
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
2.2.1 Metode Newton (Kuadratik)
Metode Newton (atau seringkali disebut dengan metode Newton–
Raphson) memerlukan fungsi tujuan tanpa kendala dalam interval yang
menjadi perhatian dan mempunyai derivasi pertama maupun keduanya.
Metode ini banyak pula dikembangkan untuk memecahkan permasalahan
optimasi multi variabel. Metode Newton seringkali dipandang sebagai
metode untuk mencari akar dari suatu fungsi. Dalam bab ini, metode ini
akan diinterpretasikan sebagai pendekatan kuadratik dari suatu fungsi
tujuan f. Ditinjau tiga suku pertama dari suatu deret Taylor dari fungsi f
pada titik x(k) pada iterasi k.
F ( x) = f ( x ( k ) ) + f ′( x ( k ) )( x − x ( k ) ) +
1
f ′′( x ( k ) )( x − x ( k ) ) 2
2
(2.8)
Fungsi F(x) adalah pendekatan kuadratik dari f(x) dan mempunyai
derivasi pertama dan kedua yang sama di titik x(k). Kita dapat maximisasi
F(x) secara langsung. Jika titik x(k) berada di sekitar titik optimum dari f(x),
kurva F(x) akan merupakan pendekatan dari fungsi f(x) pada titik
optimum. Jadi maximisasi fungsi pendekatan F(x), merupakan
pendekatan dari maximisasi fungsi tujuan asli F(x) (lihat Gambar 2.6).
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-16
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
y
persamaan
kuadrat
y=f(x)
x
x(k)
x(k+1)
x(k+2)
Gambar 2.6. Metode Newton
Syarat perlu untuk mencari titik optimum dari Pers.(2.8) adalah
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
F ′( x) = f ′( x ( k ) ) + f ′′( x ( k ) )( x * − x ( k ) ) = 0
atau
x* = x (k ) −
f ′( x ( k ) )
f ′′( x ( k ) )
(2.9)
Pada setiap iterasi k, titik optimum x* dari pendekatan kuadratik
menjadi titik yang akan digunakan untuk membuat fungsi pendekatan
kuadratik yang selanjutnya. Jadi nilai x(k+1) dibuat sama dengan x* dalam
Pers.(2.9) untuk mendapatkan rumus iterasi Newton sebagai berikut:
x ( k +1) = x ( k ) −
f ′( x ( k ) )
f ′′( x ( k ) )
(2.10)
Prosedur iterasi Newton dihentikan jika perubahan dari titik
optimum telah mencapai ketelitian yang diharapkan atau x ( k +1) − x ( k ) < ε .
Contoh 2.6
Cari maximum dari fungsi f = 720 – 12/x – 108x mulai dengan
x = 0.25 dan ε = 0.01.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-17
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Penyelesaian:
Derivasi pertama dan kedua dari fungsi tujuan di atas adalah sebagai
berikut:
f ′( x ) =
− 24
12
− 108 dan f ′′( x) = 3
2
x
x
x(1) = 0,25, f’(x(1)) = 84, dan f’’(x(1)) = – 1536.
Pada
Sehingga F(x) = 576 + 468x – 768x2
x ( 2) = x (1) −
dan
f ′( x (1) )
84
= 0,25 −
= 0,305 .
(1)
− 1536
f ′′( x )
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Hasil selengkapnya disajikan dalam tabel di bawah ini.
k
x(k)
f’(x(k))
f’’(x(k))
x(k+1)
f(x(k+1))
1
2
3
0.25
0.305
0.330
84.00
21.00
02.19
–1536.00
–0845.89
–0667.84
0.305
0.330
0.333
647.720
647.996
648.000
Didalam daerah optimum, tampak dari tabel di atas bahwa metode
Newton konvergen dengan cepat sekali. Tetapi sayangnya metode ini
tidak selalu konvergen. Dengan menggunakan beberapa iterasi dari teknik
eliminasi, seperti pencarian Rasio Emas, sebelum melakukan metode
Newton, biasanya masalah ketidak-konvergenan dari metode Newton
dapat dihindari. Kelemahan lain dari metode ini adalah diperlukannya
derivasi pertama dan kedua yang secara numeris sangat mahal biayanya.
Biasanya metode Newton ini dipakai kombinasi dengan metode lain
untuk mengurangi kelemahannya.
TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI
hal. 2-18
3. PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Dalam bab ini akan disajikan perangkat lunak dalam bahasa
FORTRAN yang dapat dipakai untuk keperluan mendapatkan nilai
minimum dari suatu fungsi satu variabel. Perangkat lunak ini diambil dari
“Numerical Recipes The Art of Scientific Computing” karangan William
H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky. Perangkat lunak ini terdiri
dari empat buah subprogram disertai dengan sebuah program utama
untuk merangkumnya ditambah sebuah subprogram yang memuat
definisi fungsinya serta sebuah lagi untuk mendefinisikan derivasi
pertamanya. Perangkat lunak tersebut terdiri dari:
a.
