SIGraDi 2017, XXI Congreso de la Sociedad Ibero-americana de Gráfica Digital
22 – 24 Noviembre, 2017 – Concepción, Chile.
Modelagem Paramétrica da Geometria Complexa de Estruturas
Regenerativas na Arquitetura
Parametric Modeling of Complex Geometry of Regenerative Structures in Architecture
Janice de Freitas Pires
Universidade Federal de Pelotas, Brasil
janicefpires@hotmail.com
Alice Theresinha Cybis Pereira
Universidade Federal de Santa Catarina, Brasil
acybis@gmail
Abstract
The regenerative architecture emerges with an approach beyond the sustainability of buildings, seeking to extend the relationship
with the environment, in order to promote the regeneration of living systems, through a complete understanding of the place to
design regenerative structures. In this work, with a didactic objective, a study is carried out on the principles of regenerative
architecture and its association with recurrent complex geometries in nature, structuring parametric modeling processes of such
geometries.
Keywords: Regenerative architecture; Complex geometry; Teaching architecture; Parametric modeling.
Introdução
Nas últimas cinco décadas, principalmente devido ao
crescimento dos problemas ambientais que causam uma
profunda preocupação em toda humanidade, o conceito de
sustentabilidade tem sido amplamente incorporado na
arquitetura. Gonçalves e Duarte (2006, p. 52) se referem a um
período da história da arquitetura no qual a tecnologia de
sistemas prediais foi impulsionada pela crença de que
ofereceria meios para o controle total das condições
ambientais de qualquer edifício, em detrimento ao uso da
arquitetura bioclimática. A partir das preocupações com o
consumo de energia, originadas na década de 1970, o tema
da arquitetura sustentável evoluiu para outros aspectos do
impacto ambiental da construção, como o gerado pelos
processos de industrialização dos materiais e a busca por
sistemas prediais mais eficientes.
Littman (2009), no entanto, aponta que sustentabilidade na
arquitetura, como é entendida pela sociedade moderna hoje,
é uma medida insuficiente para o projeto de arquitetura, atual
e futura. O autor destaca que a entrada contínua de energia e
recursos em uma estrutura para o funcionamento saudável e
completo não é sustentável por qualquer meio e que o
paradigma atual em arquitetura é a degeneração e o emprego
de tecnologias obsoletas. Na concepção regenerativa, o único
meio de um edifício ser "além de sustentável”, ou seja,
“regenerativo", é ter o potencial para a integração do mundo
natural como um parceiro igual. O projetista deve assim
conhecer o lugar em um nível íntimo e profundo com base nos
padrões, forças e energias existentes, que desenvolvem um
retrato único de tal local. Os dados tangíveis, revelados por
sua dinâmica, são então usados como as informações
generativas da arquitetura.
Em face da relevância e atualidade do tema, identifica-se a
necessidade de tratar tais conceitos no contexto formativo da
arquitetura. Para tanto, uma das abordagens iniciais, segundo
Bertol (2011), é o próprio conhecimento da geometria
associada às estruturas da natureza, como resultado de um
diagrama de forças que interagem em tal lugar (Thompson,
1917).
Este trabalho tem o objetivo de sistematizar o conhecimento
associado à geometria das formas naturais e utilizar este
conhecimento como uma ontologia de apoio para a
modelagem paramétrica da geometria da arquitetura
contemporânea direcionada a regeneração.
Princípios de Design Regenerativo
As seguintes ideias que serão expostas fazem parte dos
estudos desenvolvidos em Littmann (2009), o qual buscou
traçar alguns princípios para projetos de regeneração na
arquitetura. Segundo o autor, compreender o funcionamento
do meio natural é uma das premissas da arquitetura
regenerativa. Neste contexto, a arquitetura regenerativa
envolveria o mundo natural como meio gerador da arquitetura,
empregando uma compreensão completa e abrangente dos
sistemas naturais e de vida no projeto de uma estrutura.
A análise do local, segundo Littmann (2009), exerce um papel
central no desenvolvimento de um projeto de concepção
regenerativa. Para o autor isso ocorre em parte porque os
tecidos são construídos em torno do fluxo de energia e
tornam-se a expressão física ou forma de realização
(personificação) desta energia. Neste processo, a natureza
essencial do fluxo e a correspondente natureza do meio
através do qual ele passa determinam a sua expressão na
forma. A percepção de lugar como um conjunto de padrões e
sistemas interdependentes é o primeiro passo que o projetista
deve dar no processo de concepção regenerativa.
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caracterização que pode ser aplicada para a maioria dos
fenômenos e objetos do mundo real.
