Pengantar OPTIMASI NO namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Li ier 1 0.5 0 -0.5 -1 0 3 2 1 1 2 30 oleh Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Peneliti di Laboratorium Hidraulika Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada Mei 2000 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) PRAKATA Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Optimasi yang dilakukan oleh masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Dalam bidang kerekayasaan optimasi sangat dibutuhkan, sering kita dihadapkan pada persoalan mencari penyelesaian termurah dengan memenuhi segala kendala yang ada. Untuk memiliki teknologi optimasi, seorang perencana perlu mendalami teknik-teknik optimasi baik yang sederhana untuk mendapatkan pengertian mendasar maupun yang canggih untuk menyelesaikan permasalahan nyata di lapangan. Topik mengenai optimasi di negara-negara berkembang merupakan bidang keahlian tersendiri yang membutuhkan waktu yang tidak sedikit untuk mendalaminya. Riset-riset mengenai optimasi masih terus berlanjut sampai sekarang sehingga banyak temuan teknik baru yang lebih canggih dan efisien. Bahan penataran ini dimaksudkan untuk memberikan pengenalan dan penyegaran mengenai teknik optimasi, khususnya optimasi nonlinier. Pada kuliah ini untuk topik optimasi nonlinier tersedia waktu tujuh kali pertemuan masing-masing 100 menit. Dalam waktu sesingkat itu penyusun berusaha untuk mengenalkan optimasi nonlinier secara garis besar seefisien mungkin, sehingga ide dasar mengenai optimasi nonlinier dapat dipahami. Beberapa teknik numeris akan dijelaskan pula sehingga berguna untuk penyelesaian permasalahan di lapangan. Bahan kuliah ini merupakan terjemahan bebas dari beberapa pustaka yang digunakan untuk menyusun bahan kuliah ini. Penyusun berharap bahan penataran ini berguna. Kritik membangun sangatlah diharapkan agar bahan kuliah makin sempurna. Yogyakarta, Mei 2000 Penyusun Djoko Luknanto PRAKATA hal. ii DAFTAR ISI namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) halaman HALAMAN JUDUL .............................................................................................i 1. METODE OPTIMASI ANALITIS .......................................................... 1-1 1.1 Satu Variabel tanpa Kendala ........................................................ 1-1 1.2 Multi Variabel Tanpa Kendala ..................................................... 1-7 1.3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan............................. 1-12 1.4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan .................. 1-17 2. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI.................................. 2-1 2.1 Teknik Eliminasi............................................................................. 2-2 2.1.1 Pencarian bebas..................................................................... 2-2 2.1.1.1 Dengan langkah tetap. ........................................... 2-2 2.1.1.2 Dengan percepatan langkah. ................................ 2-3 2.1.2 Pencarian lengkap................................................................. 2-5 2.1.3 Pencarian Dikotomi .............................................................. 2-7 2.1.4 Pencarian Fibonacci ............................................................ 2-10 2.1.5 Pencarian Rasio Emas ........................................................ 2-12 2.2 Teknik Pendekatan....................................................................... 2-16 2.2.1 Metode Newton (Kuadratik)............................................. 2-16 3. PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI ........................ 3-1 3.1 Subprogram: MNBRAK ................................................................ 3-1 3.2 Subprogram: GOLDEN ................................................................. 3-4 3.3 Subprogram: BRENT ..................................................................... 3-5 3.4 Subprogram: DBRENT .................................................................. 3-8 3.5 Program Utama ............................................................................ 3-10 3.6 Subprogram F ............................................................................... 3-13 3.7 Subprogram DF ............................................................................ 3-13 3.8 Contoh Hasil ................................................................................. 3-14 DAFTAR ISI hal. iii DAFTAR TABEL halaman Tabel 1.1. Syarat untuk Maximum Lokal....................................................... 1-9 Tabel 1.2. Syarat untuk Minimum Lokal ....................................................... 1-9 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Tabel 2.1. Lebar Interval pada Pencarian Dikotomi..................................... 2-8 DAFTAR TABEL hal. iv DAFTAR GAMBAR halaman Gambar 1.1. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM ............................................................................................ 1-4 Gambar 1.2. Grafik dari V(x), V'(x), dan V"(x) .............................................. 1-5 Gambar 1.3. Plot dari f ( x) = 12 x 5 − 45 x 4 + 40 x 3 + 5 .................................... 1-6 Gambar 1.4. Plot dari f ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 + 2 x1 + 4 x 2 + 6 ....................... 1-11 3 3 2 2 Gambar 2.1. Bagan alir “Pencarian Percepatan Langkah”.......................... 2-4 Gambar 2.2. Teknik Pencarian Bebas Lengkap............................................. 2-6 Gambar 2.3. Pencarian Dikotomi .................................................................... 2-8 Gambar 2.4. Pencarian Fibonacci .................................................................. 2-11 Gambar 2.5. Pencarian Rasio Emas .............................................................. 2-13 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Gambar 2.6. Metode Newton ........................................................................ 2-17 DAFTAR GAMBAR hal. v 1. METODE OPTIMASI ANALITIS Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya, contohnya adalah sebagai berikut: Max f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 − x1 + 9 x2 − x2 + 10 x3 − 2 x3 − 0,5 x2 x3 2 kendala 2 2 (1.1) 4 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 2 x1 + 4 x2 + x3 ≤ 20 x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x3 ≥ 0 Penyelesaian permasalahan optimasi nonlinier — seperti contoh di atas — secara analitis akan dijelaskan secara rinci dalam bab berikut. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 1.1 Satu Variabel tanpa Kendala Optimasi nonlinier ditinjau dari pandangan matematis adalah topik lanjutan dan secara konsepsual sulit. Dibutuhkan pengetahuan aktif mengenai kalkulus diferensial dan aljabar linier. Dalam optimasi nonlinier terdapat kemampuan untuk menangani masalah sulit yaitu fungsi tujuan nonlinier yang tidak mempunyai nilai minimum yang unik serta mempunyai daerah penyelesaian dengan batas nonlinier ataupun tidak konvex. Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik, tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cerah dibandingkan dengan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi nonlinier yang hanya efisien untuk menyelesaikan masalah yang mempunyai struktur matematis tertentu. Hampir semua teknik optimasi nonlinier modern mengandalkan pada algoritma numeris untuk mendapatkan jawabannya. Sangatlah tidak mungkin untuk mendiskusikan teknik-teknik optimasi lanjutan dengan rinci karena diperlukannya pengetahuan matematis canggih dalam waktu yang singkat. Pada penataran hanya akan dikenalkan konsep-konsep dasar pembentuk algoritma-algoritma modern beserta penggunaannya secara sederhana. Dalam kesederhanaannya ini dimaksudkan agar konsep dasarnya lebih mudah difahami. METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-1 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Untuk memulai topik optimasi nonlinier akan dibahas teknik optimasi pada fungsi-funsi satu dimensi, karena teknik ini merupakan satu kesatuan dalam hampir setiap teknik optimasi nonlinier multi variabel. Dimisalkan x adalah variabel penentu dan f(x) adalah fungsi tujuan dari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah Maximumkan f ( x ) atau Minimumkan f ( x) x (1.2) x Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera dalam Pers.(1.2) dapat dipakai kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawah ini: Teorema: Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b). (i) Jika f’(x) > 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menanjak pada [a,b]. (ii) Jika f’(x) < 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menurun pada [a,b]. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Test derivasi pertama: Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang berada didalam (a,b). (i) Jika f’(x) > 0 untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f. (ii) Jika f’(x) < 0 untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalah sebuah lokal minimum dari f. (iii) Jika f’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b) kecuali x = c, maka f(c) BUKAN sebuah nilai ekstrim. METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-2 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Test derivasi kedua: Misalkan f adalah fungsi yang dapat diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik c dan f’(c) = 0, (i) Jika f”(c) < 0, maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f. (ii) Jika f”(c) > 0, maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f. Agar terdapat gambaran yang lebih jelas bagaimana optimasi satu variabel/dimensi dilaksanakan, maka disajikan satu contoh pemakaiannya. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Contoh 1.1 Sebuah perusahaan catering (makanan ringan yang menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTS FT UGM) berusaha mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton seperti tampak pada Gambar 1.1. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa sehingga volumenya menjadi maksimum. Penyelesaian: Sebagai peserta penataran yang baik, maka kita akan menyelesaikan tantangan di atas dengan metode kalkulus seperti yang telah dijelaskan di atas. Volume pembungkus dapat dinyatakan sebagai V = x(16 − 2 x)(21 − 2 x) = 2(168 x − 37 x 2 + 2 x 3 ) Persamaan di atas merupakan persamaan volume sebagai fungsi dari x. Untuk mendapatkan nilai volume yang maksimum atau minimum, kita harus mengadakan beberapa perhitungan. Derivasi V terhadap x menghasilkan dV = 2(168 − 74 x + 6 x 2 ) dx = 4(84 − 37 x + 3 x 2 ) = 4(3x − 28)( x − 3) METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-3 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier L = 21 cm 21-2x x x x 16-2x L = 16 cm x Gambar 1.1. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM Dari persamaan di atas nilai x yang mungkin mengakibatkan volumenya namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) menjadi ekstrim adalah 28 3 dan 3. Nilai x = 28 3 adalah tidak mungkin (kenapa ya …?), jadi nilai x yang dipakai adalah 3. Pada Gambar 1.2 disajikan plot dari volume sebagai fungsi dari x beserta derivasi pertama dan keduanya. Untuk mengetahui apakah volume menjadi maksimum atau minimum kita gunakan Test Derivasi kedua sbb: d 2V = 2(−74 + 12 x) = 4(6 x − 37) dx 2 Substitusi x = 3 kedalam persamaan di atas menghasilkan d 2V = 4(18 − 37) = −76 < 0 dx 2 jadi V mempunyai nilai maksimum untuk nilai x = 3. Sekarang harus kita check apakah volume menjadi maksimum pada nilai ekstrim dari x. Tampak dari Gambar 1.1, bahwa 0 ≤ x ≤ 8, karena untuk nilai x = 0 maupun x = 8 nilai V = 0, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa volume maksimum tidak terjadi pada daerah batas. Jadi untuk METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-4 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier menghemat bahan, maka pembungkus makanan ringan di atas harus dipotong berbentuk segi empat pada keempat pojoknya dengan sisisisinya adalah 3 satuan. y y=V(x) 400 300 200 y=V’(x) 100 0 -100 2 3 4 x 6 y=V’’(x) Gambar 1.2. Grafik dari V(x), V'(x), dan V"(x) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Secara formal dalam teknik optimasi persoalan di atas dapat ditulis sebagai berikut: Maximumkan f = 2(168 x − 37 x 2 + 2 x 3 ) 0≤ x≤8 Dari contoh di atas tampak bahwa dengan cara analitis kalkulus diferensial nilai x yang memberikan nilai f maximum dapat dicari tanpa mengetahui nilai dari f itu sendiri. Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang telah dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel. Teorema: Misalkan f’(c) = f”(c) = … = f(n-1)(c) = 0, tetapi f(n)(c) • 0. Maka f(c) adalah: (i) nilai minimum dari f(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap, METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-5 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier nilai maximum dari f(x), jika f(n)(c) < 0 dan n adalah bilangan genap, (iii) bukan minimum dan maximum jika n adalah bilangan gasal. (ii) Contoh 1.2 Tentukan maximum dan minimum dari fungsi di bawah ini (lihat Gambar 1.3): f ( x) = 12 x 5 − 45 x 4 + 40 x 3 + 5 Penyelesaiannya: Karena f ′( x) = 60( x 4 − 3x 3 + 2 x 2 ) = 60 x 2 ( x − 1)( x − 2) , maka f ′( x) = 0 , pada x = 0, x = 1 dan x = 2. Derivasi kedua adalah f ′′( x) = 60(4 x 3 − 9 x 2 + 4 x) y 40 30 y=f(x) 20 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Maximu 10 x Titik belok - 0,5 1 1,5 2 2,5 - 10 Minimu Gambar 1.3. Plot dari f ( x) = 12 x 5 − 45 x 4 + 40 x 3 + 5 Pada x = 1, f”(x) = -60, sehingga x = 1 adalah sebuah maximum relatif yang memberikan nilai fmax = f(x=1) = 12 Pada x = 2, f”(x) = 240, sehingga x = 2 adalah sebuah minimum relatif yang memberikan nilai fmin = f(x=2) = –11 METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-6 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Pada x = 0, f”(x) = 0, sehingga harus diadakan penyelidikan pada derivasi berikutnya: f(3) = 60(12x2–18x+4) = 240 pada x = 0. Karena f(3) ≠ 0 pada x = 0, maka x = 0 bukanlah sebuah maximum maupun minimum, x = 0 adalah sebuah titik belok. 1.2 Multi Variabel Tanpa Kendala Cara analitis yang diterapkan pada permasalahan optimasi satu variabel dapat pula diterapkan kepada permasalahan multi variabel. Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi dapat digunakan dalam optimasi multi variabel. Untuk memberikan padanan dengan bab di atas dan untuk memberikan kemudahan dan kejelasan dalam penulisan persamaan, akan didefinisikan beberapa simbol yang akan dipakai selanjutnya. (i) f(x1, x2, …, xn) akan ditulis sebagai f(X) dengan X = {x1, x2, …, xn}t (ii) f(X*) = f(x1*, x2*, …, xn*) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) (iii) ∇f ( X * ) = ∂ * * * f ( x1 , x 2 ,..., x n ) untuk j = 1,2,…,n ∂x j ⎧ ∂f ∂f ∂f ⎫ (iv) ∇f(X*) = C setara dengan ⎨ , ,..., ⎬ = {c1 , c 2 ,..., c n } ∂ ∂ ∂ x x x 2 n ⎭ ⎩ 1 Teorema: Jika f(X) mempunyai sebuah titik ekstrem (minimum maupun maximum) pada X = X* dan jika derivasi pertama dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*, maka ∇f(X*) = 0 PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu jika ∇f(X*) = 0 maka X* adalah titik ekstrem. Teorema: Titik X* disebut titik maksimum lokal dari f(X) jika dan hanya jika: (i) ∇f(X*) = 0 METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-7 Djoko Luknanto (ii) Pengantar Optimasi Non-linier H(X*) < 0 definit negatif dengan H = matrik Hessian yang didefinisikan sebagai: ⎡ h11 " h1n ⎤ ∂2 f H = ⎢⎢ # % # ⎥⎥ dengan hij = ∂x i ∂x j ⎢⎣ hn1 " hnn ⎥⎦ H adalah definit negatif jika dan hanya jika (-1)j|H|j > 0 untuk j = 1,2,…,n h11 " h1 j dengan H = det # % # , sehingga h j1 " h jj j h11 h21 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) h11 < 0, h11 h21 h12 h22 h13 h23 h14 h24 h31 h32 h33 h34 h41 h42 h43 h44 h11 h12 > 0 , h21 h22 h31 h12 h13 h22 h32 h23 < 0 h33 > 0 …, dst, (-1)j|H|j > 0 Teorema: Titik X* disebut titik minimum lokal dari f(X) jika dan hanya jika: (i) ∇f(X*) = 0 (ii) H(X*) > 0 definit positif atau |H|j > 0 untuk j = 1,2,…,n, sehingga METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-8 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier h11 > 0, h11 h12 h21 h22 h11 h21 h12 h22 h13 h23 h14 h24 h31 h41 h32 h42 h33 h43 h34 h44 h11 h12 h13 > 0 , h21 h31 h22 h23 > 0 h32 h33 > 0 …, dst, |H|j > 0 Tabel 1.1. Syarat untuk Maximum Lokal Keadaan yang dipenuhi 1. ∇f(X*) = 0 2. H(X*) < 0 (definit negatif) 1. ∇f(X*) = 0 2. H(X*) ≤ 0 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 1. ∇f(X*) = 0 2. H(X*) tak tentu X* adalah maximum lokal PASTI MUNGKIN MUSTAHIL Tabel 1.2. Syarat untuk Minimum Lokal Keadaan yang dipenuhi 1. ∇f(X*) = 0 2. H(X*) > 0 (definit positif) X* adalah minimum lokal PASTI 1. ∇f(X*) = 0 2. H(X*) ≥ 0 MUNGKIN 1. ∇f(X*) = 0 2. H(X*) tak tentu MUSTAHIL Contoh 1.3 Untuk mendemonstrasikan teknik umum untuk mendapatkan titiktitik ekstrem dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh fungsi sebagai berikut: METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-9 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier f ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 + 2 x1 + 4 x 2 + 6 3 3 2 2 Titik-titik ekstrem harus memenuhi syarat: ∂f 2 = 3 x1 + 4 x1 = x1 (3 x1 + 4) = 0 ∂x1 dan ∂f 2 = 3 x 2 + 8 x 2 = x 2 (3 x 2 + 8) = 0 ∂x 2 Persamaan di atas dipenuhi oleh titik-titik (0, 0); (0, –8/3); (–4/3, 0); dan (–4/3, –8/3) Untuk mengetahui titik yang mana yang maximum dan yang mana yang minimum, harus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f adalah: ∂2 f ∂2 f ∂2 f x x = 6 + 4 = 6 + 8 =0 , , dan 1 2 2 2 ∂x1∂x 2 ∂x1 ∂x 2 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Jadi matrik Hessiannya menjadi 0 ⎤ ⎡6 x1 + 4 H=⎢ 6 x 2 + 8⎥⎦ ⎣ 0 sehingga H1 = [6x1+4] dan 0 ⎤ ⎡6 x1 + 4 H2 = ⎢ 6 x 2 + 8⎥⎦ ⎣ 0 Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik-titik ekstrem disajikan di bawah ini. (x1, x2) (0, 0) Matrix H ⎡ 4 0⎤ ⎢0 8⎥ ⎣ ⎦ H1 H2 Sifat H Sifat (x1, x2) f(x1, x2) +4 +32 Definit positip Minimum 6 METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-10 Djoko Luknanto (0, –8/3) (–4/3, 0) (–4/3, –8/3) Pengantar Optimasi Non-linier ⎡4 0 ⎤ ⎢0 − 8⎥ ⎣ ⎦ ⎡ − 4 0⎤ ⎢ 0 8⎥ ⎣ ⎦ ⎡− 4 0 ⎤ ⎢ 0 − 8⎥ ⎣ ⎦ +4 –32 Tak tentu Titik belok 418/27 –4 –32 Tak tentu Titik belok 194/27 –4 +32 Definit negatif Maximum 50/3 Grafik f(X) dalam ruang tiga-dimensi disajikan dalam Gambar 1.4. Hasil hitungan di atas diperkuat dengan visualisasi yang terlihat pada Gambar 1.4. Maximum (–4/3, –8/3) -2 -1 0 Titik belok (0, –8/3) 15 12.5 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 10 7.5 (–) Titik belok (–4/3, 0) -1 x2 (–) -0.5 x1 0 Minimum (0, 0) Gambar 1.4. Plot dari f ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 + 2 x1 + 4 x 2 + 6 3 METODE OPTIMASI ANALITIS 3 2 2 hal. 1-11 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier 1.3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(X) (1.3) kendala gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m (1.4) dengan X = {x1, x2, …, xn}t disini m ≤ n, jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Tidak seluruh teknik optimasi yang terdapat dalam pustaka akan diterangkan disini, tetapi hanya metode pengali Lagrange saja akan dibahas. Hal ini dipilih dengan pertimbangan bahwa penyelesaian optimasi secara analitis jarang dipakai pada permasalahan di lapangan yang sangat komplek. Biasanya metode yang digunakan pada saat sekarang adalah metode numeris. Oleh karena itu pada bab optimasi secara analitis ini hanya dimaksudkan untuk memberikan dasar-dasar pengertian optimasi yang disertai dengan contoh-contoh sederhana. Metode pengali Lagrange dipilih karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode pengali Lagrange dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang dirumuskan dalam Pers.(1.3) dan (1.4). Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai: m L( X, λ ) = f ( X) + ∑ λ j g j ( X) (1.5) j =1 Teorema: Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(x1,x2,…,xn, METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-12 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier λ1, λ2,…, λm)terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. Teorema: Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau maximum) relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai n ∂2L dxi dx j j =1 ∂x i ∂x j n Q = ∑∑ i =1 (1.6) dievaluasi pada X = X* harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dX yang memenuhi semua kendala. ∂2L dxi dx j menjadi definit positif (atau Syarat perlu agar Q = ∑∑ i =1 j =1 ∂xi ∂x j n n negatif) untuk setiap variasi nilai dX adalah setiap akar dari polinomial, zi, namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) yang didapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif). ( L11 − z ) L12 L21 # ( L22 − z ) # L13 L23 % Ln1 g11 g 21 # Ln 2 g12 g 22 # Ln 3 g13 g 23 # g m1 g m2 g m3 " L1n g11 " L2 n g12 " # # " ( Lnn − z ) g m1 " 0 g1n " 0 g 2n " # # " 0 g mn g 21 g 22 # g m2 0 0 # 0 " g m1 " g 2n " # " g mn =0 " 0 " 0 " # " 0 (1.7) ∂g i ( X * ) ∂ 2 L( X * , λ ) dan g ij = dengan Lij = ∂x i ∂x j ∂x j Contoh 1.4 Sebuah perusahaan pelumas ingin membuat kaleng pelumas dari seng. Kaleng berbentuk silinder dengan bahan yang terpakai seluas METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-13 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier A0 = 24π. Berapa maximum volume kaleng yang dapat dibuat dari bahan yang tersedia? Penyelesaian: Jika r dan h adalah radius dan tinggi dari kaleng tersebut, maka permasalahan di atas dapat dinyatakan sebagai: Maximumkan f(r,h) = πr h dengan kendala 2πr +2πrh = A0 = 24π 2 2 Fungsi Lagrange-nya adalah L(r,h,λ) = πr2h+λ(2πr2+2πrh-A0), dan syarat perlu untuk memaksimumkan f adalah: ∂L = 2πrh + λ (4πr + 2πh) = 0 ∂r (E.1) ∂L = πr 2 + 2πλr = 0 ∂h (E.2) ∂L = 2πr 2 + 2πrh − A0 = 0 ∂λ (E.3) Dari Pers.