Subprogram MNBRAK
b.
Subprogram GOLDEN
c.
Subprogram BRENT
d.
Subprogram DBRENT
e.
Program MINIMISASI
f.
Subprogram F
g.
Subprogram DF
Setiap subprogram di atas akan dijelaskan secara lebih rinci pada bab
berikutnya. Bagi yang terbiasa dengan bahasa FORTRAN kejelasan dapat
pula diperoleh dengan membaca dan mencermati langsung ‘coding’ dari
masing-masing ‘program listing.’
3.1 Subprogram: MNBRAK
MNBRAK adalah subprogram yang membantu untuk mengurung
nilai minimum suatu fungsi tujuan. Hal ini diperlukan karena pada Bab II
telah dijelaskan bahwa seluruh metode yang telah dijelaskan
mengadaikan fungsi tujuan yang unimodal. Jadi pada prinsipnya
MNBRAK adalah mencari interval dimana suatu fungsi bersifat unimodal.
Interval tersebut dicari dengan menyusuri fungsi tujuan kearah
lembahnya untuk kemudian berhenti pada saat lembahnya terkurung.
Data masukan dan keluaran dari MNBRAK dapat dilihat langsung
pada listing di bawah ini.
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-1
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
SUBROUTINE MNBRAK (AX, BX, CX, FA, FB, FC, FUNC, ITMAX, OK)
C----------------------------------------------------------------------C
C Given a function FUNC, and given distinct initial points AX and BX,
C this routine searches in the downhill direction (defined by the
C function as evaluated at the initial points) and returns new points
C AX, BX, CX which bracket a minimum of the function. Also returned
C are the function values at the three points, FA, FB, and FC
C
C----------------------------------------------------------------------PARAMETER (GOLD=1.618034, GLIMIT=100.0, TINY=1.E-20)
C The first parameter is the default ratio by which successive
C interval are magnified; the second is the maximum magnification
C allowed for a parabolic-fit step.
LOGICAL OK
FA = FUNC(AX)
FB = FUNC(BX)
IF (FB.GT.FA) THEN
C Switch the roles of A and B so that we can go downhill
C in the direction from A to B
TEMP = AX
AX = BX
BX = TEMP
TEMP = FB
FB = FA
FA = TEMP
ENDIF
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C First guess for C
CX = BX + GOLD*(BX-AX)
FC = FUNC(CX)
C Reset the counter
ITER = 1
C Looping: keep returning here until we bracket
100 IF (FB.GE.FC) THEN
C Compute U by parabolic extrapolation from A, B, C.
C TINY is used to prevent any possible divion by zero
R = (BX-AX)*(FB-FC)
Q = (BX-CX)*(FB-FA)
U = BX-((BX-CX)*Q-(BX-AX)*R)/(2.*SIGN(MAX(ABS(Q-R),TINY),Q-R))
C We won't go farther than this.
ULIM = BX+GLIMIT*(CX-BX)
C Now to test various possibilities
IF ( (BX-U)*(U-CX).GT.0. ) THEN
C Parabolic U is between B and C: try it
FU = FUNC(U)
C Got a minimum between A and U
IF (FU.LT.FC) THEN
C Got
AX =
FA =
BX =
a minimum between B and C
BX
FB
U
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-2
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
FB = FU
C ... and exit
GOTO 100
ELSE IF (FU.GT.FB) THEN
C Got
CX =
FC =
C ...
GOTO
a minimum between A and U
U
FU
and exit
100
ENDIF
C Parabolic fit was no use. Use default magnification
U = CX+GOLD*(CX-BX)
FU = FUNC(U)
ELSE IF ( (CX-U)*(U-ULIM).GT.0.) THEN
C Parabolic fit is between C and its allowed limit
FU = FUNC(U)
IF (FU.LT.FC) THEN
BX = CX
CX = U
U = CX+GOLD*(CX-BX)
FB = FC
FC = FU
FU = FUNC(U)
ENDIF
ELSE IF ( (U-ULIM)*(ULIM-CX).GE.0.) THEN
C Limit parabolic U to maximum allowed value
U = ULIM
FU = FUNC(U)
ELSE
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C Reject parabolic U, use default magnification
U = CX+GOLD*(CX-BX)
FU = FUNC(U)
ENDIF
C Eliminate oldest point and continue
AX = BX
BX = CX
CX = U
FA = FB
FB = FC
FC = FU
C Count the next work
ITER = ITER + 1
OK = ITER .LE. ITMAX
C ... and do the work if OK
IF (OK) GOTO 100
ENDIF
RETURN
END
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-3
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
3.2 Subprogram: GOLDEN
GOLDEN adalah subprogram yang menggunakan teknik pencarian
Rasio Emas untuk mencari nilai minimum fungsi tujuan. Perangkat lunak
ini paling sederhana dibanding dengan perangkat lunak yang lain. Oleh
karena itu peserta penataran diharapkan mencermati listing di bawah ini
agar mendapatkan ide bagaimana suatu algoritma numeris diubah
menjadi bahasa FORTRAN.