Como um dos princípios orientadores para a regeneração, o
autor destaca a integração dos sistemas inteiros de design,
que está amparada nos seguintes critérios: Todos os sistemas
e entidades são contabilizados e incorporados no projeto geral
do sistema; Todos os sistemas estão envolvidos em
comunidades de relações de apoio mútuo; Cada uma das
entidades do sistema deve desempenhar mais do que uma
função ou satisfazer mais do que uma necessidade dentro do
sistema (multiplicidade); cada necessidade dentro do sistema
é recebida com mais de uma solução, não existindo uma única
solução para o seu funcionamento (redundância). Por
exemplo, a aquisição de energia utilizável por meio de mais
de uma solução (energia solar, eólica ou biomassa) fortalece
o sistema, em termos energéticos, pois permite solidificar a
entrada de energia, tornando-o mais confiável, eficiente e
benéfico.
A autora destaca que as formas e os padrões podem
oferecer um meio potente para interpretar os fenômenos
que ocorrem na natureza (desde a biologia, química,
física, geometria, zoologia, biofísica e ciências dos
materiais). Podem assim oferecer modelos conceituais
para a concepção de formas artificiais.
Outro princípio apontado pelo autor é da integração na
paisagem, em que se destacam as seguintes ideias: a análise
do local, seus elementos e sistemas naturais são a base
geradora do projeto; a habitação e integração paisagística
criam uma nova unidade / entidade inteira; a construção da
habitação é naturalmente artificial ou artificialmente natural,
tendo-se, na arquitetura regenerativa, a necessidade de
transpor-se a lacuna entre o artificial e o natural, fazendo-se
uma síntese da relação entre os dois.
Um importante conceito geométrico apontado por Bertol
(2011) como recorrente na natureza são os triângulos e
hexágonos como formas fundamentais para o equilíbrio. Em
estática, o triângulo é a figura de base para alcançar o
equilíbrio estrutural. Na arquitetura, as geodésicas propostas
por Buckminster Fuller são um exemplo de aplicação desta
abordagem. Segundo a autora, este princípio de equilíbrio
pode ser alargado a processos biológicos, tais como a divisão
celular e crescimento.
A definição de D’Arcy Thompson (1917) da forma como ‘um
diagrama de forças’ é entendida em Bertol (2011, pág. IV)
como “um ponto de partida para um discurso arquitetônico
contemporâneo, em que a definição das formas no ambiente
construído deva ser impulsionada por intuição estrutural em
um diálogo entre geometria, estética e materiais”.
O princípio dos limites inteligentes estabelece que cada
programa tenha um limite mínimo exigido, com uma máxima
potencialmente infinita. O projeto reflete o equilíbrio do
programa e cada material e espaço é potencialmente
maximizado e integrado em todo o seu potencial de entrada
líquida positiva no sistema. A noção de "Limites inteligentes"
é crucial para o processo de design, pois garante que o
equilíbrio possa ser cumprido dentro do sistema, sem limitar o
potencial de regeneração dentro do sistema.
O princípio da construção inteligente refere-se à construção da
arquitetura, bem como a construção de sistemas e o local;
respeita a eficiência dos materiais, maximização de seu
potencial e construtibilidade.
O princípio da ecologia ousada (Bold Ecology) refere-se à
implementação e proliferação de sistemas ecológicos que
executam múltiplas funções, são regenerativos e fornecem
uma produção líquida positiva.
Na próxima seção serão discutidas algumas estruturas
recorrentes na natureza que tem potencial para integrar estes
princípios.
Estruturas naturais regenerativas
Bertol (2011) aponta que a natureza é uma tendência que
leva a uma abordagem interdisciplinar em design. Para a
autora, a beleza das formas encontradas na natureza é
reforçada pela sua funcionalidade, pois além da inspiração
estética, oferece estratégias de design e eficiência estrutural.
“As ciências naturais têm um papel importante em ajudarnos a compreender a lógica do mundo natural e oferecem
muitas lições para o desenho de formas artificiais” (Bertol,
2011, p. IV). A geometria assim possui uma estrita relação
com a estrutura de tais formas, englobando uma
Figura 1: Radiolária desenhada por E. Hackel (1872) e forma
geodésica do Planetário em Jena (C. Zeiss)
Fonte das imagens: (2009) Perez-Garcia e Gómez-Martínez
Bertol (2010) relata que Plateau ao fazer suas observações
em bolhas de espuma de sabão identificou que estas no plano
bidimensional se cruzam em três vértices de um ângulo que
tende a ser de 120° e em três dimensões, via quatro vértices
semelhantes aos ângulos de um tetraedro. Posteriormente
aos experimentos de Plateau, D'Arcy Thompson (1917)
reconheceu que os mesmos princípios geométricos se
aplicam a células vivas, que seguem os princípios da tensão
superficial com base na eficiência energética: Células
hexagonais convergindo em agregados a cerca de ângulos
120° são uma característica muito comum de formas na
natureza.
