>z=f(x,y)
>x=r cos(θ), y=r sinθ
>∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)
>∂z/∂θ = r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。
↑合っています。
>∂z/∂r = P, ∂z/∂θ = Q
>2階偏導関数
>∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r)
P=g(x,y,r,θ)なので、結果は同じですが
∂P/∂r=(∂g/∂r)+(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r)
=(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r)
であり
>∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)
Q=h(x,y,r,θ)なので↑は間違い。
∂Q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ)
です。
>を求めたいのですが
>∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに
>cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や
>r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は
定数として扱うべきなのでしょうか？
そうです。rもθも定数として扱います。
なので以下は考えなくてよいです。
>それとも変数とみて積の微分法を
>用いればよいのでしょうか？
>考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは
>xで偏微分できそうですし
>r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。
上述の式から
P=∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)
∂P/∂x=cosθ(∂^2(z)/∂x^2)+sinθ(∂^2(z)/∂y∂x)
∂P/∂y=cosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+sinθ(∂^2(z)/∂y^2)
∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) (=∂^2(z)/∂r^2)
=(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)
+sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)
=(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+2sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)
Q=∂z/∂θ=h(x,y,r,θ)=r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}
∂h/∂x=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x^2) + cosθ(∂^2(z)/∂y∂x)}
∂h/∂y=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x∂y) + cosθ(∂^2(z)/∂y^2)}
∂Q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ)(=∂^2(z)/∂θ^2)
=r{-cosθ(∂z/∂x) -sinθ(∂z/∂y)}
+r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)}
+r^2{-sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y) +(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)}
=-r{cosθ(∂z/∂x)+sinθ(∂z/∂y)}
+r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-2sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)+(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)}