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
FUNCTION GOLDEN (AX, BX, CX, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK)
C----------------------------------------------------------------------C
C Given a function F, and given a bracketing triplet of abscissas
C AX, BX, CX (such that BX is between AX and CX, and F(BX) is less
C than both F(AX) and F(CX)). This routine performs a golden section
C search for the minimum, isolating it to afractional precision
C about TOL. The abscissa of the minimum is returned as XMIN, and
C the minimum function value is returned as GOLDEN, the returned
C function value.
C
C----------------------------------------------------------------------PARAMETER (R=0.61803399, C=1.0-R)
LOGICAL OK
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C At any given time we will keep track of four points: X0,X1,X2,X3.
X0 = AX
X3 = CX
C Make X0 to X1 the smaller segment
IF (ABS(CX-BX).GT.ABS(BX-AX)) THEN
X1 = BX
C ... and fill in the new point to be tried
X2 = BX+C*(CX-BX)
ELSE
X2 = BX
X1 = BX-C*(BX-AX)
ENDIF
C The initial function evaluations. Note that we never need
C to evaluate the function at the original endpoints.
F1 = F(X1)
F2 = F(X2)
C Reset the counter
ITER = 1
C Looping: keep returning here.
100 IF (ABS(X3-X0).GT.TOL*(ABS(X1)+ABS(X2))) THEN
C One possible outcome, its housekeeping
IF (F2.LT.F1) THEN
X0 = X1
X1 = X2
X2 = R*X1+C*X3
F0 = F1
F1 = F2
F2 = F(X2)
ELSE
X3 = X2
X2 = X1
X1 = R*X2+C*X0
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-4
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
F3 = F2
F2 = F1
F1 = F(X1)
ENDIF
C Count the next work
ITER = ITER + 1
OK = ITER .LE. ITMAX
C ... and do the work if OK
IF (OK) GOTO 100
ENDIF
C We are done. Output the best of the two current values
IF (F1.LT.F2) THEN
GOLDEN = F1
XMIN = X1
ELSE
GOLDEN = F2
XMIN = X2
ENDIF
RETURN
END
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
3.3 Subprogram: BRENT
BRENT adalah subprogram yang menggunakan kombinasi metode
Pencarian Rasio Emas dan Interpolasi Kuadratik. Brent sangat terkenal
dalam membuat perangkat lunak untuk mencari akar dari suatu
persamaan satu variabel. Perangkat lunaknya sangat efisien dan hampir
selalu berhasil mendapatkan akar tersebut. Keberhasilannya tersebut
diaplikasikan kepada pencarian titik minimum dari suatu fungsi tujuan.
Perangkat lunak ini menggunakan teknik pencarian Rasio Emas
dengan pertimbangan bahwa teknik ini akan selalu mendapatkan nilai
minimum dari fungsi tujuan, tetapi membutuhkan waktu yang lama.
Teknik interpolasi kuadratik dipergunakan disini dengan pertimbangan
akan kecepatannya mendapatkan titik minimum. Kecepatan ini didapat
karena di daerah sekitar titik optimum, lengkung fungsinya pada
umumnya mendekati kurva parabolis.
Walaupun pada dasarnya teknik yang dipakai cukup sederhana,
tetapi dalam kenyataannya subroutine-nya tidak mudah diikuti karena
adanya langkah-langkah tambahan untuk menghindari setiap kesulitan
numeris yang mungkin terjadi dalam pencarian nilai minimum tersebut.
Listing program disajikan di bawah ini.
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
FUNCTION BRENT (AX, BX, CX, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK)
C----------------------------------------------------------------------C
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-5
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
C Given a function F, and given a bracketing triplet of abscissas
C AX, BX, CX (such that BX is between AX and CX, and F(BX) is less
C than both F(AX) and F(CX)). This routine isolates the minimum, to
C a fractional precision about TOL using Brent's method.
C The abscissa of the minimum is returned as XMIN, and
C the minimum function value is returned as BRENT, the returned
C function value.
C
C----------------------------------------------------------------------C Golden ratio; and a small number which protects against trying
C fractional accuracy for a minimum that happens to be exactly zero.
PARAMETER (CGOLD=0.381966, ZEPS=1.0E-10)
LOGICAL OK
C A and B must be in ascending order, though the input abscissa
C need not be
A = MIN(AX,CX)
B = MAX(AX,CX)
C ... initialization ...