Os experimentos de Plateau com formas de bolhas de sabão
e sua configuração evoluiu para o desenvolvimento de uma
teoria de uma classe especial de superfícies recorrentes na
natureza, denominadas de superfícies mínimas. Este teoria
teve grande impulso a partir da metade do século XIX e
principalmente no século XX, com a evolução da dinâmica
de fluidos, na física, e sistemas complexos, na matemática
(Bertol, 2011). Uma superfície mínima é a superfície que
possui menor área para um dado contorno fixo (Osserman,
1986).
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O hexágono tem a propriedade de minimizar áreas de
superfícies, assim como ocorre com as superfícies mínimas
descobertas por Plateau. O padrão hexagonal é descrito
como ladrilho de área de superfície mínima: com este
padrão, as abelhas minimizam a quantidade de cera
necessária para a construção da colmeia (Bertol, 2011). A
autora destaca que o favo de mel é um exemplo perfeito de
uma forma gerada como resposta à eficiência estrutural e
economia de material.
Outro exemplo apontado por Bertol de estrutura natural que
integra os conceitos anteriormente citados é de uma radiolária
(organismos unicelulares, caracterizados por um esqueleto
mineral, que na maioria dos casos é feita de sílica - dióxido
de silício). A Callimetra Nassellaria, desenhada por Haeckel
(Figura 02), tem a forma de um tetraedro esférico, com as
faces que se assemelham as superfícies experimentadas
por Plateau para a definição das superfícies de área mínima.
flexibilidade, a integração, a continuidade ou a autotensão,
envolvidos em alguns exemplos. Estes se configuram
geralmente nas estruturas de pneus, conchas, árvores, teias
e esqueletos.
Os autores esclarecem que as estruturas pneumáticas são as
mais eficientes em termos de espaço / peso, sendo
estabilizadas por si mesmas por terem um envelope dúctil
tensionado, internamente pressurizado por um fluido e
rodeado por um meio. Dessa maneira, se caracterizam como
uma estrutura muito adaptável, que pode facilmente mudar a
sua forma para acomodar a geometria circundante (PerezGarcia e Gómez-Martínez, 2009). Para os autores, na maioria
dos casos, as estruturas finais da natureza, tais como ovos,
ossos, esqueletos, conchas e teias, é apenas a solidificação
de pneus.
Outra qualidade das estruturas pneumáticas, destacada por
Perez-Garcia e Gómez-Martínez (2009), é a maneira como
elas se combinam para produzir grades ideais com
comportamento de menos energia, sendo estruturalmente e
energeticamente eficientes. Segundo Bertol (2009) pode se
identificar a ocorrência de partições uniformes do espaço
também associadas a alguns tipos de superfícies
mínimas (Bertol, 2011), tal como a superfície de Schwarz,
que é triplamente periódica. Ela se configura por translação
de um elemento básico segundo uma grade regular (figura
03). Osserman (1986) destaca que está é a única superfície
mínima obtida por translação.
Figura 2: Radiolária Callimetra desenhada por E. Hackel (1872) com
a forma de um tetraedro esférico e superfície mínima.
Fonte: Bertol (2011)
A autora ainda cita outras ocorrências de padrões hexagonais
que exercem princípios de equilíbrio e eficiência
estrutural, tais como o das asas das libélulas e da lama
rachada de formações geológicas.
Para Allgayer (2009) a questão fundamental em superfícies
mínimas é o equilíbrio de tensões. Segundo o autor, as
configurações que são assumidas decorrem da busca em
anular as forças externas e internas que atuam sobre os
limites físicos da matéria que constitui estas superfícies. Ao
buscar o equilíbrio, a superfície de área mínima é
configurada, como o objetivo de alcançar o melhor
aproveitamento de sua tensão superficial. Desta maneira,
estas superfícies caracterizam-se pela redução de material,
pela otimização das tensões de trabalho e por atuarem no
equilíbrio energético.
Perez-Garcia e Gómez-Martínez (2009) identificaram que os
arranjos mais usuais na natureza são controlados por quatro
fatores principais: a natureza das forças, a forma global, o
design local e a qualidade do material. Segundo os autores,
estes fatores determinam a geometria. No entanto,
parâmetros adicionais, tais como padrão ou iluminação do
material, irão influenciar outras características gerais como a
Figura 3: Superfície mínima triplamente periódica.
Fonte:
http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Triply/genus3/PLines/web/
index.html
Superfícies mínimas na Arquitetura
Gaudì e Frei Otto utilizaram largamente o princípio
anteriormente descrito ao propor suas estruturas para
arquitetura. Para Frei Otto, sendo o pneu o sistema
responsável do crescimento, a forma definitiva é recorrente de
um arranjo chamado de funicular, o qual é produzido pelas
cargas no pneu flexível. Segundo Perez-Garcia e GómezMartínez (2009), este é um processo tecnológico muito
elevado de encontrar a forma ótima. Tendo a propriedade de
superfícies mínimas, as tensões superficiais são semelhantes
em todas as direções, como foi experimentado nas tendas de
tração de Frei Otto no século XX. Meio século antes de Otto,
no final do século XIX, Gaudì, influenciado por tais ideias,
trabalhou com modelos físicos para encontrar a forma ótima
em arranjos funiculares, com o objetivo de conceber projetos
de estruturas geométricas complexas e ao mesmo tempo de
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alto desempenho estrutural (Figura 04), como na Colônia
Güell e na Sagrada Família.
