パワーアップ・モナド工場の秘密 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

モノイドからモナドを作る話は：

C = (C, $\otimes$ , I) をモノイド圏として、C内のモノイドの圏を Monoid(C)、C上のモナドの圏を Monad(C) とすると、Monoid(C)→Monad(C) という関手があります。（monoidとmonadは綴が似ているので注意してください。）

ラックス・モノイド関手については、次の記事で書きました。

モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例

ラックス・モノイド関手に関する次の2つの定理は、ラックス・モノイド関手の定義からすぐに出ます。

2つのラックス・モノイド関手を結合すると、またラックス・モノイド関手になる。
単一対象と恒等射だけからなる自明圏からのラックス・モノイド関手は、モノイドと同じである。

2番めの定理は次の記事で述べています。

ラックス・モノイド関手について、もうちょっと

CとEをモノイド圏として、F:C→E をラックス・モノイド関手とします。先に挙げた2つの定理を組み合わせると：

ラックス・モノイド関手Fは、Monoid(C)→Monoid(E) を誘導する。

Dを圏（モノイド圏である必要はない）とすると、自己関手と自然変換の圏 End(D) は、関手の結合を（非対称な）モノイド積としてモノイド圏となります。すぐ上の主張のEを End(D) に置き換えると：

ラックス・モノイド関手 F:C→End(D) は、Monoid(C)→Monoid(End(D)) を誘導する。

Monoid(End(D)) = Monad(D) なので、

ラックス・モノイド関手 F:C→End(D) は、Monoid(C)→Monad(D) を誘導する。

さらに、次の記事で述べたフォークロを考慮しましょう。

モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形

圏Dがモノイド圏C上の加群圏になっていると、その加群構造からラックス・モノイド関手 H:C→End(D) を構成できます*1。これから、Monoid(C)→Monad(D) を作れます。つまり、

圏Dがモノイド圏C上の加群圏ならば、C内のモノイドは、D上のモナドを誘導する。

モノイド圏Cは、自分自身の上の加群圏であることから、

モノイド圏C内のモノイドは、C上のモナドを誘導する。

これが「モナド工場の秘密（オリジナル版）」でした。C内のモノイドが、異なる圏D上のモナドを誘導するという事実は、パワーアップしたモナド工場を与えることになります。

パワーアップ・モナド工場の実例をひとつ挙げましょう。

モノイド自然変換としての積分：大雑把に

上記の記事で説明した状況で、コンパクト測度空間の圏CompMSはモノイド圏で、その反対圏CompMS^opもモノイド圏です。うまいこと定義すると、バナッハ空間の圏Banはモノイド圏CompMS^op上の加群圏になります。よって、“CompMS^op内のモノイド＝CompMS内のコモノイド”は、バナッハ空間の圏Ban上のモナドを定義します。CompMSには、対角射を余乗法とするコモノイドがたくさん（対象の数だけ）あります。モノイド圏ではないBan上のモナドを大量生産できました。[追記]CompMS側をちょっと細工する必要がありますね。でも、大筋はこれでいいかと。[/追記]

*1:実際は、Hは強モノイド関手になります。強モノイド関手はラックス・モノイド関手の特別なものなので、特に問題はありません。