V = BX
W = V
X = V
C This will be distance moced on the step before last.
E = 0.0
FX = F(X)
FV = FX
FW = FX
C Main loop
DO ITER = 1, ITMAX
XM = 0.5*(A+B)
TOL1 = TOL*ABS(X)+ZEPS
TOL2 = 2.0*TOL1
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C Test for done here
IF (ABS(X-XM).LE.(TOL2-0.5*(B-A))) GOTO 300
C Construct a trial parabolic fit
IF (ABS(E).GT.TOL1) THEN
R = (X-W)*(FX-FV)
Q = (X-V)*(FX-FW)
P = (X-V)*Q-(X-W)*R
Q = 2.0*(Q-R)
IF (Q.GT.0.0) P = -P
Q = ABS(Q)
ETEMP = E
E = D
IF ( ABS(P).GE.ABS(0.5*Q*ETEMP) .OR. P.LE.Q*(A-X) .OR.
1 P.GE.Q*(B-X) ) GOTO 100
C The above conditions determine the acceptability of the
C parabolic fit.
C Here it is o.k. Take the parabolic step
D = P/Q
U = X+D
IF (U-A.LT.TOL2 .OR. B-U.LT.TOL2) D = SIGN(TOL1,XM-X)
C Skip over the golden section step
GOTO 200
ENDIF
C We arrive here for a golden section step, which we take
C into the larger of the two segments
100 IF (X.GE.XM) THEN
E = A-X
ELSE
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-6
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
E = B-X
ENDIF
C Take the golden section step
D = CGOLD*E
C Arrive here with D computed either from parabolic fit,
C or else from the golden section step
200 IF (ABS(D).GE.TOL1) THEN
U = X+D
ELSE
U = X+SIGN(TOL1,D)
ENDIF
C This is the one function evaluation per iteration.
FU = F(U)
C ... and now we have to decide what to do with our
C function evaluation. Housekeeping follows
IF (FU.LE.FX) THEN
IF (U.GE.X) THEN
A = X
ELSE
B = X
ENDIF
V = W
FV = FW
W = X
FW = FX
X = U
FX = FU
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
ELSE
IF (U.LT.X) THEN
A = U
ELSE
B = U
ENDIF
IF (FU.LE.FW .OR. W.EQ.X) THEN
V = W
FV = FW
W = U
FW = FU
ELSE IF (FU.LE.FV .OR. V.EQ.X .OR. V.EQ.W) THEN
V = U
FV = FU
ENDIF
C Done with housekeeping. Back for another iteration.
ENDIF
ENDDO
OK = .FALSE.
GOTO 400
C Arrive
300 OK =
400 XMIN
BRENT =
here ready to exit with best values
.TRUE.
= X
FX
RETURN
END
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-7
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
3.4 Subprogram: DBRENT
DBRENT merupakan modifikasi dari BRENT dengan menambahkan
informasi derivasi pertama untuk mencari nilai minimum fungsi tujuan.
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
FUNCTION DBRENT (AX, BX, CX, F, DF, TOL, XMIN, ITMAX, OK)
C----------------------------------------------------------------------C
C Given a function F, and given a bracketing triplet of abscissas
C AX, BX, CX (such that BX is between AX and CX, and F(BX) is less
C than both F(AX) and F(CX)). This routine isolates the minimum, to
C a fractional precision about TOL using a modification of Brent's
C method that uses derivatives.
C The abscissa of the minimum is returned as XMIN, and
C the minimum function value is returned as DBRENT, the returned
C function value.
C
C----------------------------------------------------------------------C A small number which protects against trying fractional accuracy
C for a minimum that happens to be exactly zero.
PARAMETER (ZEPS=1.0E-10)
LOGICAL OK1, OK2, OK
C A and B must be in ascending order, though the input abscissa
C need not be
A = MIN(AX,CX)
B = MAX(AX,CX)
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C ... initialization ...
V = BX
W = V
X = V
C This will be distance moved on the step before last.
E = 0.0
FX = F(X)
FV = FX
FW = FX
C All our housekeeping chores are doubled by the necessity of
C moving derivative values as well as function values
DX = DF(X)
DV = DX
DW = DX
C Main loop
DO ITER = 1, ITMAX
XM = 0.5*(A+B)
TOL1 = TOL*ABS(X)+ZEPS
TOL2 = 2.0*TOL1
C Test for done here
IF (ABS(X-XM).LE.(TOL2-0.5*(B-A))) GOTO 300
IF (ABS(E).GT.TOL1) THEN
C Initialize these D's to an out-of-bracket value
D1 = 2.0*(B-A)
D2 = D1
C Secant method
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-8
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
IF (DW.NE.DX) D1 = (W-X)*DX/(DX-DW)
C Secant method with the other stored point
IF (DV.NE.DX) D2 = (V-X)*DX/(DX-DV)
C Which of these two estimates of D shall we take?