Figura 4: Modelo funicular utilizado por Gaudì.
Fonte: https://www.quora.com/What-is-Funicular-geometry-What-isits-significance-in-Structures-in-Architecture
Na arquitetura contemporânea notadamente dos últimos 20
anos, modelos funiculares de superfícies mínimas têm sido
empregados como princípio de encontrar a forma ótima, para
critérios estruturais e de equilíbrio, além de economia de
material. Exemplos são o Main Station Stuttgart, na Alemanha,
e o Australian Wildlife Health Centre na Austrália (Figuras 05
e 06).
O Main Station de Ingenhoven architects é uma estação de
passagem que conecta várias ferrovias no centro da cidade
de Stuttgart, Alemanha. Segundo Burry & Burry (2010), a
superfície da estação segue o uso de superfícies que são
encontradas fisicamente pela suspensão de uma rede de
corrente que irá conformar, após ser submetida à deformação
pela gravidade, uma superfície mínima. A superfície mínima
encontrada para o projeto da estação foi posteriormente
refinada por métodos de cálculo complexo utilizando um
software de elementos finitos (FEM). O objetivo foi resolver
duas questões principais (Burry & Burry, 2010): O primeiro é a
questão da economia estrutural e material, e o segundo é a
provisão de luz e ar para o vasto espaço subterrâneo, sem
criar consumo de energia significativo ou poluição de carbono.
O autor ainda destaca que tais superfícies podem ser
formadas em torno de um orifício, chamado "olho", no qual um
funil como cálice é formado como uma unidade modular
protótipa. Isto permitiu combinar telhado, suporte vertical e
abertura para o céu em uma única superfície mínima (Figura
05). Um telhado de casca contínua cobriria todo o espaço
subterrâneo, admitindo luz natural e ventilação em todos os
lugares através dos olhos cálice. Burry & Burry (2010)
descrevem que, para descobrir como múltiplos suportes de
cálice e paredes de calha interagiriam juntos em uma estrutura
contínua de telhado, foi construído um modelo de corrente
física suspensa em forma de malha quadrilateral. Esta foi
ancorada nos pontos alto e baixo e permitiu deformar sob seu
peso próprio para dar uma forma em pura tensão. Quando
invertida e feita rígida, esta mesma forma de superfície
distribui forças na compressão pura, minimizando a
profundidade e a necessidade de reforço de aço na casca. A
proposta em formato de “olho” e “cálice” se baseou em
modelos desenvolvidos por Otto, sendo este arquiteto o
consultor técnico para a definição da superfície da estação.
Figura 5: Na parte superior, o interior do Main Station Stuttgart e
uma seção da estrutura de superfície mínima; Na parte inferior,
modelo funicular da superfície mínima da estação.
Fonte: http://www.ingenhovenarchitects.com/projects/moreprojects/main-station-stuttgart/?img=1
O Australian Wildlife Health Centre (Figura 06) é um
ambulatório para o tratamento dos animais nativos na
Austrália, em que foi empregada a superfície mínima
descoberta pelo matemático brasileiro Celso Costa, em 1982.
De acordo com Burry e Burry (2010), esta superfície mínima é
do gênero 3, o que significa que possui três furos, com três
oculi (aberturas redondas) que trazem a luz natural no pátio e
que atuam como chaminés solares. Estas aberturas criam três
clarabóias que são distribuídas uniformemente ao redor do
principal espaço de visão do ambulatório. Topologicamente a
superfície de Costa é derivada de um toro circular (um pneu),
em uma transformação em que três pontos do toro são
lançados ao infinito (Carmo, 1987) conforme as imagens da
Figura 06.
Figura 06: Na parte superior, Australian Wildlife Health Centre, do
arquiteto Paul Minifie, Austrália; Na parte inferior: A topologia da
superfície de Costa.
Fonte: http://www.behmerwright.com.au/projects/australian-wildlifecentre-healesville/; http://www.archello.com/en/project/australianwildlife-health-centre/image-2;
https://victorcdt.wordpress.com/2013/09/08/12/
A teoria das superfícies mínimas evolui desde os primeiros
estudos de Lagrange e os experimentos de Plateau com
bolhas de sabão em 1850 para modelos mais complexos,
encontrados principalmente nos séculos XIX e XX. A palavra
mínima, segundo Carmo (1987), está relacionada com o
seguinte problema proposto por Lagrange em 1760: Dada
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uma curva fechada C (sem auto-interseções), achar a
superfície de área mínima que tem esta curva como fronteira.