(E.1) dan (E.2) didapat: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) λ=− rh r h = − atau r = 2 2r + h 2 (E.4) dan Pers.(E.3) dan (E.4) menghasilkan: r* = A0 2 A0 dan λ* = − 24π 3π A0 , h* = 6π 3 Nilai di atas memberikan nilai maximum dari f = * A0 54π Jika A0 = 24π, penyelesaian optimum menghasilkan r* = 2, h* = 4, λ*= –1, dan f* = 16π. Untuk melihat apakah hasil di atas memberikan nilai maximum dari f, kita check syarat pada Pers.(1.7). ∂2L L11 = 2 ∂r = 2πh * + 4πλ* = 4π ( X* , λ * ) METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-14 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier L12 = ∂2L = L21 = 2πr * + 2πλ* = 2π ∂r ∂h ( X * , λ * ) L22 = ∂2L ∂h 2 g11 = g12 = ∂g 1 ∂r ∂g 1 ∂h =0 ( X ,λ ) * * = 4πr * + 2πh * = 16π ( X ,λ ) * * = 2πr * = 4π ( X* , λ * ) Sehingga Pers.(1.7) menjadi ( L11 − z ) L12 g11 (4π − z ) 2π 16π L21 ( L22 − z ) g12 = 0 atau 2π (0 − z ) 4π = 0 g11 16π 0 g12 4π 0 menjadi (4π − z ) (0 − z ) 4π 2π − 2π 4π 0 16π 4π 2π + 16π 0 16π (0 − z ) =0 4π namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) (4π − z )(−16π 2 ) − 2π (−64π 2 ) + 16π (8π 2 + 16πz ) = 0 − 64π 3 + 16π 2 z + 128π 3 + 128π 3 + 256π 2 z = 0 12 atau 272 π2 z + 192 π3 = 0, sehingga z = –17 π Karena nilai z adalah negatif, maka penyelesaian di atas yaitu r* = 2, h* = 4, λ*= –1 adalah penyelesaian maximum dengan nilai f* = 16π. Arti dari pengali Lagrange. Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik untuk dibahas sebagai penutup dalam bab ini. Untuk membahas ini maka dimisalkan terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: Minimumkan f = f(X) (1.8) kendala (1.9) g(X) = b METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-15 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Fungsi Lagrange-nya adalah L( X, λ ) = f ( X) + λ (b − g ( X) ) (1.10) Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah ∂L = 0 untuk i = 1, 2, …, n dan ∂x i (1.11a) ∂L =0 ∂λ (1.11b) Pers.(1.10) dan (1.11) menghasilkan: ∂f ∂g −λ = 0 untuk i = 1, 2, …, n ∂x i ∂x i (1.12a) b – g(X) = 0 atau b = g (1.12b) Dari Pers.(1.12a) didapat: ∂f ∂g dxi − λ dxi = 0 untuk i = 1, 2, …, n ∂x i ∂x i atau n ∂f ∂g dx dxi = 0 − λ ∑ ∑ i i =1 ∂x i i =1 ∂x i atau n ∂f ∂g = dxi dx λ ∑ ∑ i i =1 ∂x i i =1 ∂x i atau ∑ ∂x namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) n n n ∂g dxi = λ ∑ dxi i =1 ∂xi i =1 i   dg df n ∂f (1.13) Pers.(1.13) dan (1.12b) menghasilkan hasil yang final yaitu df = λ db atau df* = λ∗ db (1.14) Dari Pers (1.14) dapat ditarik kesimpulan bahwa: pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan, f, berbanding lurus dengan perubahan kendala, b dengan faktor sebesar pengali Lagrange, λ. METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-16 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier 1.4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala pertidak-samaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(X) dengan X = { x1, x2, …, xn}t kendala (1.15) gj(X) ≤ 0, dengan j = 1, 2, …, m Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidak-samaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack. Jadi permasalahan optimasi di atas dapat ditulis kembali sebagai: Minimumkan f = f(X) dengan X = { x1, x2, …, xn}t kendala G j ( X, Y) = g j ( X) + y j = 0 , dengan j = 1, 2, …, m dengan Y = { y1, y2, …, ym}t adalah vektor variabel slack. 2 (1.16) Permasalahan ini dapat diselesaikan metode pengali Lagrange. Untuk itu, dibentuk fungsi Lagrange sebagai berikut: m namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) L( X, Y, λ ) = f ( X) + ∑ λ j G j ( X, Y ) (1.17) j =1 Syarat perlu untuk suatu penyelesaian optimum Pers.(1.17) diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan di bawah ini. m gj ∂L ∂f ( X, Y, λ ) = ( X) + ∑ λ j ( X) = 0 , i = 1, 2, …, n ∂x i ∂x i ∂x i j =1 (1.18) ∂L 2 ( X, Y, λ ) = G j ( X, Y, λ ) = g j ( X) + y j = 0 , j = 1, 2, …, m (1.19) ∂λ j ∂L ( X, Y, λ ) = 2λ j y j = 0 , j = 1, 2, …, m ∂y j METODE OPTIMASI ANALITIS (1.20) hal. 1-17 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Teknik yang dijelaskan pada bab sebelumnya dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan Pers.(1.18) s/d (1.20). Syarat perlu agar persamaan optimasi, Pers.(1.15), mencapai titik minimumnya dapat pula dicari dengan syarat Kuhn-Tucker. Syarat ini perlu tetapi secara umum bukan merupakan syarat cukup untuk mencapai minimum. Tetapi untuk problema jenis konvex, syarat KuhnTucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebuah minimum global. Syarat Kuhn-Tucker untuk Pers.(1.15): Minimumkan f = f(X) dengan X = { x1, x2, …, xn}t kendala (1.15) gj(X) ≤ 0, dengan j = 1, 2, …, m dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut: m gj ∂f + ∑λj = 0, ∂xi j =1 ∂xi λjgj = 0, namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) gj ≤ 0, λj ≥ 0, i = 1, 2, …, n (1.21a) j = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, m (1.21b) (1.21c) (1.21d) PERHATIAN: • Jika permasalahannya adalah memaksimumkan {bukan meminimumkan seperti pada Pers.(1.15)}, maka λj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d). • Jika kendalanya adalah gj ≥ 0, maka λj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d). • Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah gj ≥ 0, maka λj ≥ 0 dalam Pers.(1.21d). Contoh 1.5 Sebuah perusahaan pembuat komputer mendapat kontrak untuk menyediakan 50 unit komputer pada akhir bulan pertama, 50 unit komputer pada akhir bulan kedua, dan 50 unit komputer pada akhir bulan ketiga. Biaya produksi x buah komputer tiap bulannya adalah x2. Perusahaan ini dapat memproduksi komputer lebih dari yang dipesan METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-18 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier dan menyimpannya di gudang untuk diserahkan pada bulan berikutnya. Biaya gudang adalah sebesar 20 satuan harga untuk tiap komputer yang disimpan dari bulan yang lalu kebulan berikutnya. Diandaikan bahwa pada permulaan pesanan di gudang tidak terdapat persediaan komputer. Tentukan jumlah produksi komputer tiap bulannya agar biaya pembuatannya minimum. Penyelesaian: Dimisalkan a, b, dan c adalah produksi komputer selama tiga bulan berurutan, maka biaya total yang harus diminimumkan adalah Biaya total = biaya produksi + biaya gudang atau f (a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2 + 20(a − 50) + 20(a + b − 100) = a 2 + b 2 + c 2 + 40a + 20b − 3000 dengan kendala: g1(a, b, c) = a – 50 ≥ 0 g2(a, b, c) = a + b – 100 ≥ 0 g3(a, b, c) = a + b + c – 150 ≥ 0 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Syarat Kuhn-Tucker–nya dapat dinyatakan sbb: ∂g ∂g ∂g ∂f + λ1 1 + λ 2 2 + λ3 3 = 0 ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i atau i = 1, 2, 3 2a + 40 + λ1 + λ2 + λ3 = 0 2b + 20 + λ2 + λ3 = 0 2c + λ3 = 0 (E.1) (E.2) (E.3) λjgj = 0 j = 1, 2, 3 atau λ1(a - 50) = 0 λ2(a + b - 100) = 0 λ3 (a + b + c - 150) = 0 atau METODE OPTIMASI ANALITIS gj ≥ 0 j = 1, 2, 3 a - 50 ≥ 0 a + b - 100 ≥ 0 (E.4) (E.5) (E.6) (E.7) (E.8) hal. 1-19 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier a + b + c - 150 ≥ 0 (E.9) λj ≤ 0 j = 1, 2, 3 λ1 ≤ 0 λ2 ≤ 0 λ3 ≤ 0 atau (E.10) (E.11) (E.12) Dari Pers.(E.4) tampak bahwa λ1 = 0 atau a = 50. Kasus (i): Jika λ1 = 0 Pers.(E.1) dan (E.3) memberikan c = −0,5λ3 ⎫ ⎪ b = −10 − 0,5λ 2 − 0,5λ3 ⎬ c = −20 − 0,5λ 2 − 0,5λ3 ⎪⎭ (E.13) Substitusi Pers.(E.13) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6), didapat λ2 (−130 − λ2 − λ3 ) = 0⎫ ⎬ λ3 (−180 − λ2 − 1,5λ3 ) = 0⎭ (E.14) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Empat kemungkinan penyelesaian Pers.(E.14) adalah (1) λ2 = 0, –180 – λ2 – 1,5λ3 = 0 atau λ2 = 0, λ3 = –120 Jadi a = 40, b = 50, c = 60 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.8). (2) –130 – λ2 – λ3 = 0, λ3 = 0, atau λ2 = –130, λ3 = 0 Jadi a = 45, b = 55, c = 0 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9). (3) λ2 = 0, λ3 = 0 Jadi a = –20, b = –10, c = 0 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9). METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-20 Djoko Luknanto (4) Pengantar Optimasi Non-linier –130 – λ2 – λ3 = 0, –180 – λ2 – 1,5λ3 = 0 atau λ2 = –30, λ3 = –100 Jadi a = 45, b = 55, c = 50 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7). Kasus (ii): Jika a = 50 Pers.(E.1) dan (E.3) memberikan λ 3 = − 2c ⎫ ⎪ λ2 = −20 − 2b − λ3 = −20 − 2b + 2c ⎬ λ1 = −40 − 2a − λ2 − λ3 = −20 − 2a + 2b = −120 + 2b ⎪⎭ (E.15) Substitusi Pers.(E.15) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6) menghasilkan (−20 − 2b + 2c)(a + b − 100) = 0⎫ ⎬ − 2c(a + b + c − 150) = 0⎭ (E.16) Dari Pers.(E.16) diperoleh empat kemungkinan penyelesaian (1) –20 – 20b + 2c = 0, a + b + c – 150 = 0 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Jadi a = 50, b = 45, c = 55 Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8). (2) –20 – 20b + 2c = 0, –2c = 0 Jadi a = 50, b = –10, c = 0 Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8) dan (E.9). (3) a + b – 100 = 0, –2c = 0 Jadi a = 50, b = 50, c = 0 Penyelesaian ini bertentangan dari (E.9). (4) a + b – 100 = 0, a + b + c – 150 = 0 Jadi a = 50, b = 50, c = 50 METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-21 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Penyelesaian terakhir inilah yang memenuhi setiap persamaan. Nilai dari λ1, λ2, dan λ3 sesuai dengan penyelesaian di atas adalah namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) λ1 = –20, λ2 = –20, λ3 = –100 METODE OPTIMASI ANALITIS hal. 1-22 2. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI Telah kita lihat dalam Bab 1, bahwa untuk mencari nilai optimum suatu fungsi tujuan dihitung terlebih dahulu titik optimumnya. Setelah titik optimum diketahui, maka nilai optimum fungsi tujuannya dihitung dari nilai fungsi di titik optimum. Jadi nilai fungsi tujuan dihitung terakhir. Pada metode numeris langkah hitungan yang dilakukan justru kebalikan dari metode analitis. Pada metode ini letak titik optimum ditentukan dengan menyelidiki nilai fungsinya. Titik yang mempunyai nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi pada titik-titik yang lain itulah titik optimumnya. Jadi letak titik optimum dihitung terakhir. Dalam bab ini akan dibahas metode numeris dalam optimasi satu variabel–tanpa kendala, yang secara garis besar dibagi sebagai berikut. A. Teknik Eliminasi namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 1. B. Pencarian bebas (i) Dengan langkah tetap (ii) Dengan percepatan langkah 2. Pencarian lengkap 3. Pencarian dikotomi 4. Pencarian Fibonacci 5. Pencarian Rasio Emas Teknik Pendekatan Newton (Kuadratik) Metode numeris yang akan dibahas disini hanya berlaku untuk suatu fungsi unimodal. Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang hanya mempunyai satu puncak (maximum) atau satu lembah (minimum). Jika ternyata fungsi tujuan yang akan dioptimasikan bersifat multimodal (berpuncak banyak) pada interval yang menjadi perhatian, maka interval tersebut harus dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil sedemikian rupa sehingga pada interval-interval kecil tersebut fungsi tujuan bersifat unimodal. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-1 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier 2.1 Teknik Eliminasi 2.1.1 Pencarian bebas Teknik eliminasi pencarian bebas adalah teknik yang paling sederhana dan mudah difahami, tetapi tidak efisien ditinjau dari segi numeris. Teknik ini dibagi menjadi dua metode yang berbeda dalam pemilihan langkah hitungan. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 2.1.1.1 Dengan langkah tetap. Pendekatan paling dasar dari permasalahan optimasi adalah penggunaan langkah tetap berangkat dari titik tebakan pertama dan bergerak kearah yang dikehendaki. Diandaikan permasalahan yang dihadapi adalah minimisasi suatu fungsi tujuan, maka teknik ini dapat dijabarkan sebagai berikut: 1. Mulai dengan tebakan titik pertama, misalkan x1. 2. Hitung f1 = f(x1). 3. Pilih sebuah ukuran langkah misalkan s, hitung x2 = x1 + s. 4. Hitung f2 = f(x2). 5. Jika f2 < f1, maka pencarian dapat diteruskan kearah ini sepanjang titik-titik x3, x4, … dengan melakukan tes pada setiap dua titik yang terakhir. Cara ini ditempuh terus sampai dicapai suatu keadaan dimana xi = x1 + (i – 1)s memperlihatkan kenaikan pada nilai fungsinya. 6. Pencarian dihentikan pada xi, dan xi atau xi–1 dapat dianggap sebagai titik optimum. 7. Jika f2 > f1, pencarian harus dilakukan kearah yang berlawanan yaitu sepanjang titik-titik x–2, x–3, … dengan x–j = x1 – (j – 1)s . 8. Jika f2 = f1, maka titik optimum terletak diantara titik-titik x1 danx2. 9. Jika ternyata f2 dan f–2 mempunyai nilai lebih besar dari f1, maka titik optimum terletak diantara titik-titik x–2 dan x2. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-2 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Contoh 2.1 Cari maximum dari fungsi ⎧x ⎪ untuk x ≤ 2 f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ − x + 3 untuk x > 2 dengan menggunakan teknik pencarian bebas dengan x1 = –1 dan s = 0.4. Penyelesaian: Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawah ini: xi fi fi ≤ fi–1 1 2 –1.0 –1.4 –0.5 –0.7 3 4 5 6 7 8 9 10 –0.6 –0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 –0.3 –0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.8 – ya balik arah tidak tidak tidak tidak tidak tidak tidak ya namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) i Dari tabel di atas tampak pada i = 2 terjadi pembalikan arah pencarian karena nilai fungsinya menurun. Pada arah yang sebaliknya nilai fungsi bertambah besar, sampai i = 10, nilainya menurun. Jadi nilai optimum terjadi diantara i = 9 dan i = 10 atau dapat dianggap bahwa nilai x optimum adalah x9 atau x10. 2.1.1.2 Dengan percepatan langkah. Walaupun pencarian dengan langkah tetap sangat sederhana dan mudah, tetapi sangat tidak efisien. Sebagai ilustrasi ketidak-efisienannya diandaikan suatu pencarian dimulai dari nilai x1 = –1 dan s = 0.1 sedangkan x optimum mempunyai nilai 50000.00, maka untuk dapat TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-3 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier menyelesaikannya dengan teknik pencarian langkah tetap membutuhkan 500010 kali hitungan. Salah satu cara untuk mempercepat proses pencarian titik optimum tersebut adalah dengan memperbesar langkah pencarian sampai titik optimum terkurung. Pada permasalah maximisasi fungsi tujuan, maka teknik pencarian percepatan langkah dilakukan dengan memperbesar langkah dua kali lipat sepanjang arah gerakan yang menghasilkan bertambahnya nilai fungsi tujuan. Beberapa perbaikan dari teknik ini dapat dikembangkan dari ide yang serupa. Salah satunya adalah dengan mengurangi besar langkah pada saat titik optimum sudah terkurung dalam (xi–1, xi). Dengan mulai lagi hitungan dari titik xi atau xi-1 prosedur di atas dapat diulangi lagi dengan langkah pencarian diperkecil sampai dicapai pengurungan titik optimum dalam suatu interval yang cukup kecil sesuai dengan kebutuhan. Prosedur pencarian titik optimum dengan teknik ini dijelaskan dalam bagan alir dalam Gambar 2.1. Pilih nilai awal x1 dan langkah awal s Hitung f1=(x1) Set i=2, x2=x1+s, f2=f(x2) STOP xopt terletak antara x-2 dan x2 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) ya Set i=i+1, s=2s xi=x1+s fi=f(xi) tidak fi ≤ fi-1? ya tidak f2 ≤ f1? f-2 ≤ f1? ya tidak Set i=2 x-2=x1-s f-2=f(x-2) Set i=i+1, s=2s x-i=x1-s f-i=f(x-i) STOP xopt terletak antara xi-1 dan xi f-i ≤ f-(i-1)? tidak ya STOP xopt terletak antara x-(i-1) dan x-i Gambar 2.1. Bagan alir “Pencarian Percepatan Langkah” Contoh 2.2 TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-4 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dengan nilai awal x1 = 0.0 dan langkah awals = 0.05. Penyelesaian: Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawah. Dari tabel di bawah tampak pada i = 2 terjadi pembalikan arah pencarian karena nilai fungsinya menurun. Pada arah yang sebaliknya nilai fungsi bertambah besar, sampai i = 7 dengan nilai x optimum adalah x7 = 0.8. Pada soal ini nilai optimum sebetulnya tidak terjadi diantara i = 7 dan i = 8, tetapi informasi mengenai intervalnya telah didapatkan. Pendekatan yang lebih baik adalah dengan memulai lagi hitungan pada i = 6 dengan langkah hitungan yang lebih kecil. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) fi s xi 1 2 – –0.05 0.0 –0.05 0.0 –0.0775 3 4 5 6 7 8 0.05 0.10 0.20 0.40 0.80 1.60 0.05 0.10 0.20 0.40 0.80 1.60 0.0725 0.1400 0.2600 0.4400 0.5600 –0.1600 i fi ≤ fi–1 – ya balik arah tidak tidak tidak tidak tidak ya 2.1.2 Pencarian lengkap Teknik ini dapat digunakan jika telah diketahui bahwa interval dimana terdapat titik optimum telah tertentu. Misal xs dan xf berurutan menunjukkan titik-titik awal dan akhir dari interval yang menjadi perhatian kita. Teknik Pencarian lengkap terdiri atas pencarian nilai fungsi tujuan pada titik-titik tertentu yang berjarak sama dalam interval (xs, xf ). Misal suatu fungsi didefinisikan dalam interval (xs, xf ) dan dievaluasi pada delapan titik-titik hitungan x1 dan x8. Andaikan nilai fungsi yang ditinjau berbentuk kurva seperti disajikan dalam Gambar 2.2, maka titik optimum akan terletak diantara titik x5 dan x7. Jadi interval (x5, x7) dianggap sebagai interval pencarian yang baru. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-5 Djoko Luknanto xs x1 Pengantar Optimasi Non-linier x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xf x Gambar 2.2. Teknik Pencarian Bebas Lengkap Secara umum, jika fungsi tujuan dievaluasi pada n titik berjarak sama didalam interval pencarian mula-mula L0 = (xf – xs), dan jika ternyata bahwa titik optimum berada pada titik xj, maka interval terakhir adalah namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Ln = x j +1 − x j −1 = 2 L0 n +1 (2.1) Contoh 2.3 Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dalam interval (0.0, 1.0) dengan n = 9. Penyelesaian: Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawah ini: i 1 2 3 4 5 6 7 xi fi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.14 0.26 0.36 0.44 0.50 0.54 0.56 TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-6 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier xi fi 8 0.8 0.56 9 0.9 0.54 i Dari tabel di atas tampak bahwa x7 =x8, sehingga titik optimum akan berada pada interval ini. Jika diandaikan bahwa titik optimum terjadi ditengah interval, xopt = 0.75, maka nilai fungsi tujuan optimum adalah 0.5625 yang ternyata memang nilai optimum yang sebenarnya. 2.1.3 Pencarian Dikotomi namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Teknik eliminasi dengan pencarian dikotomi, dan juga pencarian Fibonacci, dan Rasio Emas yang akan dibahas pada bab berikut, pada prinsipnya adalah merupakan teknik pencarian bertahap dimana pencarian yang berikutnya dipengaruhi secara langsung oleh pencarian sebelumnya. Untuk memperjelas konsep pencarian dikotomi, maka dalam Gambar 2.3 disajikan gambar proses pencarian tersebut. Pada pencarian dikotomi, dua penyelidikan dilakukan pada daerah didekat titik tengah (xm) dari interval pencarian (xs, xf). Berdasarkan nilai relatif dari fungsi tujuan pada dua titik di sebelah kiri (x1) dan kanan (x2) yang berjarak δ0/2 dari titik tengah, maka penentuan interval pencarian berikutnya dilakukan. Pada Gambar 2.3, tampak bahwa f1 < f2, maka interval pencarian selanjutnya adalah (x1, xf) karena mengurung titik optimum. Demikian seterusnya pencarian dikotomi dilaksanakan sampai didapat titik optimum yang dicari sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki. Dalam teknik ini nilai δ0 adalah bilangan positif kecil. Dalam Gambar 2.3 tampak bahwa interval pencarian yang baru mempunyai lebar interval sebesar (L0/2 + δ0/2). Interval-interval yang baru dicari dengan cara yang sama seperti di atas sehingga didapat hubungan antara lebar interval pencarian dengan jumlah pencarian interval yang telah dilaksanakan yang disajikan di bawah ini. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-7 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier f2 f1 δ0 fs ff δ0/2 xs x1 L0/2 xm xf x2 x L0 Gambar 2.3. Pencarian Dikotomi namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Tabel 2.1. Lebar Interval pada Pencarian Dikotomi Jumlah pencarian (i) Lebar interval (Li) 0 L0 2 1 1 ( L0 ) + δ 0 2 2 4 1 ⎛ L0 + δ 0 ⎞ 1 ⎜ ⎟ + δ0 2⎝ 2 ⎠ 2 6 1 ⎛ L0 + δ 0 1 ⎞ 1 + δ0 ⎟ + δ0 ⎜ 2⎝ 4 2 ⎠ 2 n L0 1 ⎞ ⎛ + ⎜ 1 − n / 2 ⎟δ 0 n/2 2 ⎠ 2 ⎝ Contoh 2.4 Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dalam interval (0.0, 1.0) dengan n = 6 dan δ0 = 0.001. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-8 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Penyelesaian: Dua penyelidikan pertama dilakukan pada titik-titik: x1 = 1 1 L0 + δ 0 = 0,5 − 0,0005 = 0,4995 2 2 x2 = 1 1 L0 + δ 0 = 0,5 + 0,0005 = 0,5005 2 2 dan dengan nilai fungsi tujuannya masing-masing adalah f1 = f ( x1 ) = 0,4995(1,0005) ≈ 0,49975 f 2 = f ( x 2 ) = 0,5005(0,9995) ≈ 0,50025 Karena f1 < f2, maka interval pencarian baru adalah (x1, xf) = (0.4995, 1.0). Dua pasang titik yang baru adalah 1,0 − 0,4995 ⎞ ⎛ x3 = ⎜ 0,4995 + ⎟ − 0,0005 = 0,74925 2 ⎝ ⎠ namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) dan 1,0 − 0,4995 ⎞ ⎛ x 4 = ⎜ 0,4995 + ⎟ + 0,0005 = 0,75025 2 ⎝ ⎠ dengan nilai fungsi tujuannya masing-masing adalah f 3 = f ( x3 ) = 0,74925(0,75075) ≈ 0,5624994375 f 4 = f ( x 4 ) = 0,75025(0,74975) ≈ 0,5624999375 Karena f3 < f4, maka interval pencarian baru adalah (x3, xf) = (0.74925, 1.0). Dua pasang titik yang baru adalah 1,0 − 0,74925 ⎞ ⎛ x5 = ⎜ 0,74925 + ⎟ − 0,0005 = 0,874125 2 ⎝ ⎠ dan 1,0 − 0,74925 ⎞ ⎛ x6 = ⎜ 0,74925 + ⎟ + 0,0005 = 0,875125 2 ⎝ ⎠ TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-9 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier dengan nilai fungsi tujuannya masing-masing adalah f 5 = f ( x5 ) = 0,874125(0,625875) ≈ 0,547092984375 f 6 = f ( x6 ) = 0,875125(0,624875) ≈ 0,5468437344 Karena f6 < f5, maka interval pencarian baru adalah (x3, x6) = (0.74925, 0.875125). Sebagai titik optimum diandaikan terjadi pada tengah interval terakhir ini xopt = dan 0,74925 + 0,875125 = 0,8121875 2 fopt ≈ 0,5586327148 2.1.4 Pencarian Fibonacci namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Seperti telah disebutkan didepan, Pencarian Fibonacci dapat dipakai untuk mencari maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk fungsi yang tidak menerus. Teknik ini, seperti teknik eliminasi yang lainnya mempunyai ciri khas sebagai berikut: (i) Interval permulaan dimana terletak titik optimum harus diketahui terlebih dahulu. (ii) Fungsi tujuan yang dioptimasikan harus fungsi unimodal pada interval pencarian. (iii) Letak yang tepat dari titik optimum tidak dapat ditentukan. Hanya interval pencariannya saja yang dapat diketahui. Interval pencarian dapat diperkecil sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki. (iv) Jumlah nilai fungsi tujuan yang harus dievaluasi dalam pencarian atau jumlah subinterval pencarian harus ditentukan sebelumnya. Pada teknik Fibonacci ini digunakan sebuah deret yang dinamakan deret Fibonacci (Fn)yang mempunyai ciri sebagai berikut: F0 = F1 = 1 ⎫ ⎬ Fn = Fn −1 + Fn − 2 , n = 2,3,4,...⎭ TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI (2.2) hal. 2-10 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier yang menghasilkan deret: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Untuk menjelaskan prosedur teknik Fibonacci, maka disajikan Gambar 2.4. Dimisalkan interval pencarian mula-mula adalah L0 = b – a, sedangkan n adalah jumlah pencarian yang harus dilaksanakan. Didefinisikan: L* = Fn − 2 L0 Fn (2.3) dan dicari dua titik x1 dan x2 yang diletakkan masing-masing pada jarak L* pada kedua tepi interval. Sehingga ⎫ ⎪ Fn −1 ⎬ * x2 = b − L = a + L0 ⎪ Fn ⎭ x1 = a + L* (2.4) f2 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) f1 L* a L* x1 x2 L = L0 - L* b x L = L0 - L* L0 Gambar 2.4. Pencarian Fibonacci Dengan menggunakan sifat fungsi unimodal, maka dapat ditentukan interval yang mana yang mengandung titik optimum. Pada Gambar 2.4, interval yang mengandung titik optimum menjadi (x1, b). Besarnya interval ini adalah TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-11 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier L = L0 − L* = L0 − ⎛ Fn − 2 F L0 = ⎜⎜ 1 − n − 2 Fn Fn ⎝ ⎞ F ⎟⎟ L0 = n −1 L0 Fn ⎠ (2.5) Langkah selanjutnya adalah mengulangi prosedur di atas dengan nilai n yang baru yang dihitung sebagai n = n – 1. Demikian prosedur ini diulang sampai dengan n = 1. Teknik ini kalah populer dengan teknik Rasio Emas yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya. Kekalahan itu disebabkan oleh adanya F hitungan rasio n − 2 yang baru setiap kali akan menentukan interval Fn pencarian yang baru. 2.1.5 Pencarian Rasio Emas Teknik eliminasi dengan pencarian memakai Rasio Emas sangat serupa dengan teknik Fibonacci. Dalam teknik ini rasio penyempitan interval mengikuti Rasio Emas. Rasio Emas sendiri merupakan penemuan orang Yunani kuno. Rasio ini dianggap memberikan bentuk bangunan yang paling menyenangkan. Rasio Emas didefinisikan sebagai: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) γ = d +b d = d b (2.6) dengan b, d berurutan adalah sisi pendek, panjang dari suatu empat persegi panjang. Dari geometri Euclid, diketemukan pula bahwa jika suatu garis dibagi dengan Rasio Emas menjadi dua bagian tidak sama besar, maka nilai perbandingan antara bagian yang besar dibanding panjang keseluruhan sama dengan perbandingan bagian yang kecil dibanding bagian yang besar. Dari Pers.(2.6) diperoleh nilai γ dengan 1 persamaan γ2 = γ + 1, sehingga nilai γ = 2 (1+√5) = 1.6180339. Rasio ini menghasilkan suatu algoritma eliminasi interval yang sangat efisien. Gambar 2.5 dapat dipakai lagi untuk menjelaskan teknik ini. Pada Gambar 2.5 nilai L* dicari dengan rumus: L* = L0 γ 2 = L0 ≈ 0,382 L0 (1,6180339) 2 (2.7a) dan TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-12 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier ⎛ 1 L = L0 − L* = ⎜⎜ 1 − 2 ⎝ γ ⎞ L ⎟⎟ L0 = 0 ≈ 0,618L0 γ ⎠ (2.7b) Dari keistimewaan Rasio Emas, ternyata algoritmanya hanya memerlukan Pers.(2.7) hanya pada iterasi pertama, pada iterasi selanjutnya tidak diperlukan lagi. Hal ini dapat dibuktikan dengan mencermati penggal garis yang terjadi pada Gambar 2.5, pada iterasi kedua. Inilah yang menyebabkan algoritma Rasio Emas yang dihasilkan sangat efisien. Pada Gambar 2.5, interval (a, b) dibagi menurut geometri Rasio Emas sehingga didapat: L* = L0 γ2 f2 f1 L1 * L* namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) L a x1 x2 L b x L L0 Gambar 2.5. Pencarian Rasio Emas Dari ketentuan di atas, maka diperoleh hubungan: ⎛ γ 2 − 1⎞ L = L0 − L = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ L0 ⎝ γ ⎠ L = 0 * γ TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-13 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier ⎛γ 2 − 2⎞ ⎟⎟ L0 L1 = L0 − 2 L* = ⎜⎜ 2 ⎝ γ ⎠ ⎛γ 2 −γ ⎞ ⎛ γ − 1⎞ ⎟⎟ L0 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ L0 = ⎜⎜ 3 ⎝ γ ⎠ ⎝ γ ⎠ L = 03 γ L . Ini berarti γ2 bahwa L1 otomatis merupakan L* bagi iterasi selanjutnya. Sehingga untuk iterasi selanjutnya nilai L* dapat dihitung sebagai jarak antara x1 dan x2. Nilai L1 di atas adalah istimewa karena merupakan Algoritma Rasio Emas untuk permasalahan maximisasi f(x): Langkah 1: Misalkan a(1) dan b(1) adalah titik tepi interval pencarian mula-mula. Hitung x1 b (1) − a (1) + (1,6180339) 2 (1) =a (1) = b (1) + x1 x2 (1) ( (1) − a (1) ) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Set k = 2. Langkah 2: (1) Jika f ( x1 ( k −1) ) > f ( x2 ( k −1) ) , maka a(k) = a(k-1) dan b ( k ) = x 2 x1 (k ) (2) Jika f ( x1 ( = a ( k ) + x2 ( k −1) ) < f ( x2 a ( k ) = x1 x1 (k ) ( k −1) = x2 ( k −1) ( k −1) ( k −1) ( k −1) − x1 ( k −1) ) dan x (k ) 2 = x1 ( k −1) ) , maka dan b(k) = b(k-1) dan x 2 (k ) ( = b ( k ) + x2 ( k −1) − x1 ( k −1) ) Langkah 3: (1) Berhenti jika (b(k)-a(k)) < ε cukup kecil sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki, titik optimum x* diambil sama dengan titik-titik a(k) , b(k), x1(k), x2(k), yang memberikan nilai f maximum. (2) Jika (b(k)-a(k)) ≥ ε, set k = k + 1 dan lakukan langkah 2. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-14 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Contoh 2.5 Cari maximum dari fungsi f = 720 – 12/x – 108x dalam interval (0.0, 1.0) dengan ε = 0.01. Penyelesaian: Iterasi I: Langkah 1: Hitung x1 1− 0 = 0,382 1,6180339 2 (1) = 0+ (1) = 1 − (0,382 − 0) = 0,618 x2 Set k = 2. f ( x1 ) = f (0,382) = 720 − 120 − 108(0,382) = 647,33 0,382 f ( x 2 ) = f (0,618) = 720 − 120 − 108(0,618) = 633,84 0,618 (1) Langkah 2: (1) Karena f ( x1 ) > f ( x 2 ) , maka (1) (1) a(2) = 0 dan b(2) = 0,618 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) x1(2) = 0 + (0,618 – 0,382) = 0,236 dan x2(2) = 0,386 Langkah 3: b(2) – a(2) = 0,618 – 0 > ε = 0.01, maka k = 3, kembali ke Langkah 2. Algoritma ini dilanjutkan terus dan hasilnya disajikan dalam tabel di bawah sampai interval terakhir lebih kecil dari 0.01. k a(k) b(k) b(k)–a(k) 1 2 3 4 5 6 0 0 0.236068 0.236068 0.236068 0.291796 1 0.618034 0.618034 0.472136 0.381966 0.381966 1 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 0.090170 x1 (k ) 0.381966 0.236068 0.381966 0.326238 0.291796 0.326238 TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI x2 (k ) 0.618034 0.381966 0.472136 0.381966 0.326238 0.347524 (k ) (k ) f ( x1 ) f ( x2 ) 647.3313 643.6718 647.3313 647.9833 647.3614 647.9833 633.8359 647.3313 643.5929 647.3313 647.9833 647.9374 hal. 2-15 Djoko Luknanto k a(k) Pengantar Optimasi Non-linier b(k) b(k)–a(k) x1 (k ) x2 (k ) 7 0.291796 0.347524 0.055728 0.313082 0.326238 8 0.313082 0.347524 0.034442 0.326238 0.334368 9 0.326238 0.347524 0.021286 0.334368 0.339394 10 0.326238 0.339394 0.013156 0.331264 0.334368 11 0.331264 0.339394 0.008130 0.334368 0.336290 (k ) (k ) f ( x1 ) f ( x2 ) 647.8585 647.9833 647.9997 647.9986 647.9997 647.9833 647.9997 647.9883 647.9997 647.9972 Pada iterasi ke 11, nilai maximum fungsi tujuan didapat pada x1 = 0,334368 dan f(x1(11)) = 647,9997, sebagai perbandingan nilai fungsi maximum yang betul adalah 648. Dalam algoritma ini perlu diperhatikan bahwa error karena pembulatan mungkin terjadi, sehingga setiap beberapa iterasi langkah 1 perlu dilakukan. (11) 2.2 Teknik Pendekatan namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 2.2.1 Metode Newton (Kuadratik) Metode Newton (atau seringkali disebut dengan metode Newton– Raphson) memerlukan fungsi tujuan tanpa kendala dalam interval yang menjadi perhatian dan mempunyai derivasi pertama maupun keduanya. Metode ini banyak pula dikembangkan untuk memecahkan permasalahan optimasi multi variabel. Metode Newton seringkali dipandang sebagai metode untuk mencari akar dari suatu fungsi. Dalam bab ini, metode ini akan diinterpretasikan sebagai pendekatan kuadratik dari suatu fungsi tujuan f. Ditinjau tiga suku pertama dari suatu deret Taylor dari fungsi f pada titik x(k) pada iterasi k. F ( x) = f ( x ( k ) ) + f ′( x ( k ) )( x − x ( k ) ) + 1 f ′′( x ( k ) )( x − x ( k ) ) 2 2 (2.8) Fungsi F(x) adalah pendekatan kuadratik dari f(x) dan mempunyai derivasi pertama dan kedua yang sama di titik x(k). Kita dapat maximisasi F(x) secara langsung. Jika titik x(k) berada di sekitar titik optimum dari f(x), kurva F(x) akan merupakan pendekatan dari fungsi f(x) pada titik optimum. Jadi maximisasi fungsi pendekatan F(x), merupakan pendekatan dari maximisasi fungsi tujuan asli F(x) (lihat Gambar 2.6). TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-16 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier y persamaan kuadrat y=f(x) x x(k) x(k+1) x(k+2) Gambar 2.6. Metode Newton Syarat perlu untuk mencari titik optimum dari Pers.(2.8) adalah namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) F ′( x) = f ′( x ( k ) ) + f ′′( x ( k ) )( x * − x ( k ) ) = 0 atau x* = x (k ) − f ′( x ( k ) ) f ′′( x ( k ) ) (2.9) Pada setiap iterasi k, titik optimum x* dari pendekatan kuadratik menjadi titik yang akan digunakan untuk membuat fungsi pendekatan kuadratik yang selanjutnya. Jadi nilai x(k+1) dibuat sama dengan x* dalam Pers.(2.9) untuk mendapatkan rumus iterasi Newton sebagai berikut: x ( k +1) = x ( k ) − f ′( x ( k ) ) f ′′( x ( k ) ) (2.10) Prosedur iterasi Newton dihentikan jika perubahan dari titik optimum telah mencapai ketelitian yang diharapkan atau x ( k +1) − x ( k ) < ε . Contoh 2.6 Cari maximum dari fungsi f = 720 – 12/x – 108x mulai dengan x = 0.25 dan ε = 0.01. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-17 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Penyelesaian: Derivasi pertama dan kedua dari fungsi tujuan di atas adalah sebagai berikut: f ′( x ) = − 24 12 − 108 dan f ′′( x) = 3 2 x x x(1) = 0,25, f’(x(1)) = 84, dan f’’(x(1)) = – 1536. Pada Sehingga F(x) = 576 + 468x – 768x2 x ( 2) = x (1) − dan f ′( x (1) ) 84 = 0,25 − = 0,305 . (1) − 1536 f ′′( x ) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Hasil selengkapnya disajikan dalam tabel di bawah ini. k x(k) f’(x(k)) f’’(x(k)) x(k+1) f(x(k+1)) 1 2 3 0.25 0.305 0.330 84.00 21.00 02.19 –1536.00 –0845.89 –0667.84 0.305 0.330 0.333 647.720 647.996 648.000 Didalam daerah optimum, tampak dari tabel di atas bahwa metode Newton konvergen dengan cepat sekali. Tetapi sayangnya metode ini tidak selalu konvergen. Dengan menggunakan beberapa iterasi dari teknik eliminasi, seperti pencarian Rasio Emas, sebelum melakukan metode Newton, biasanya masalah ketidak-konvergenan dari metode Newton dapat dihindari. Kelemahan lain dari metode ini adalah diperlukannya derivasi pertama dan kedua yang secara numeris sangat mahal biayanya. Biasanya metode Newton ini dipakai kombinasi dengan metode lain untuk mengurangi kelemahannya. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI hal. 2-18 3. PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Dalam bab ini akan disajikan perangkat lunak dalam bahasa FORTRAN yang dapat dipakai untuk keperluan mendapatkan nilai minimum dari suatu fungsi satu variabel. Perangkat lunak ini diambil dari “Numerical Recipes The Art of Scientific Computing” karangan William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky. Perangkat lunak ini terdiri dari empat buah subprogram disertai dengan sebuah program utama untuk merangkumnya ditambah sebuah subprogram yang memuat definisi fungsinya serta sebuah lagi untuk mendefinisikan derivasi pertamanya. Perangkat lunak tersebut terdiri dari: a. Subprogram MNBRAK b. Subprogram GOLDEN c. Subprogram BRENT d. Subprogram DBRENT e. Program MINIMISASI f. Subprogram F g. Subprogram DF Setiap subprogram di atas akan dijelaskan secara lebih rinci pada bab berikutnya. Bagi yang terbiasa dengan bahasa FORTRAN kejelasan dapat pula diperoleh dengan membaca dan mencermati langsung ‘coding’ dari masing-masing ‘program listing.’ 3.1 Subprogram: MNBRAK MNBRAK adalah subprogram yang membantu untuk mengurung nilai minimum suatu fungsi tujuan. Hal ini diperlukan karena pada Bab II telah dijelaskan bahwa seluruh metode yang telah dijelaskan mengadaikan fungsi tujuan yang unimodal. Jadi pada prinsipnya MNBRAK adalah mencari interval dimana suatu fungsi bersifat unimodal. Interval tersebut dicari dengan menyusuri fungsi tujuan kearah lembahnya untuk kemudian berhenti pada saat lembahnya terkurung. Data masukan dan keluaran dari MNBRAK dapat dilihat langsung pada listing di bawah ini. PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-1 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 SUBROUTINE MNBRAK (AX, BX, CX, FA, FB, FC, FUNC, ITMAX, OK) C----------------------------------------------------------------------C C Given a function FUNC, and given distinct initial points AX and BX, C this routine searches in the downhill direction (defined by the C function as evaluated at the initial points) and returns new points C AX, BX, CX which bracket a minimum of the function. Also returned C are the function values at the three points, FA, FB, and FC C C----------------------------------------------------------------------PARAMETER (GOLD=1.618034, GLIMIT=100.0, TINY=1.E-20) C The first parameter is the default ratio by which successive C interval are magnified; the second is the maximum magnification C allowed for a parabolic-fit step. LOGICAL OK FA = FUNC(AX) FB = FUNC(BX) IF (FB.GT.FA) THEN C Switch the roles of A and B so that we can go downhill C in the direction from A to B TEMP = AX AX = BX BX = TEMP TEMP = FB FB = FA FA = TEMP ENDIF namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C First guess for C CX = BX + GOLD*(BX-AX) FC = FUNC(CX) C Reset the counter ITER = 1 C Looping: keep returning here until we bracket 100 IF (FB.GE.FC) THEN C Compute U by parabolic extrapolation from A, B, C. C TINY is used to prevent any possible divion by zero R = (BX-AX)*(FB-FC) Q = (BX-CX)*(FB-FA) U = BX-((BX-CX)*Q-(BX-AX)*R)/(2.*SIGN(MAX(ABS(Q-R),TINY),Q-R)) C We won't go farther than this. ULIM = BX+GLIMIT*(CX-BX) C Now to test various possibilities IF ( (BX-U)*(U-CX).GT.0. ) THEN C Parabolic U is between B and C: try it FU = FUNC(U) C Got a minimum between A and U IF (FU.LT.FC) THEN C Got AX = FA = BX = a minimum between B and C BX FB U PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-2 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier FB = FU C ... and exit GOTO 100 ELSE IF (FU.GT.FB) THEN C Got CX = FC = C ... GOTO a minimum between A and U U FU and exit 100 ENDIF C Parabolic fit was no use. Use default magnification U = CX+GOLD*(CX-BX) FU = FUNC(U) ELSE IF ( (CX-U)*(U-ULIM).GT.0.) THEN C Parabolic fit is between C and its allowed limit FU = FUNC(U) IF (FU.LT.FC) THEN BX = CX CX = U U = CX+GOLD*(CX-BX) FB = FC FC = FU FU = FUNC(U) ENDIF ELSE IF ( (U-ULIM)*(ULIM-CX).GE.0.) THEN C Limit parabolic U to maximum allowed value U = ULIM FU = FUNC(U) ELSE namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C Reject parabolic U, use default magnification U = CX+GOLD*(CX-BX) FU = FUNC(U) ENDIF C Eliminate oldest point and continue AX = BX BX = CX CX = U FA = FB FB = FC FC = FU C Count the next work ITER = ITER + 1 OK = ITER .LE. ITMAX C ... and do the work if OK IF (OK) GOTO 100 ENDIF RETURN END PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-3 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier 3.2 Subprogram: GOLDEN GOLDEN adalah subprogram yang menggunakan teknik pencarian Rasio Emas untuk mencari nilai minimum fungsi tujuan. Perangkat lunak ini paling sederhana dibanding dengan perangkat lunak yang lain. Oleh karena itu peserta penataran diharapkan mencermati listing di bawah ini agar mendapatkan ide bagaimana suatu algoritma numeris diubah menjadi bahasa FORTRAN. C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 FUNCTION GOLDEN (AX, BX, CX, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK) C----------------------------------------------------------------------C C Given a function F, and given a bracketing triplet of abscissas C AX, BX, CX (such that BX is between AX and CX, and F(BX) is less C than both F(AX) and F(CX)). This routine performs a golden section C search for the minimum, isolating it to afractional precision C about TOL. The abscissa of the minimum is returned as XMIN, and C the minimum function value is returned as GOLDEN, the returned C function value. C C----------------------------------------------------------------------PARAMETER (R=0.61803399, C=1.0-R) LOGICAL OK namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C At any given time we will keep track of four points: X0,X1,X2,X3. X0 = AX X3 = CX C Make X0 to X1 the smaller segment IF (ABS(CX-BX).GT.ABS(BX-AX)) THEN X1 = BX C ... and fill in the new point to be tried X2 = BX+C*(CX-BX) ELSE X2 = BX X1 = BX-C*(BX-AX) ENDIF C The initial function evaluations. Note that we never need C to evaluate the function at the original endpoints. F1 = F(X1) F2 = F(X2) C Reset the counter ITER = 1 C Looping: keep returning here. 100 IF (ABS(X3-X0).GT.TOL*(ABS(X1)+ABS(X2))) THEN C One possible outcome, its housekeeping IF (F2.LT.F1) THEN X0 = X1 X1 = X2 X2 = R*X1+C*X3 F0 = F1 F1 = F2 F2 = F(X2) ELSE X3 = X2 X2 = X1 X1 = R*X2+C*X0 PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-4 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier F3 = F2 F2 = F1 F1 = F(X1) ENDIF C Count the next work ITER = ITER + 1 OK = ITER .LE. ITMAX C ... and do the work if OK IF (OK) GOTO 100 ENDIF C We are done. Output the best of the two current values IF (F1.LT.F2) THEN GOLDEN = F1 XMIN = X1 ELSE GOLDEN = F2 XMIN = X2 ENDIF RETURN END namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 3.3 Subprogram: BRENT BRENT adalah subprogram yang menggunakan kombinasi metode Pencarian Rasio Emas dan Interpolasi Kuadratik. Brent sangat terkenal dalam membuat perangkat lunak untuk mencari akar dari suatu persamaan satu variabel. Perangkat lunaknya sangat efisien dan hampir selalu berhasil mendapatkan akar tersebut. Keberhasilannya tersebut diaplikasikan kepada pencarian titik minimum dari suatu fungsi tujuan. Perangkat lunak ini menggunakan teknik pencarian Rasio Emas dengan pertimbangan bahwa teknik ini akan selalu mendapatkan nilai minimum dari fungsi tujuan, tetapi membutuhkan waktu yang lama. Teknik interpolasi kuadratik dipergunakan disini dengan pertimbangan akan kecepatannya mendapatkan titik minimum. Kecepatan ini didapat karena di daerah sekitar titik optimum, lengkung fungsinya pada umumnya mendekati kurva parabolis. Walaupun pada dasarnya teknik yang dipakai cukup sederhana, tetapi dalam kenyataannya subroutine-nya tidak mudah diikuti karena adanya langkah-langkah tambahan untuk menghindari setiap kesulitan numeris yang mungkin terjadi dalam pencarian nilai minimum tersebut. Listing program disajikan di bawah ini. C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 FUNCTION BRENT (AX, BX, CX, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK) C----------------------------------------------------------------------C PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-5 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier C Given a function F, and given a bracketing triplet of abscissas C AX, BX, CX (such that BX is between AX and CX, and F(BX) is less C than both F(AX) and F(CX)). This routine isolates the minimum, to C a fractional precision about TOL using Brent's method. C The abscissa of the minimum is returned as XMIN, and C the minimum function value is returned as BRENT, the returned C function value. C C----------------------------------------------------------------------C Golden ratio; and a small number which protects against trying C fractional accuracy for a minimum that happens to be exactly zero. PARAMETER (CGOLD=0.381966, ZEPS=1.0E-10) LOGICAL OK C A and B must be in ascending order, though the input abscissa C need not be A = MIN(AX,CX) B = MAX(AX,CX) C ... initialization ... V = BX W = V X = V C This will be distance moced on the step before last. E = 0.0 FX = F(X) FV = FX FW = FX C Main loop DO ITER = 1, ITMAX XM = 0.5*(A+B) TOL1 = TOL*ABS(X)+ZEPS TOL2 = 2.0*TOL1 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C Test for done here IF (ABS(X-XM).LE.