C We will insist that they be within the bracket,
C and on the side pointed to by the derivative at X:
U1 = X+D1
U2 = X+D2
OK1 = ((A-U1)*(U1-B).GT.0.0) .AND. (DX*D1.LE.0.0)
OK2 = ((A-U2)*(U2-B).GT.0.0) .AND. (DX*D2.LE.0.0)
C Movement on the step before last
OLDE = E
E = D
C Take only an acceptable D, and if both are acceptable,
C take the smallest one.
IF (.NOT.(OK1.AND.OK2)) THEN
GOTO 100
ELSE IF (OK1.AND.OK2) THEN
IF (ABS(D1).LT.ABS(D2)) THEN
D = D1
ELSE
D = D2
ENDIF
ELSE IF (OK1) THEN
D = D1
ELSE
D = D2
ENDIF
IF (ABS(D).GT.ABS(0.5*OLDE)) GOTO 100
U = X+D
IF (U-A.LT.TOL2 .OR. B-U.LT.TOL2) D = SIGN(TOL1, XM-X)
GOTO 200
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
ENDIF
C Decide which segment by the sign of the derivative
100 IF (DX.GE.0.) THEN
E = A-X
ELSE
E = B-X
ENDIF
C Take bisect, NOT the golden section step
D = 0.5*E
C Arrive here with D computed either from parabolic fit,
C or else from the golden section step
200 IF (ABS(D).GE.TOL1) THEN
U = X+D
FU = F(U)
ELSE
U = X+SIGN(TOL1,D)
FU = F(U)
C If the minimum step in the downhill direction
C takes us uphill, then we are done
IF (FU.GT.FX) GOTO 300
ENDIF
C Now all the housekeeping, sigh.
DU = DF(U)
IF (FU.LE.FX) THEN
IF (U.GE.X) THEN
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-9
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
A = X
ELSE
B = X
ENDIF
V = W
FV = FW
DV = DW
W = X
FW = FX
DW = DX
X = U
FX = FU
DX = DU
ELSE
IF (U.LT.X) THEN
A = U
ELSE
B = U
ENDIF
IF (FU.LE.FW .OR. W.EQ.X) THEN
V = W
FV = FW
DV = DW
W = U
FW = FU
DW = DU
ELSE IF (FU.LE.FV .OR. V.EQ.X .OR. V.EQ.W) THEN
V = U
FV = FU
DV = DU
ENDIF
C Done with housekeeping. Back for another iteration.
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
ENDIF
ENDDO
OK = .FALSE.
GOTO 400
C Arrive here ready to exit with best values
300 OK = .TRUE.
400 XMIN = X
DBRENT = FX
RETURN
END
3.5 Program Utama
Dalam program utama ketiga subprogram pertama dikombinasikan
untuk menyelesaikan beberapa fungsi tujuan. Program utama sangat
pendek dan mudah diikuti sehingga peserta penataran diharapkan dapat
mengubahnya sesuai dengan kebutuhan, Subprogran DBRENT tidak
dikombinasikan dalam program utama untuk memberi kesempatan pada
para peserta penataran mengkombinasikan sendiri.
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
C
C Program untuk menghitung minimum dari suatu fungsi satu variabel.
C Kecuali MAIN program serta F & DF, semua subprogram diambil dari
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-10
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
C "NUMERICAL RECIPES The Art of Scientific Computing"
C oleh
C William H. Press
C Brian P. Flannery
C Saul A. Teukolsky
C William T. Vetterling
C
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
PROGRAM Minimisasi
C0---6----1---------2---------3---------4---------5---------6---------77
EXTERNAL F, DF
LOGICAL OK
COMMON /PILIHAN/IPILIH
C -----------------------------------------------------------C TENTUKAN ITERASI MAXIMUM YANG AKAN DIPAKAI DALAM PROGRAM INI
C -----------------------------------------------------------WRITE (*,'(A,$)') ' Iterasi maximum yang dipakai : '
READ (*,*) ITMAX
ITMAX = ABS(ITMAX)
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C ---C MENU
C ---150 WRITE (*,*)
WRITE (*,*) '************************************'
WRITE (*,*) '* Pilih salah satu fungsi: *'
WRITE (*,*) '* *'
WRITE (*,*) '* 1. f(x) = -x(1.5-x) *'
WRITE (*,*) '* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *'
WRITE (*,*) '* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *'
WRITE (*,*) '* 4. f(x) = e^x - x *'
WRITE (*,*) '* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *'
WRITE (*,*) '* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *'
WRITE (*,*) '* *'
WRITE (*,*) '************************************'
C ---------------------------------------------C CATAT FUNGSI YANG DIPILIH OLEH PEMAKAI PROGRAM
C ---------------------------------------------200 WRITE (*,'(A,$)') ' Pilihan anda : '
READ (*,*) IPILIH
IF (IPILIH.LT.1 .OR. IPILIH.GT.6) THEN
WRITE (*,*)
WRITE (*,*) 'Pilihan anda harus di antara 1 s/d 6'
GOTO 200
ENDIF
C --------------------------------------C JIKA PEMAKAI BOSAN ... QUIT THE PROGRAM
C --------------------------------------IF (IPILIH.EQ.6) GOTO 900
C ------------------------------C CATAT KETELITIAN YANG DIGUNAKAN
C ------------------------------WRITE (*,'(A,$)') ' Ketelitian : '
READ (*,*) TOL
C Jika pemakai memasukkan nilai negatif, ubah menjadi positif.