A primeira superfície mínima, o plano, foi definida
matematicamente por Lagrange. No entanto, a fórmula de
Lagrange que permitiu esta definição não pode ser aplicada
para encontrar a área mínima superficial para qualquer tipo de
curva fechada, em uma generalização.
Em 1764, Euler descobriu uma superfície que apresentava
para um dado volume a menor área de superfície possível – o
catenoide. Esta superfície é obtida pela revolução de uma
curva catenária em torno de um eixo ortogonal ao eixo de
simetria da curva (da esquerda para a direita, primeira imagem
da Figura 07 na parte superior).
Em 1776, Jean Baptiste Meusnier descobriu o Helicoide e
provou que era também uma superfície mínima. O nome é
derivado da curva hélice; Para cada ponto no helicoide, existe
uma hélice que passa através desse ponto. O Helicoide
compartilha algumas propriedades interessantes com o
Catenoide, tais como a habilidade de dobrar um no outro sem
rasgar a superfície (da esquerda para a direita, segunda
imagem da Figura 07 na parte superior).
Em 1834, Heinrich Ferdinand Scherk descobriu duas outras
superfícies mínimas, que foram chamadas de Scherk's First
Surface e Scherk's Second Surface. A primeira superfície é
duplamente periódica, enquanto a segunda é apenas
individualmente periódica. As superfícies são conjugadas
entre si (da esquerda para a direita, terceira e quarta imagem
da Figura 07 na parte superior).
Em 1855, como parte de seu trabalho sobre superfícies
regulares mínimas, o matemático belga Eugene Charles
Catalan criou uma superfície mínima contendo toda uma
família de parábolas, agora chamada de superfície mínima
catalã (da esquerda para a direita, primeira imagem da Figura
07 na parte inferior).
Em 1864, Alfred Enneper descobriu uma superfície mínima
conjugada a si própria, agora chamada Superfície Enneper
(Verzea, 2012). Ela é uma superfície mínima completa com
duas linhas retas em sua estrutura, sendo que esta superfície
não é incorporada, ou seja, ela possui autointerseção (da
esquerda para a direita, segunda imagem da Figura 07 na
parte inferior).
Até 1982, as únicas superfícies mínimas incorporadas e de
curvatura total finita eram o plano, o catenoide e o helicoide.
Em 1982, Costa encontrou outra superfície com estas
propriedades, a qual esta ilustrada na Figura 07, da esquerda
para a direita, a terceira imagem na parte inferior. Ele
desenvolveu um estudo que permitiu definir sua superfície
como a primeira de genus 3, que corresponde a três punções
sobre a superfície, com curvatura total finita e incorporada, ou
seja, sem autointerserção (Carmo, 1987).
Figura 07: Catenoide, Helicoide, Primeira e Segunda superfícies de
Scherk, Superfície de Catalã, Enneper e Superfície de Costa.
Fonte: https://www2.le.ac.uk/departments/mathematics/extranet/staffmaterial/staff-profiles/kl96/stuff/lopez-ros-deformation-of-thecatenoid/view;
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/H/helicoid.html
http://numod.ins.unibonn.de/grape/EXAMPLES/AMANDUS/GIF/towersym.gif;
https://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/catala
n.html; http://www.indiana.edu/~minimal/maze/enneper.html;
http://www.eg-models.de/models/
Estas e mais outras superfícies mínimas foram descritas entre
os séculos XIX e XX, utilizando-se da geometria diferencial e
do cálculo por variáveis complexas, além da descrição
paramétrica de superfícies. No entanto, segundo Carmo
(1987), estes desenvolvimentos matemáticos não permitiram
encontrar uma solução global para o problema de Lagrange.
Estes primeiros exemplos, exceto a de Costa, segundo
Verzea (2012), integram superfícies mínimas cujas
parametrizações são simples. O autor destaca que a
superfície mínima descoberta por Celso Costa em 1982
possui uma parametrização bem mais complexa, mesmo
pertencendo em álgebra ao mesmo grupo diédrico de
simetrias. Enquanto Costa foi o primeiro a ter imaginado a
superfície e tê-la descrito por meio de funções elípticas
(Carmo, 1987), parametrizá-la seria muito difícil e a primeira
parametrização teve que esperar até 1986 (Verzea, 2012).
Outra questão a destacar é que esta superfície só pode ser
visualizada em 1986 quando David A. Hoffman e William H.
Meeks inseriram sua descrição paramétrica em um programa
gráfico computacional (Carmo, 1987). Em tal momento foi
possível identificar a beleza da superfície e suas simetrias
rotacionais e de reflexão (Figura 10).
