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２階微分方程式が解けません

2011/03/14 22:19

[y''+y'/x-y/x^2=0　を解け] という問題を見かけたのですが，どのように解けばいいのかわかりません． (1)２階微分方程式にyが含まれないときはy'=pとおき，y''=dp/dxとして解く． (2)d^2y/dx^2=ky(k：定数)のときは公式がある． (3)y''+ay'+by=R(x)(a,b：定数，R(x)：xのみの関数)のときは補助方程式の一般解と特殊解を求めて解くというのは教科書に書いてあったのですが，今回の問題はこの中のどの方法を使えば解けるのでしょか？解答にはy=Ax+B/x(A,B：任意定数)とあります．

marimmo-
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数学・算数
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c_850871
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2011/03/15 11:57 回答No.2

両辺にx^2をかけて x^2y"+xy' - y=0 として x=e^u とおきますと logx=u なので dy/dx=(dy/du)(du/dx) =(dy/du)(1/x) d^y/dx^2=d/dx(dy/dx) =d{(dy/du)(1/x)}/du ・ du/dx ={(d^2y/du^2)・(1/x) + (dy/du)・d/du(1/x)} ・ 1/x ↑積の微分法 ={(d^2y/du^2)・(1/x) + (dy/du) ・ d/dx(1/x)・dx/du} ・ 1/x ↑{}内の第2項に合成関数の微分法を適用 ={(d^2y/du^2)・(1/x) + (dy/du) ・d/dx(1/x)・1/(du/dx)} ・ 1/x ={(d^2y/du^2)・(1/x) + (dy/du)(-1/x^2)・x)} ・ 1/x ={(d^2y/du^2)・(1/x) + (-1/x^2)・x)} ・ 1/x (1/x^2){(d^2y/du^2)-(dy/du)} 以後y'，y"はuで微分した場合とします． x^2(d^2y/dx^2)+x(dy/dx) - y=0 ⇔x^2・(1/x^2)(y"-y') + x・y'/x - y=0 ⇔(y"-y')+y'-y=0 ⇔y"-y=0 ここまでくれば定数係数の二階線型常微分方程式となって出来ますね．

質問者

お礼 2011/03/21 12:41

ありがとうございます．順を追ってみると分かりました．最後にまたe^u=xと戻すところがコツなのですね．これからもよろしくお願いします．

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puusannya
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2011/03/15 16:26 回答No.3

y''+y'/x-y/x^2=0　は(3)で考える補助方程式そのものですね。この式を満たす特殊解が　y=x　ですから y=ux　とおくと　y'=u'x+u　、y''=u''x+2u' これらを元の式に代入して分母を払うと、 u''x^3+3u'x=0　より　u''+3(1/x)u'=0 この式を　u'　について解くと u'=m/x^3 　　(v=u'とおきV'=u''とを代入して変数分離形と考えて、積分を実行して求めました。) 積分をして　u=n/x^2 　　(ここも同様です) 　　　故に　一般解は　y=Ax+b/x 実際には　y=1/x　も特殊解ですから、これも見つけると計算なく答えが出るのかなと思いますが。

質問者