TOL = ABS(TOL)
C -----------------------------------------------------C BACA TITIK YANG BERADA PADA SEBUAH LERENG SUATU FUNGSI
C -----------------------------------------------------WRITE (*,'(A,$)') ' X titik lereng: '
READ (*,*) AX
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-11
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
C -------------------------------------------------------------C PERKIRAKAN LAGI SEBUAH TITIK YANG BERADA PADA LERENG YANG SAMA
C -------------------------------------------------------------BX = AX + 10.0*TOL
C ------------------------C PENGURUNGAN TITIK MINIMUM
C ------------------------CALL MNBRAK (AX, BX, CX, FA, FB, FC, F, ITMAX, OK)
IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** MNBRAK melebihi iterasi maximum'
WRITE (*,*)
WRITE (*,*) 'Interval minimum: [',AX,'] [',BX,'] [',CX,']'
WRITE (*,*) 'Nilai fungsinya : [',FA,'] [',FB,'] [',FC,']'
WRITE (*,*)
C ----------------------C SIMPAN INTERVAL MINIMUM
C ----------------------A = AX
B = BX
C = CX
C -----------------C JUDUL DARI JAWABAN
C -----------------WRITE (*,*) '-------------------------------------'
WRITE (*,*) 'Metode Xmin F(Xmin)'
WRITE (*,*) '-------------------------------------'
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
C -------------------------C HITUNGAN DENGAN RASIO EMAS
C -------------------------FMIN = GOLDEN (A, B, C, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK)
WRITE (*,*) 'Rasio Emas ', XMIN, FMIN
IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** MNBRAK melebihi iterasi maximum'
C ----------------------------------------------------C GUNAKAN INTERVAL YANG SAMA UNTUK HITUNGAN SELANJUTNYA
C ----------------------------------------------------A = AX
B = BX
C = CX
C -------------------------C HITUNGAN DENGAN CARA BRENT
C -------------------------FMIN = BRENT (A, B, C, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK)
WRITE (*,*) 'Brent ', XMIN, FMIN
IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** BRENT melebihi iterasi maximum'
C ----------------------------------------------------C GUNAKAN INTERVAL YANG SAMA UNTUK HITUNGAN SELANJUTNYA
C ----------------------------------------------------A = AX
B = BX
C = CX
C ------------------------------------------C HITUNGAN DENGAN CARA BRENT DENGAN DERIVATIF
C ------------------------------------------FMIN = DBRENT (A, B, C, F, DF, TOL, XMIN, ITMAX, OK)
WRITE (*,*) 'Brent plus', XMIN, FMIN
IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** DBRENT melebihi iterasi maximum'
C -------------------C PENUTUP DARI JAWABAN
C -------------------WRITE (*,*) '-------------------------------------'
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-12
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
C --------------------------------C PAUSE, AGAR HASIL DAPAT DINIKMATI
C --------------------------------PAUSE '... tekan kunci: RETURN'
GOTO 150
900 STOP 'The job was well done sir ! Good luck !'
END
3.6 Subprogram F
Didalam subprogram F ini didefinisikan contoh-contoh fungsi
tujuan. Didalam subprogram ini variabel IPILIH didefinisikan didalam
program utama.
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
FUNCTION F (X)
C----------------------------------------------------------------------C
C Definisi fungsi dengan pilihannya ditentukan dari program utama
C
C----------------------------------------------------------------------C ---------------------------------C GUNAKAN PILIHAN DALAM MAIN PROGRAM
C ---------------------------------COMMON /PILIHAN/IPILIH
C ---------------------------C GUNAKAN FUNGSI YANG TERPILIH
C ---------------------------GOTO (1,2,3,4,5) IPILIH
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
1 F = -X*(1.5-X)
RETURN
2 F = X**5 -5.0*X**3 - 20.0*X + 5.0
RETURN
3 F = -720.0 + 12.0/X + 108.0*X
RETURN
4 F = EXP(X) - X
RETURN
5 F = -4.0*X**3 + 7.0*X**2 + 4.0*X - 6.0
RETURN
END
3.7 Subprogram DF
Didalam subprogram DF ini didefinisikan derivasi dari fungsi tujuan
yang didefinisikan di subprogram F. Didalam subprogram ini variabel
IPILIH didefinisikan didalam program utama.