Na sequência, serão desenvolvidos processos de modelagem
paramétrica destas superfícies com um enfoque didático para
aplicação na arquitetura.
A modelagem paramétrica de
superfícies mínimas
Compreender a geometria complexa que conformam algumas
superfícies presentes na natureza, tal como as de superfícies
mínimas, é o primeiro passo para representar
parametricamente estruturas naturais com potencial
regenerativo para arquitetura.
Tais modelos paramétricos de estruturas geométricas
regenerativas podem ser usados para suportar: a atividade de
análise de padrões que moldam as formas do local, no sentido
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de compreender como estes padrões influenciam nos
processos de regeneração; a avaliação de desempenho das
estruturas quanto ao condicionamento térmico do edifício
projetado; a proposição formal de estruturas em um processo
generativo, alcançado por meio de técnicas paramétricas de
representação digital (Pires et al, 2016).
Para Bertol (2011), a criação de modelos digitais é a etapa
inicial deste processo. Para a autora, por meio dos
modelos digitais se podem gerar vários níveis de
complexidade em diferentes escalas do mesmo modelo.
Os modelos digitais incorporam propriedades e atributos
que podem definir uma forma não apenas em seus
aspectos geométricos, mas também como uma
configuração dinâmica que muda com o tempo, definindoos quase como um organismo vivo. A autora entende que
as representações computacionais contemporâneas
trazem ideias para a interpretação das formas naturais.
Nesse contexto, a exploração de uma forma orgânica deve ir
além do seu valor representacional, integrando o seu modelo
computacional em vários aspectos, o que exige um
conhecimento aprofundado de modelos (por exemplo, para
simulações de aspectos físicos em interação com geometria e
materiais).
No presente trabalho, o estudo será focado na
representação da geometria em seus aspectos
conceituais. Para tanto, foram desenvolvidos processos
de modelagem paramétrica da geometria de algumas das
superfícies mínimas descritas na seção anterior: o
catenoide, o helicoide e a superfície mínima descoberta
por Costa. Desde que estas superfícies possuem
propriedades
interessantes
do
ponto
de
vista
arquitetônico, considera-se que a representação
paramétrica destas superfícies fornece uma estrutura de
saber que auxilia a compreender a geometria complexa
de estruturas regenerativas para arquitetura.
por programação visual, desenvolvida no plug-in
Grasshopper junto ao software Rhinocerus. Nesta figura,
foram destacados com retângulos na cor verde cada um
dos componentes principais que integram a estrutura
geométrica da superfície: a geratriz catenária, o eixo de
revolução e o tipo de processo de geração, por superfície
de revolução. O eixo de revolução foi definido por uma
curva orientada (SDL) no eixo z (uma reta vertical) e a
revolução (RevSrf) exigiu informar os parâmetros: perfil
para a revolução (P), neste caso a curva catenária, o eixo
de revolução (A) e um domínio (D), que é dado pelo
ângulo de revolução, neste caso, 360°.
Figura 08: Representação paramétrica de um catenoide.
Fonte: Elaboração própria.
Modelagem paramétrica do helicoide
A modelagem paramétrica pode ser desenvolvida com
base em vários tipos de representação, tais como: pelos
elementos principais da superfície (geratrizes e diretrizes)
e os processos de geração; por descrição paramétrica; e
por simulação das condições físicas que as conformam
(expansão e relaxamento de superfícies topologicamente
equivalentes). Neste trabalho será apresentado o primeiro
tipo de representação, aquele em que as superfícies
serão conformadas por meio da modelagem de seus
elementos principais e os seus processos de geração.
Modelagem paramétrica do catenoide
Considerando-se o catenoide como a superfície gerada
pela revolução de uma curva catenária em torno de um
eixo ortogonal ao seu eixo de simetria, representou-se
inicialmente a curva catenária geratriz da superfície. Os
parâmetros de representação da curva catenária são: os
pontos inicial e final da curva (A) e (B); o comprimento da
curva (L) e a direção da gravidade (G), que neste caso
encontra-se no eixo y, já que a curva foi orientada
lateralmente para a revolução em torno de um eixo
vertical.
A figura 08 ilustra o processo de representação do
catenoide e a correspondente representação paramétrica
O Helicoide é uma superfície gerada por uma reta que se
apoia em diretrizes hélices, sendo da classe de superfícies
regradas (Pottmann et al, 2007) ou denominada de retilíneas
de acordo com a classificação de Gaspar Monge adotada em
Rodrigues (1960). Nesta classe, se tem os helicoides
desenvolvíveis e não desenvolvíveis, sendo estes últimos
denominados de helicoides de plano diretor, devido ao fato da
geratriz reta se manter, durante o movimento de geração,
paralela a um plano diretor (Rodrigues, 1960). Este é o
helicoide de superfície mínima.