(TOL2-0.5*(B-A))) GOTO 300 C Construct a trial parabolic fit IF (ABS(E).GT.TOL1) THEN R = (X-W)*(FX-FV) Q = (X-V)*(FX-FW) P = (X-V)*Q-(X-W)*R Q = 2.0*(Q-R) IF (Q.GT.0.0) P = -P Q = ABS(Q) ETEMP = E E = D IF ( ABS(P).GE.ABS(0.5*Q*ETEMP) .OR. P.LE.Q*(A-X) .OR. 1 P.GE.Q*(B-X) ) GOTO 100 C The above conditions determine the acceptability of the C parabolic fit. C Here it is o.k. Take the parabolic step D = P/Q U = X+D IF (U-A.LT.TOL2 .OR. B-U.LT.TOL2) D = SIGN(TOL1,XM-X) C Skip over the golden section step GOTO 200 ENDIF C We arrive here for a golden section step, which we take C into the larger of the two segments 100 IF (X.GE.XM) THEN E = A-X ELSE PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-6 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier E = B-X ENDIF C Take the golden section step D = CGOLD*E C Arrive here with D computed either from parabolic fit, C or else from the golden section step 200 IF (ABS(D).GE.TOL1) THEN U = X+D ELSE U = X+SIGN(TOL1,D) ENDIF C This is the one function evaluation per iteration. FU = F(U) C ... and now we have to decide what to do with our C function evaluation. Housekeeping follows IF (FU.LE.FX) THEN IF (U.GE.X) THEN A = X ELSE B = X ENDIF V = W FV = FW W = X FW = FX X = U FX = FU namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) ELSE IF (U.LT.X) THEN A = U ELSE B = U ENDIF IF (FU.LE.FW .OR. W.EQ.X) THEN V = W FV = FW W = U FW = FU ELSE IF (FU.LE.FV .OR. V.EQ.X .OR. V.EQ.W) THEN V = U FV = FU ENDIF C Done with housekeeping. Back for another iteration. ENDIF ENDDO OK = .FALSE. GOTO 400 C Arrive 300 OK = 400 XMIN BRENT = here ready to exit with best values .TRUE. = X FX RETURN END PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-7 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier 3.4 Subprogram: DBRENT DBRENT merupakan modifikasi dari BRENT dengan menambahkan informasi derivasi pertama untuk mencari nilai minimum fungsi tujuan. C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 FUNCTION DBRENT (AX, BX, CX, F, DF, TOL, XMIN, ITMAX, OK) C----------------------------------------------------------------------C C Given a function F, and given a bracketing triplet of abscissas C AX, BX, CX (such that BX is between AX and CX, and F(BX) is less C than both F(AX) and F(CX)). This routine isolates the minimum, to C a fractional precision about TOL using a modification of Brent's C method that uses derivatives. C The abscissa of the minimum is returned as XMIN, and C the minimum function value is returned as DBRENT, the returned C function value. C C----------------------------------------------------------------------C A small number which protects against trying fractional accuracy C for a minimum that happens to be exactly zero. PARAMETER (ZEPS=1.0E-10) LOGICAL OK1, OK2, OK C A and B must be in ascending order, though the input abscissa C need not be A = MIN(AX,CX) B = MAX(AX,CX) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C ... initialization ... V = BX W = V X = V C This will be distance moved on the step before last. E = 0.0 FX = F(X) FV = FX FW = FX C All our housekeeping chores are doubled by the necessity of C moving derivative values as well as function values DX = DF(X) DV = DX DW = DX C Main loop DO ITER = 1, ITMAX XM = 0.5*(A+B) TOL1 = TOL*ABS(X)+ZEPS TOL2 = 2.0*TOL1 C Test for done here IF (ABS(X-XM).LE.(TOL2-0.5*(B-A))) GOTO 300 IF (ABS(E).GT.TOL1) THEN C Initialize these D's to an out-of-bracket value D1 = 2.0*(B-A) D2 = D1 C Secant method PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-8 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier IF (DW.NE.DX) D1 = (W-X)*DX/(DX-DW) C Secant method with the other stored point IF (DV.NE.DX) D2 = (V-X)*DX/(DX-DV) C Which of these two estimates of D shall we take? C We will insist that they be within the bracket, C and on the side pointed to by the derivative at X: U1 = X+D1 U2 = X+D2 OK1 = ((A-U1)*(U1-B).GT.0.0) .AND. (DX*D1.LE.0.0) OK2 = ((A-U2)*(U2-B).GT.0.0) .AND. (DX*D2.LE.0.0) C Movement on the step before last OLDE = E E = D C Take only an acceptable D, and if both are acceptable, C take the smallest one. IF (.NOT.(OK1.AND.OK2)) THEN GOTO 100 ELSE IF (OK1.AND.OK2) THEN IF (ABS(D1).LT.ABS(D2)) THEN D = D1 ELSE D = D2 ENDIF ELSE IF (OK1) THEN D = D1 ELSE D = D2 ENDIF IF (ABS(D).GT.ABS(0.5*OLDE)) GOTO 100 U = X+D IF (U-A.LT.TOL2 .OR. B-U.LT.TOL2) D = SIGN(TOL1, XM-X) GOTO 200 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) ENDIF C Decide which segment by the sign of the derivative 100 IF (DX.GE.0.) THEN E = A-X ELSE E = B-X ENDIF C Take bisect, NOT the golden section step D = 0.5*E C Arrive here with D computed either from parabolic fit, C or else from the golden section step 200 IF (ABS(D).GE.TOL1) THEN U = X+D FU = F(U) ELSE U = X+SIGN(TOL1,D) FU = F(U) C If the minimum step in the downhill direction C takes us uphill, then we are done IF (FU.GT.FX) GOTO 300 ENDIF C Now all the housekeeping, sigh. DU = DF(U) IF (FU.LE.FX) THEN IF (U.GE.X) THEN PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-9 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier A = X ELSE B = X ENDIF V = W FV = FW DV = DW W = X FW = FX DW = DX X = U FX = FU DX = DU ELSE IF (U.LT.X) THEN A = U ELSE B = U ENDIF IF (FU.LE.FW .OR. W.EQ.X) THEN V = W FV = FW DV = DW W = U FW = FU DW = DU ELSE IF (FU.LE.FV .OR. V.EQ.X .OR. V.EQ.W) THEN V = U FV = FU DV = DU ENDIF C Done with housekeeping. Back for another iteration. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) ENDIF ENDDO OK = .FALSE. GOTO 400 C Arrive here ready to exit with best values 300 OK = .TRUE. 400 XMIN = X DBRENT = FX RETURN END 3.5 Program Utama Dalam program utama ketiga subprogram pertama dikombinasikan untuk menyelesaikan beberapa fungsi tujuan. Program utama sangat pendek dan mudah diikuti sehingga peserta penataran diharapkan dapat mengubahnya sesuai dengan kebutuhan, Subprogran DBRENT tidak dikombinasikan dalam program utama untuk memberi kesempatan pada para peserta penataran mengkombinasikan sendiri. C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 C C Program untuk menghitung minimum dari suatu fungsi satu variabel. C Kecuali MAIN program serta F & DF, semua subprogram diambil dari PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-10 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier C "NUMERICAL RECIPES The Art of Scientific Computing" C oleh C William H. Press C Brian P. Flannery C Saul A. Teukolsky C William T. Vetterling C C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 PROGRAM Minimisasi C0---6----1---------2---------3---------4---------5---------6---------77 EXTERNAL F, DF LOGICAL OK COMMON /PILIHAN/IPILIH C -----------------------------------------------------------C TENTUKAN ITERASI MAXIMUM YANG AKAN DIPAKAI DALAM PROGRAM INI C -----------------------------------------------------------WRITE (*,'(A,$)') ' Iterasi maximum yang dipakai : ' READ (*,*) ITMAX ITMAX = ABS(ITMAX) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C ---C MENU C ---150 WRITE (*,*) WRITE (*,*) '************************************' WRITE (*,*) '* Pilih salah satu fungsi: *' WRITE (*,*) '* *' WRITE (*,*) '* 1. f(x) = -x(1.5-x) *' WRITE (*,*) '* 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 *' WRITE (*,*) '* 3. f(x) = -720 + 12/x +108x *' WRITE (*,*) '* 4. f(x) = e^x - x *' WRITE (*,*) '* 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 *' WRITE (*,*) '* 6. Bubar/Wegah/Ngantuk *' WRITE (*,*) '* *' WRITE (*,*) '************************************' C ---------------------------------------------C CATAT FUNGSI YANG DIPILIH OLEH PEMAKAI PROGRAM C ---------------------------------------------200 WRITE (*,'(A,$)') ' Pilihan anda : ' READ (*,*) IPILIH IF (IPILIH.LT.1 .OR. IPILIH.GT.6) THEN WRITE (*,*) WRITE (*,*) 'Pilihan anda harus di antara 1 s/d 6' GOTO 200 ENDIF C --------------------------------------C JIKA PEMAKAI BOSAN ... QUIT THE PROGRAM C --------------------------------------IF (IPILIH.EQ.6) GOTO 900 C ------------------------------C CATAT KETELITIAN YANG DIGUNAKAN C ------------------------------WRITE (*,'(A,$)') ' Ketelitian : ' READ (*,*) TOL C Jika pemakai memasukkan nilai negatif, ubah menjadi positif. TOL = ABS(TOL) C -----------------------------------------------------C BACA TITIK YANG BERADA PADA SEBUAH LERENG SUATU FUNGSI C -----------------------------------------------------WRITE (*,'(A,$)') ' X titik lereng: ' READ (*,*) AX PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-11 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier C -------------------------------------------------------------C PERKIRAKAN LAGI SEBUAH TITIK YANG BERADA PADA LERENG YANG SAMA C -------------------------------------------------------------BX = AX + 10.0*TOL C ------------------------C PENGURUNGAN TITIK MINIMUM C ------------------------CALL MNBRAK (AX, BX, CX, FA, FB, FC, F, ITMAX, OK) IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** MNBRAK melebihi iterasi maximum' WRITE (*,*) WRITE (*,*) 'Interval minimum: [',AX,'] [',BX,'] [',CX,']' WRITE (*,*) 'Nilai fungsinya : [',FA,'] [',FB,'] [',FC,']' WRITE (*,*) C ----------------------C SIMPAN INTERVAL MINIMUM C ----------------------A = AX B = BX C = CX C -----------------C JUDUL DARI JAWABAN C -----------------WRITE (*,*) '-------------------------------------' WRITE (*,*) 'Metode Xmin F(Xmin)' WRITE (*,*) '-------------------------------------' namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) C -------------------------C HITUNGAN DENGAN RASIO EMAS C -------------------------FMIN = GOLDEN (A, B, C, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK) WRITE (*,*) 'Rasio Emas ', XMIN, FMIN IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** MNBRAK melebihi iterasi maximum' C ----------------------------------------------------C GUNAKAN INTERVAL YANG SAMA UNTUK HITUNGAN SELANJUTNYA C ----------------------------------------------------A = AX B = BX C = CX C -------------------------C HITUNGAN DENGAN CARA BRENT C -------------------------FMIN = BRENT (A, B, C, F, TOL, XMIN, ITMAX, OK) WRITE (*,*) 'Brent ', XMIN, FMIN IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** BRENT melebihi iterasi maximum' C ----------------------------------------------------C GUNAKAN INTERVAL YANG SAMA UNTUK HITUNGAN SELANJUTNYA C ----------------------------------------------------A = AX B = BX C = CX C ------------------------------------------C HITUNGAN DENGAN CARA BRENT DENGAN DERIVATIF C ------------------------------------------FMIN = DBRENT (A, B, C, F, DF, TOL, XMIN, ITMAX, OK) WRITE (*,*) 'Brent plus', XMIN, FMIN IF (.NOT.OK) WRITE (*,*) '*** DBRENT melebihi iterasi maximum' C -------------------C PENUTUP DARI JAWABAN C -------------------WRITE (*,*) '-------------------------------------' PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-12 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier C --------------------------------C PAUSE, AGAR HASIL DAPAT DINIKMATI C --------------------------------PAUSE '... tekan kunci: RETURN' GOTO 150 900 STOP 'The job was well done sir ! Good luck !' END 3.6 Subprogram F Didalam subprogram F ini didefinisikan contoh-contoh fungsi tujuan. Didalam subprogram ini variabel IPILIH didefinisikan didalam program utama. C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 FUNCTION F (X) C----------------------------------------------------------------------C