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-13
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77
FUNCTION DF (X)
C----------------------------------------------------------------------C
C Definisi derivasi fungsi dengan pilihannya ditentukan
C dari program utama
C
C----------------------------------------------------------------------C ---------------------------------C GUNAKAN PILIHAN DALAM MAIN PROGRAM
C ---------------------------------COMMON /PILIHAN/IPILIH
C ---------------------------C GUNAKAN FUNGSI YANG TERPILIH
C ---------------------------GOTO (1,2,3,4,5) IPILIH
1 DF = -1.5 + 2.0*X
RETURN
2 DF = 5.0*X**4 - 15.0*X**2 - 20.0
RETURN
3 DF = - 12.0/X**2 + 108.0
RETURN
4 DF = EXP(X) - 1
RETURN
5 DF = -12.0*X**2 + 14.0*X + 4.0
RETURN
END
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
3.8 Contoh Hasil
Beberapa contoh hasil dari eksekusi program utama disajikan di
bawah ini.
Iterasi maximum yang dipakai : 1000
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 1
Ketelitian : 1.E-7
X titik lereng: 10
Interval minimum: [ 9.185240 ] [ 0.7424081 ] [ -12.91838 ]
Nilai fungsinya : [ 70.59077 ] [ -0.5624424 ] [ 186.2621 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
-------------------------------------
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-14
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Rasio Emas 0.7501726 -0.5625000
Brent 0.7501317 -0.5625000
Brent plus 0.7500000 -0.5625000
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 2
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: 10
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Interval minimum: [ 10.00000 ] [ 10.00000 ] [ 10.00000 ]
Nilai fungsinya : [ 94805.00 ] [ 94805.00 ] [ 94805.00 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 10.00000 94805.00
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent 10.00000 94805.00
Brent plus 10.00000 94805.00
-------------------------------------
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 2
Ketelitian : 1.E-6
X titik lereng: 2
Interval minimum: [ 2.000095 ] [ 2.000164 ] [ 2.000275 ]
Nilai fungsinya : [ -43.00000 ] [ -43.00000 ] [ -43.00000 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 2.000097 -43.00000
Brent 2.000140 -43.00000
Brent plus 2.000097 -43.00000
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-15
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 3
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: 0.0001
Interval minimum: [ 0.3037111 ] [ 0.3315563 ] [ 0.3374541 ]
Nilai fungsinya : [ -647.6880 ] [ -647.9990 ] [ -647.9946 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 0.3330266 -648.0000
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent 0.3331557 -648.0000
*** BRENT melebihi iterasi maximum
Brent plus 0.3333333 -648.0000
*** DBRENT melebihi iterasi maximum
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 2
Ketelitian : 1.E-6
X titik lereng: 0.00001
Interval minimum: [ 0.8319921 ] [ 1.503763 ] [ 2.590710 ]
Nilai fungsinya : [ -14.12076 ] [ -34.38809 ] [ -17.04929 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 1.999805 -43.00000
Brent 2.000001 -43.00000
Brent plus 1.999998 -43.00000
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 4
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: 0
Interval minimum: [ 1.3623823E-04] [ 2.2053809E-04] [ 3.5693811E-04]
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-16
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Nilai fungsinya : [ 1.000000 ] [ 1.000000 ] [ 1.000000 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 1.3623825E-04 1.000000
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent 3.3703781E-04 1.000000
Brent plus 1.3623839E-04 1.000000
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 4
Ketelitian : 1.E-7
X titik lereng: 0
Interval minimum: [ 1.9738701E-04] [ 3.2037889E-04] [ 5.1938393E-04]
Nilai fungsinya : [ 1.000000 ] [ 1.000000 ] [ 1.000000 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 1.9738702E-04 1.000000
Brent 2.7340036E-04 1.000000
Brent plus 1.9738724E-04 1.000000
-------------------------------------
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 4
Ketelitian : 1.E-7
X titik lereng: -2
Interval minimum: [ -1.995917 ] [ -1.598671 ] [ 3.562356 ]
Nilai fungsinya : [ 2.131806 ] [ 1.800836 ] [ 31.68378 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas -3.4528683E-04 1.000000
Brent -1.1883662E-05 1.000000
Brent plus -9.5139882E-11 1.000000
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-17
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: 10
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Interval minimum: [ 10.00000 ] [ 10.00000 ] [ 10.00000 ]
Nilai fungsinya : [ -3266.000 ] [ -3266.000 ] [ -3266.000 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 10.00000 -3266.000
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent 10.00000 -3266.000
Brent plus 10.00000 -3266.000
-------------------------------------
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
Ketelitian : 1.E-7
X titik lereng: -10
Interval minimum: [ 1.2998976E+38] [ 2.1032786E+38] [ INF ]
Nilai fungsinya : [ -INF ] [ -INF ] [ NAN(255) ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas INF NAN(255)
Brent 1.2998978E+38 -INF
Brent plus 2.1032786E+38 -INF
*** DBRENT melebihi iterasi maximum
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-18
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
Ketelitian : 1.E-7
X titik lereng: 100
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Interval minimum: [ 100.0000 ] [ 100.0000 ] [ 100.0000 ]
Nilai fungsinya : [ -3929606. ] [ -3929606. ] [ -3929606. ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas 100.0000 -3929606.