Segundo Pottmann et al (2007), a hélice é uma curva descrita
simultaneamente por movimentos de translação e rotação: os
pontos que conformam a curva têm uma translação ao longo
de um eixo z e uma rotação ao redor do mesmo eixo. Estas
helices se encontram configuradas sobre as superfícies de
cilindros, cones ou esferas e, dentre estas, a hélice cilíndrica
é definida como uma curva geodésica. Tal curva é o caminho
mais curto entre dois pontos de uma superfície (Pottmann et
al, 2007). No caso do cilindro, ao ser planificado, a hélice se
corresponde a imagem de uma linha reta, que é o caminho
mais curto entre dois pontos de um plano. Na figura 09 se tem
a representação do helicoide não desenvolvível, que é gerado
por uma reta apoiada em duas hélices cilíndricas, ou em uma
hélice cilíndrica e um eixo, mantendo-se paralela a um plano
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diretor horizontal. Para representar as hélices cilindricas,
incialmente foi gerada a superfície de um cilindro, a partir de
dois arcos deslocados um em relação ao outro no eixo vertical
e a geração da superfície entre os arcos por superfície regrada
(ruled surfaces). Sobre esta porção de superfície cilíndrica foi
extraida a curva geodésica entre dois pontos da superfície. A
seguir foi feita uma cópia desta geodésica por equidistância
(of set), para representar a segunda geodésica (hélice
cilíndrica) que irá conformar a superfície do helicoide.
Finalmente o helicoide foi gerado por superfície regrada (ruled
surface) em que as curvas de base são as duas hélices
cilindricas obtidas como geodésicas de uma porção de um
cilindro. Na mesma figura 09, na parte inferior, está ilustrada a
programação de todo o processo de geração.
A Figura 10 apresenta: na primeira linha, as imagens utilizadas
para o desenvolvimento da análise da superfície; na segunda
linha, o modelo de Hoffmann e Meeks seccionado para obter
as curvas geratrizes da superfície; na terceira linha, as curvas
e uma porção da superfície, modeladas parametricamente, a
qual se repete em simetrias para formar a sua totalidade; na
quarta linha, a programação para gerar a curva catenária que
conforma a superfície; e na quinta linha, a programação
inteira, com as curvas geratrizes, a geração das porções de
superfície, as três transformações de reflexão, uma de
translação e uma de rotação.
Figura 09: Representação paramétrica de um helicoide.
Fonte: Elaboração própria.
Modelagem paramétrica da superfície de Costa
A superfície de Costa é uma superfície dita com três fins: dois
deles são em catenoide e um deles é planar, o que indica a
presença de linhas retas nesta superfície (Carmo, 1987). Além
disso, conforme já mencionado, ela possui simetrias de
rotação e translação, resultando na possibilidade de
otimização da modelagem. Para desenvolver o processo de
modelagem, foi feita inicialmente uma análise da geometria
desta superfície, por meio das seguintes atividades: análises
das simetrias e das curvas geratrizes e diretrizes a partir de
imagens disponibilizadas na web e diretamente sobre o
modelo digital desenvolvido por David A. Hoffman e William H.
Meeks, disponível em http://www.eg-models.de/models/.
A partir desta análise identificou-se a presença de dois arcos
circulares, uma curva catenária inclinada 13 graus em relação
ao eixo z e uma curva que se encontra unida a uma reta. Estas
curvas foram representadas com os componentes: arco (Arc);
catenária (Cat); curvas NURBS (Nurbs); e reta (Line). Com
estas linhas representadas, gerou-se a superfície por
varredura, com o componente Net surface. A esta porção de
superfície foram aplicadas três transformações de
espelhamento (Mirror): a primeira no plano yz; a segunda, no
plano xz; e a terceira no plano xy. Por fim, foi feita uma rotação
(Rotate) de 90 graus de uma das composições obtidas para
completar a totalidade da superfície.
Figura 10: Representação paramétrica da superfície de Costa.
Fonte: http://www.indiana.edu/~minimal/essays/costa/index.html;
http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Tori/Tori/Costa/web/index.ht
ml; http://profs.sci.univr.it/~baldo/tjs/costa.html; Elaboração própria.
Resultados
Os resultados ainda são parciais, mas indicaram que a
sistematização de processos de modelagem paramétrica das
geometrias associadas às estruturas naturais exigiu detalhar
SIGraDi 2017, XXI Congreso de la Sociedad Ibero-americana de Gráfica Digital
22 – 24 Noviembre, 2017 – Concepción, Chile.
em um nível mais profunda as caracterizações apresentadas
pelos autores de referência. O processo de revisão deste
conhecimento envolveu principalmente a área da matemática,
e seus resultados mais significativos foram tornar possível
sistematizar novas estruturas de saber de geometria e
modelagem paramétrica para inserção no ensino de
arquitetura.
