締切済み

合成関数の偏微分について

2009/03/04 02:12

z=f(x,y)で　　x=rcosθ　y=rsinθ　と置いたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)　 ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　となりますよね。次にこれらを　∂z/∂r = P　　　∂z/∂θ = Q　　とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r)　 ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)　を求めたいのですが ∂P/∂x　や　 ∂Q/∂x　を求めるときに cosθ(∂z/∂x)　についている　cosθ　や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　についている　r は定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を用いればよいのでしょうか？考えてみれば　cosθ = x/r　で　(x,r)の関数ですから　cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ　で　(x,θ)の関数ですから　rも偏微分できそうです。しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです何故だかさっぱりわかりません。どなたか知恵を貸していただけるとありがたいです。

alchemi99
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数学・算数
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arrysthmia
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2009/03/05 00:09 回答No.3

＞ cosθ = x/r　で　(x,r) の関数ですから　cosθ は x で偏微分できそうですし＞ r = x/cosθ　で　(x,θ) の関数ですから　r も偏微分できそうです。偏微分を考えるときには、「何を固定して」微分するのかを意識することが大切です。 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) という式で使うのであれば、 ∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに、∂/∂x は「y を固定」した偏微分です。 y を固定した ∂/∂x と、θ を固定した ∂/∂x は、別のものです。ですから、cosθ や r が x に従属するかどうかは、(x,y) の関数としてどんな関数かで考えねばならず、(x,r) や (x,θ) の関数として捉えても、直接には判りません。例えば r は、r = √(x^2 + y^2) ですから、∂r/∂x = x / √(x^2 + y^2) であって、 x について定数ではありません。これを r = x/cosθ で考えようとするならば、 ∂r/∂x = (∂/∂x)(x/cosθ) = (1/cosθ) + x (∂/∂x)(1/cosθ) = (1/cosθ) + x { (sinθ)/(cosθ)^2 }(∂θ/∂x) この右辺が恒等的に 0 でなければ、r は x について定数ではありません。＞しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです読み違いだと思います。

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info22
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2009/03/04 14:54 回答No.2

> z=f(x,y)で　　x=rcosθ　y=rsinθ　と置いたとき > ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)　 > ∂z/∂θ = r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} P,Qで置き換えないで考えた方が分かりやすいと思います。 ∂(∂z/∂r)/∂r = cosθ∂(∂z/∂x) /∂r+ sinθ∂(∂z/∂y)/∂r =cosθ{∂(∂z/∂x)/∂x(∂x /∂r)+∂(∂z/∂x)/∂y(∂y /∂r)} +sinθ{∂(∂z/∂y)/∂x(∂x/∂r)+∂(∂z/∂y)/∂y(∂y/∂r)} =cosθ{cosθ∂(∂z/∂x)/∂x+sinθ∂(∂z/∂x)/∂y} +sinθ{cosθ∂(∂z/∂y)/∂x+sinθ∂(∂z/∂y)/∂y} ={cos^2θ∂(∂z/∂x)/∂x+2sinθcosθ∂^2z/∂x∂y+sin^2θ∂^2z/∂y^2 ∂(∂z/∂θ)∂θ =r{d(-sinθ)/dθ(∂z/∂x) + d(cosθ)/dθ(∂z/∂y)} +r[(-sinθ)∂(∂z/∂x)/∂θ + cosθ∂(∂z/∂y)/∂θ] =r{d(-sinθ)/dθ(∂z/∂x) + d(cosθ)/dθ(∂z/∂y)} +r[(-sinθ){∂(∂z/∂x)/∂x(∂x/∂θ)+∂(∂z/∂x)/∂y(∂y/∂θ)} + cosθ{∂(∂z/∂y)/∂x(∂x/∂θ)+∂(∂z/∂y)/∂y(∂y/∂θ)}] =r{-cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)} +r[(-sinθ){cosθ∂^2z/∂x^2+sinθ∂^2z/∂x∂y} + cosθ{cosθ∂^2z/∂y∂x+sinθ∂^2z/∂y^2}] =r{-cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)} -sinθcosθ∂^2z/∂x^2+(cos^2θ-sin^2θ)∂^2z/∂x∂y + cosθsinθ∂^2z/∂y^2} となります。 P,Qで置き換えて偏微分した式と比較して見てください。一旦、rが式中にあるときはrでは微分しますが、θで微分する際はrは定数扱いになり、逆に θが式中にあるときはθでは微分しますが、rで微分する際はθは定数扱いになります。

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