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent 100.0000 -3929606.
Brent plus 100.0000 -3929606.
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: -100
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Interval minimum: [ -100.0000 ] [ -100.0000 ] [ -100.0000 ]
Nilai fungsinya : [ 4069594. ] [ 4069594. ] [ 4069594. ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas -100.0000 4069594.
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent -100.0000 4069594.
Brent plus -100.0000 4069594.
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: -2
Interval minimum: [ -1.983102 ] [ -0.8338270 ] [ 1.025739 ]
Nilai fungsinya : [ 44.79218 ] [ -2.149505 ] [ 1.151054 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas -0.2376102 -6.501570
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-19
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent -0.2374042 -6.501570
*** BRENT melebihi iterasi maximum
Brent plus -0.2374048 -6.501570
*** DBRENT melebihi iterasi maximum
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
Ketelitian : 1.E-8
X titik lereng: -1
Interval minimum: [ -0.8247265 ] [ -0.3986694 ] [ 0.2907054 ]
Nilai fungsinya : [ -2.293861 ] [ -6.228663 ] [ -4.343880 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas -0.2376102 -6.501570
*** MNBRAK melebihi iterasi maximum
Brent -0.2374176 -6.501570
*** BRENT melebihi iterasi maximum
Brent plus -0.2374048 -6.501570
*** DBRENT melebihi iterasi maximum
-------------------------------------
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 5
Ketelitian : 1.E-7
X titik lereng: -1
Interval minimum: [ -0.9834749 ] [ -0.4190033 ] [ 0.4943310 ]
Nilai fungsinya : [ 0.6416185 ] [ -6.152820 ] [ -2.795319 ]
------------------------------------Metode Xmin F(Xmin)
------------------------------------Rasio Emas -0.2376102 -6.501570
Brent -0.2374140 -6.501570
Brent plus -0.2374048 -6.501570
------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN
************************************
* Pilih salah satu fungsi: *
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-20
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
* *
* 1. f(x) = -x(1.5-x) *
* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *
* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *
* 4. f(x) = e^x - x *
* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *
* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *
* *
************************************
Pilihan anda : 6
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
STOP The job was well done sir ! Good luck !
PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI
hal. 3-21
DAFTAR PUSTAKA
Canter, Larry W., 1977, “Environmental Impact Assessment,” McGraw–
Hill Book Company, New York.
Daellenbach, Hans G., John A. George, Donald C. McNickle, 1983,
“Introduction to Operations Research Techniques,” Second Edition,
Allyn and Bacon, Inc., Boston.
Gillet, Billy E., 1979, “Introduction to Operations Research, A ComputerOriented Algoritmic Approach,” Tata McGraw–Hill Publishing
Company Ltd, New Delhi.
Haimes, Yacov Y., 1977, “Hierarchical Analyses of Water Resources
Systems, Modeling and Optimization of Large–Scale Systems,”
McGraw–Hill Series in Water Resources and Environmental
Engineering, McGraw–Hill International Book Company, New York.
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Haith, Douglas A., 1982, “Environmental Systems Optimization,” John
Wiley & Son, New York.
Loucks, Daniel P., Jery R. Stedinger, Douglas A. Haith, 1981, “Water
Resource Systems Planning and Analysis,” Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey 07632.
Press, William H., Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, 1987, “Numerical
Recipes The Art of Scientific Computing,” Cambridge University
Press, Cambridge, New York.
Rao, S.S., 1977, “Optimization Theory and Applications,” Wiley Eastern
Limited, New Delhi.
Swokowski, Earl W., 1983, “Calculus with Analytic Geometry,” Alternate
Edition, Prindle, Weber & Schmidt, Boston, Massachusetts.
DAFTAR PUSTAKA
A
Djoko Luknanto
Pengantar Optimasi Non-linier
namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb)
Wolfram, Stephen, 1988, “Mathematica™ – A System for Doing
Mathematics by Computer,” Addison-Wesley Publishing Company,
Inc., The Advanced Book Program, Redwood City, California.
DAFTAR PUSTAKA
B