O desenvolvimento dos processos de modelagem paramétrica
apresentados neste trabalho exigiu compreender os tipos de
curvas envolvidas nas estruturas geométricas de superfícies
complexas que possuem potencial de regeneração na
arquitetura. Mesmo que as representações apresentadas
caracterizem-se por ser de base conceitual, não abordando
saberes mais específicos de cálculo matemático que
envolveria álgebra, funções ou descrição paramétrica de
curvas, e a lógica de programação, considera-se serem
importantes para didaticamente explicitar estas geometrias.
Também é importante destacar as estruturas de saber
apresentadas em Littmann (2009) e Bertol (2010), as quais
podem ser amplamente associadas aos conceitos
geométricos que envolvem as superfícies representadas.
Para cada uma das abordagens estudadas, estão sendo
estruturadas taxonomias específicas e também aquelas
relativas aos conceitos matemáticos e as técnicas e
tecnologias de modelagem paramétrica de definição da
geometria abordada. A estruturação de taxonomias da
geometria complexa recorrente na arquitetura contemporânea
faz parte de uma pesquisa de doutoramento e tem objetivos
didáticos para o ensino de arquitetura.
Considerações Finais
Segundo Perez-Garcia e Gómez-Martínez (2009), a natureza
desenvolve as suas estruturas a fim de alcançar sempre
soluções energéticas ideais em longo prazo. O conhecimento
sobre estruturas da natureza permite assim aprender sobre a
morfologia ótima, integração funcional e eficiência, atributos
relacionados com a sua geometria.
A explicitação dos aspectos teóricos e das técnicas de
modelagem paramétrica de tais geometrias constituirá uma
estrutura de conhecimento explícita e sua associação com
aspectos regenerativos da arquitetura contemporânea,
permitindo seu uso didático em contextos de formação em
arquitetura.
Agradecimentos
Agradecemos a Universidade Federal de Santa Catarina pela
oportunidade de desenvolver esta pesquisa em nível de
doutoramento.
Referências
Allgayer, R. (2009). Formas naturais e estruturação de superfícies
mínimas em arquitetura. Dissertação de mestrado. Universidade
Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre. 157 p. Disponível em:
http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/24723?show=full Acesso:
maio 2017.
Bertol, D. (2011) Form Geometry Structure: from nature to design.
Exton, Pennsylvania: Bentley Institute Press.
Burry.J. Burry, M. (2010). The New Mathematics of Architecture.
London: ed. Thames e Hudson.
Carmo, M. P. (1987). Superfícies Mínimas. Rio de Janeiro: Instituto de
matemá tica pura e aplicada
Gonçalves, J. C. S.; Duarte, D. H. S. (2006) Arquitetura sustentável:
uma integração entre ambiente, projeto e tecnologia em
experiências de pesquisa, prática e ensino. Sustainable
architecture: integration among environment, design and
technology in research, design practice and education. Ambiente
Construído, Porto Alegre, v. 6, n. 4, p. 51-81 out./dez. 2006. ISSN
1415-8876, Associação Nacional de Tecnologia do Ambiente
Construído.
Disponível
em:
http://www.seer.ufrgs.br/index.php/ambienteconstruido/issue/vie
w/289 Acesso em: maio 2015.
Littman, J. A. (2009) Regenerative Architecture: A Pathway Beyond
Sustainability. Dissertação de Mestrado. University of
Massachusetts
–
Amherst.
68
p.
Disponível
em:
http://scholarworks.umass.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1389&
context=theses Acesso em: abril 2015
Osserman, R. (1986) A Survey of Minimal Surfaces. 2. New York:
Dover Publications, Inc.
Perez-Garcia, A.; Gómez-Martínez, F. (2009) Natural structures:
strategies for geometric and morphological optimization.
Proceedings of the International Association for Shell and Spatial
Structures (IASS) Symposium 2009, Valencia Evolution and
Trends in Design, Analysis and Construction of Shell and Spatial
Structures 28 September – 2 October 2009, Universidad
Politecnica de Valencia, Spain. Alberto DOMINGO and Carlos
LAZARO (eds.)
Pires, J. F. Silveira, C. E. Fialho, F. A. P. (2016). ARQUITETURA
REGENERATIVA: O Ensino e Aprendizagem para uma Nova
Concepção em Arquitetura. Travessias, 10(2), 14-34.
Pottmann, H. Asperl, A. Hofer, M. Kilian, A. (2007). Architectural
Geometry. Exton, Pensnsylvania: Bentley Institute Press, 1ª ed.
Rodrigues, A. (1960) Geometria Descritiva: Projetividades, Curvas e
Superfícies. 1a ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico Ltda.
Thompson, D. A. (1971). On Growth and Form. Cambridge:
Cambridge University Press. 345 p.
Verzea, A. (2012). Superfícies Mínimas. Disponível em:
http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f12/minimal_surfac
es.pdf