C Definisi fungsi dengan pilihannya ditentukan dari program utama C C----------------------------------------------------------------------C ---------------------------------C GUNAKAN PILIHAN DALAM MAIN PROGRAM C ---------------------------------COMMON /PILIHAN/IPILIH C ---------------------------C GUNAKAN FUNGSI YANG TERPILIH C ---------------------------GOTO (1,2,3,4,5) IPILIH namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 1 F = -X*(1.5-X) RETURN 2 F = X**5 -5.0*X**3 - 20.0*X + 5.0 RETURN 3 F = -720.0 + 12.0/X + 108.0*X RETURN 4 F = EXP(X) - X RETURN 5 F = -4.0*X**3 + 7.0*X**2 + 4.0*X - 6.0 RETURN END 3.7 Subprogram DF Didalam subprogram DF ini didefinisikan derivasi dari fungsi tujuan yang didefinisikan di subprogram F. Didalam subprogram ini variabel IPILIH didefinisikan didalam program utama. PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-13 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier C0***6****1*********2*********3*********4*********5*********6*********77 FUNCTION DF (X) C----------------------------------------------------------------------C C Definisi derivasi fungsi dengan pilihannya ditentukan C dari program utama C C----------------------------------------------------------------------C ---------------------------------C GUNAKAN PILIHAN DALAM MAIN PROGRAM C ---------------------------------COMMON /PILIHAN/IPILIH C ---------------------------C GUNAKAN FUNGSI YANG TERPILIH C ---------------------------GOTO (1,2,3,4,5) IPILIH 1 DF = -1.5 + 2.0*X RETURN 2 DF = 5.0*X**4 - 15.0*X**2 - 20.0 RETURN 3 DF = - 12.0/X**2 + 108.0 RETURN 4 DF = EXP(X) - 1 RETURN 5 DF = -12.0*X**2 + 14.0*X + 4.0 RETURN END namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) 3.8 Contoh Hasil Beberapa contoh hasil dari eksekusi program utama disajikan di bawah ini. Iterasi maximum yang dipakai : 1000 ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 1 Ketelitian : 1.E-7 X titik lereng: 10 Interval minimum: [ 9.185240 ] [ 0.7424081 ] [ -12.91838 ] Nilai fungsinya : [ 70.59077 ] [ -0.5624424 ] [ 186.2621 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------- PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-14 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Rasio Emas 0.7501726 -0.5625000 Brent 0.7501317 -0.5625000 Brent plus 0.7500000 -0.5625000 ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 2 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: 10 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Interval minimum: [ 10.00000 ] [ 10.00000 ] [ 10.00000 ] Nilai fungsinya : [ 94805.00 ] [ 94805.00 ] [ 94805.00 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 10.00000 94805.00 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent 10.00000 94805.00 Brent plus 10.00000 94805.00 ------------------------------------- namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 2 Ketelitian : 1.E-6 X titik lereng: 2 Interval minimum: [ 2.000095 ] [ 2.000164 ] [ 2.000275 ] Nilai fungsinya : [ -43.00000 ] [ -43.00000 ] [ -43.00000 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 2.000097 -43.00000 Brent 2.000140 -43.00000 Brent plus 2.000097 -43.00000 ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-15 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 3 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: 0.0001 Interval minimum: [ 0.3037111 ] [ 0.3315563 ] [ 0.3374541 ] Nilai fungsinya : [ -647.6880 ] [ -647.9990 ] [ -647.9946 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 0.3330266 -648.0000 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent 0.3331557 -648.0000 *** BRENT melebihi iterasi maximum Brent plus 0.3333333 -648.0000 *** DBRENT melebihi iterasi maximum ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 2 Ketelitian : 1.E-6 X titik lereng: 0.00001 Interval minimum: [ 0.8319921 ] [ 1.503763 ] [ 2.590710 ] Nilai fungsinya : [ -14.12076 ] [ -34.38809 ] [ -17.04929 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 1.999805 -43.00000 Brent 2.000001 -43.00000 Brent plus 1.999998 -43.00000 ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 4 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: 0 Interval minimum: [ 1.3623823E-04] [ 2.2053809E-04] [ 3.5693811E-04] PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-16 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Nilai fungsinya : [ 1.000000 ] [ 1.000000 ] [ 1.000000 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 1.3623825E-04 1.000000 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent 3.3703781E-04 1.000000 Brent plus 1.3623839E-04 1.000000 ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 4 Ketelitian : 1.E-7 X titik lereng: 0 Interval minimum: [ 1.9738701E-04] [ 3.2037889E-04] [ 5.1938393E-04] Nilai fungsinya : [ 1.000000 ] [ 1.000000 ] [ 1.000000 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 1.9738702E-04 1.000000 Brent 2.7340036E-04 1.000000 Brent plus 1.9738724E-04 1.000000 ------------------------------------- namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 4 Ketelitian : 1.E-7 X titik lereng: -2 Interval minimum: [ -1.995917 ] [ -1.598671 ] [ 3.562356 ] Nilai fungsinya : [ 2.131806 ] [ 1.800836 ] [ 31.68378 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas -3.4528683E-04 1.000000 Brent -1.1883662E-05 1.000000 Brent plus -9.5139882E-11 1.000000 ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-17 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: 10 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Interval minimum: [ 10.00000 ] [ 10.00000 ] [ 10.00000 ] Nilai fungsinya : [ -3266.000 ] [ -3266.000 ] [ -3266.000 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 10.00000 -3266.000 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent 10.00000 -3266.000 Brent plus 10.00000 -3266.000 ------------------------------------- namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 Ketelitian : 1.E-7 X titik lereng: -10 Interval minimum: [ 1.2998976E+38] [ 2.1032786E+38] [ INF ] Nilai fungsinya : [ -INF ] [ -INF ] [ NAN(255) ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas INF NAN(255) Brent 1.2998978E+38 -INF Brent plus 2.1032786E+38 -INF *** DBRENT melebihi iterasi maximum ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-18 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier Ketelitian : 1.E-7 X titik lereng: 100 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Interval minimum: [ 100.0000 ] [ 100.0000 ] [ 100.0000 ] Nilai fungsinya : [ -3929606. ] [ -3929606. ] [ -3929606. ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas 100.0000 -3929606. *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent 100.0000 -3929606. Brent plus 100.0000 -3929606. ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: -100 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Interval minimum: [ -100.0000 ] [ -100.0000 ] [ -100.0000 ] Nilai fungsinya : [ 4069594. ] [ 4069594. ] [ 4069594. ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas -100.0000 4069594. *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent -100.0000 4069594. Brent plus -100.0000 4069594. ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: -2 Interval minimum: [ -1.983102 ] [ -0.8338270 ] [ 1.025739 ] Nilai fungsinya : [ 44.79218 ] [ -2.149505 ] [ 1.151054 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas -0.2376102 -6.501570 PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-19 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent -0.2374042 -6.501570 *** BRENT melebihi iterasi maximum Brent plus -0.2374048 -6.501570 *** DBRENT melebihi iterasi maximum ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 Ketelitian : 1.E-8 X titik lereng: -1 Interval minimum: [ -0.8247265 ] [ -0.3986694 ] [ 0.2907054 ] Nilai fungsinya : [ -2.293861 ] [ -6.228663 ] [ -4.343880 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas -0.2376102 -6.501570 *** MNBRAK melebihi iterasi maximum Brent -0.2374176 -6.501570 *** BRENT melebihi iterasi maximum Brent plus -0.2374048 -6.501570 *** DBRENT melebihi iterasi maximum ------------------------------------- namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 5 Ketelitian : 1.E-7 X titik lereng: -1 Interval minimum: [ -0.9834749 ] [ -0.4190033 ] [ 0.4943310 ] Nilai fungsinya : [ 0.6416185 ] [ -6.152820 ] [ -2.795319 ] ------------------------------------Metode Xmin F(Xmin) ------------------------------------Rasio Emas -0.2376102 -6.501570 Brent -0.2374140 -6.501570 Brent plus -0.2374048 -6.501570 ------------------------------------PAUSE ... tekan kunci: RETURN ************************************ * Pilih salah satu fungsi: * PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-20 Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier * * * 1. f(x) = -x(1.5-x) * * 2. f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x + 5 * * 3. f(x) = -720 + 12/x +108x * * 4. f(x) = e^x - x * * 5. f(x) = -4x^3 + 7x^2 + 4x - 6 * * 6. Bubar/Wegah/Ngantuk * * * ************************************ Pilihan anda : 6 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) STOP The job was well done sir ! Good luck ! PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI hal. 3-21 DAFTAR PUSTAKA Canter, Larry W., 1977, “Environmental Impact Assessment,” McGraw– Hill Book Company, New York. Daellenbach, Hans G., John A. George, Donald C. McNickle, 1983, “Introduction to Operations Research Techniques,” Second Edition, Allyn and Bacon, Inc., Boston. Gillet, Billy E., 1979, “Introduction to Operations Research, A ComputerOriented Algoritmic Approach,” Tata McGraw–Hill Publishing Company Ltd, New Delhi. Haimes, Yacov Y., 1977, “Hierarchical Analyses of Water Resources Systems, Modeling and Optimization of Large–Scale Systems,” McGraw–Hill Series in Water Resources and Environmental Engineering, McGraw–Hill International Book Company, New York. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Haith, Douglas A., 1982, “Environmental Systems Optimization,” John Wiley & Son, New York. Loucks, Daniel P., Jery R. Stedinger, Douglas A. Haith, 1981, “Water Resource Systems Planning and Analysis,” Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632. Press, William H., Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, 1987, “Numerical Recipes The Art of Scientific Computing,” Cambridge University Press, Cambridge, New York. Rao, S.S., 1977, “Optimization Theory and Applications,” Wiley Eastern Limited, New Delhi. Swokowski, Earl W., 1983, “Calculus with Analytic Geometry,” Alternate Edition, Prindle, Weber & Schmidt, Boston, Massachusetts. DAFTAR PUSTAKA A Djoko Luknanto Pengantar Optimasi Non-linier namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 2003.doc (676 Kb) Wolfram, Stephen, 1988, “Mathematica™ – A System for Doing Mathematics by Computer,” Addison-Wesley Publishing Company, Inc., The Advanced Book Program, Redwood City, California. DAFTAR PUSTAKA B