モノイド圏の単位対象の定義について：これ難しいやん - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

(C, $\otimes$ , I) をモノイド圏とします。α, λ, ρをそれぞれ、結合律子、左単位律子、右単位律子とします（律子（りつし）に関しては「律子からカタストロフへ」を参照してください）。

λ, ρに関する等式的法則を書き並べてみます。ただし、αによる括弧の組み換えは省略します（その意味で多少不正確です）。

ρ_A $\otimes$ B = A $\otimes$ λ_B : A $\otimes$ I $\otimes$ B $\stackrel{\sim}{=}$ A $\otimes$ B
λ_A $\otimes$ B = λ_AB : I $\otimes$ A $\otimes$ B $\stackrel{\sim}{=}$ A $\otimes$ B
A $\otimes$ ρ_B = ρ_AB : A $\otimes$ B $\otimes$ I $\stackrel{\sim}{=}$ A $\otimes$ B
λ_I = ρ_I : I $\otimes$ I $\stackrel{\sim}{=}$ I

通常は、1番がモノイド単位の公理として採用されます。しかし僕は、2番と3番を一緒にしたほうが使いやすい気がして、個人的には2番＋3番を仮定していました。その背景には、「1番 ⇔ 2番＋3番」だろうという思い込みがあります。

間違ってました。実際は「1番 ⇔ 2番＋3番＋4番」でした。つまり、1番を採用しないなら、2番、3番に加えて4番も公理に入れないとダメなんです。

「1番 ⇒ 2番＋3番＋4番」、つまり1番を仮定すれば残りの3つが出てくることはケリー（G. Max Kelly）が発見したそうです。簡単な等式的な変形かと思いきや、これは難しいです。次の古い（1993）論説の最初のほうに証明が書いてあります*1。

Title: Braided Tensor Categories
Authors: A. Joyal, R. Street
Pages: 59
URL:http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870883710558

「2番＋3番＋4番 ⇒ 1番」については、サーヴェデラ（Neantro Saavedra Rivano）が示したそうです。このことについては、ヨアヒム・コック（Joachim Kock; SDGのAnders Kockとは別人だが、赤の他人ではないようだ）が解説しています。

Title: Elementary remarks on units in monoidal categories
Author: Joachim Kock
Pages: 37
URL: http://mat.uab.es/~kock/cat/units1.pdf

モノイド圏の単位対象の定義は、けっこう難しい問題みたいです。1番にしろ「2番＋3番＋4番」にしろ、高次圏に拡張するには問題があるようです（よく知らんけど）。それで、別な定義が提案されています。

とりあえず、単位対象がない半モノイド圏(C, $\otimes$ )を考えます。Cの対象Uに対して、次の性質を定義します。

Uが左消約的（left cancellative）とは、U $\otimes$ X $\stackrel{\sim}{=}$ U $\otimes$ Y ならば X $\stackrel{\sim}{=}$ Y が成立すること。
Uが右消約的（left cancellative）とは、X $\otimes$ U $\stackrel{\sim}{=}$ Y $\otimes$ U ならば X $\stackrel{\sim}{=}$ Y が成立すること。
Uがモノイド・ベキ等対象（monoidal idempotent object）とは、U $\otimes$ U $\stackrel{\sim}{=}$ U であること。

左右の区別は逆にする人もいそうです。~~消約性のイコールは同型にしてもいいかも知れません。~~（[追記]同型に直しました。[/追記]）まーともかく、以上の準備のもとで、単位対象を「左消約的かつ右消約的なモノイド・ベキ等対象」として定義します -- 名前が長い！「消約ベキ等対象」でいいかな。この定義だと、高次化に都合がいいらしいです（よく知らんけど）。高次圏における単位対象や恒等射に関してはコックがまとめページを作っています。

http://mat.uab.es/~kock/cat/weakunits.html

モノイド圏に関する新しめの解説では、「単位対象＝消約ベキ等対象」としているものもあります。例えば：

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-769-topics-in-lie-theory-tensor-categories-spring-2009/lecture-notes/MIT18_769S09_lec01.pdf

λ, ρは後から定義して、冒頭の等式はすべて定理になります。特に、λ_I = ρ_I : I $\otimes$ I $\stackrel{\sim}{=}$ I は、最初に与えたベキ等性に一致します。

どうでもいいような細かい話の割には難しいので、現実的な態度としては、冒頭の4つの等式は最初から仮定して自由に使う、でいいんじゃないかと思います。

[追記]

以前「豊饒圏（ピノキオ）が圏（人間）になる物語」において：

δ = λ_I^-1 = ρ_I^-1 の証明はけっこう難しいようで、(I, δ, id_I) がコモノイドになることは一般的には自明ではありません。

と書いているので、λ_I = ρ_I は成立するが難しいことは知ってはいたんですね。

λ_I = ρ_I のGlobularによる証明があります→ http://globular.science/1512.002v1 （chorome推奨）-- これを眺めると、難しいことが実感できるでしょう。

[/追記]

*1:[追記]短いノートとしては、http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~pareigis/Vorlesungen/98SS/Quantum_Groups/LN3_2.PDF （9ページ）があります。Bodo Pareigisのコースの一部ですが、モノイド圏について簡潔にまとめられています。[/追記]